Условные вероятности. Независимые и зависимые события
§4. Условные вероятности. Независимые и зависимые события
Нижеследующая история показывает, что иногда вероятность события зависит от некоторого другого связанного с ним события.
История о выборах.
Дрюковцы и брюковцы решили выбрать общее правительство в составе мэра и вице-мэра. Согласно регламенту, каждый город выставляет четырех кандидатов. Каждому кандидату дают шар, на котором тот записывает свою фамилию и затем опускает шар в урну. К урне подходит победитель конкурса «Настоящий мужчина города Дрюкова», наугад вынимает один шар из урны и объявляет имя мэра. После этого то же самое проделывает победительница конкурса «Мисс Брюково» и объявляет имя вице-мэра. Какова вероятность того, что
1) вице-мэром станет брюковец;
2) вице-мэром станет брюковец, если мэром стал брюковец;
3) вице-мэром станет брюковец, если мэром стал дрюковец?
Рассмотрим следующие события:
событие А — вице-мэром избран брюковец;
Рекомендуемые материалы
событие В — мэром избран брюковец;
событие С — мэром избран дрюковец.
Чтобы ответить на первый вопрос, найдем число всех исходов голосования и число благоприятных исходов. Так как мэр выбирается из восьми кандидатов, а вице-мэр из оставшихся семи, то по правилу умножения число всех исходов (упорядоченных пар) равно 8 • 7 = 56. Число благоприятных исходов будет 28, т.к. число брюковских и дрюковских кандидатов одинаково. Таким образом, вероятность события А равна 1/2.
Ответим теперь на второй вопрос. Так как мэром стал брюковец, то в числе претендентов на должность вице-мэра осталось 4 дрюковца и 3 бркжовца. Следовательно, вероятность того, что вице-мэром выберут брюковца, равна 3/7.
Последняя вероятность подсчитывается столь же просто. Если мэром стал дрюковец, то в числе претендентов осталось 4 брюковца и вероятность того, что вице-мэром стал брюковец, равна 4/7.
Итак, мы получили три разные вероятности. Последние две из них называются условными вероятностями. Во втором случае мы нашли вероятность А при условии В (мэром стал брюковец), в последнем случае — вероятность А при условии С (мэром стал дрюковец).
Определение. Условной вероятностью Р(А/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.
Результаты выборов теперь можно записать так:
Р(А) =
, Р(А/В) =
, Р(А/С) = 
.
УПРАЖНЕНИЕ
12. Из 36 карт выбирают одну. Событие А состоит в том, что выбрана карта красной масти, событие В — выбрана дама. Найти вероятности Р(А), Р(В), Р(А/В), Р(В/А).
Следующая теорема дает способ вычисления условной вероятности.
Теорема 3.
(4)
Доказательство. Напомним, что произведение АВ означает, что произошли оба события, А и Б. Пусть испытание, в котором могут появиться события А и В, имеет п исходов. Число исходов, благоприятных событиям В и АВ, обозначим, как и выше, через т(В) и т(АВ) соответственно. Найдем вероятность события А при условии, что произошло событие В, т.е. Р(А/В). По смыслу определения условной вероятности Р(А/В) мы учитываем только те исходы, в которых произошло событие В, поэтому число всех возможных исходов при вычислении этой вероятности будет т(В). Число же исходов, благоприятных в этой ситуации событию А, будет т(АВ). Поэтому
Теорема доказана.
Из формулы (4) вытекает следствие:
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(В)Р(А/В), Р(АВ) = Р(А)Р(В/А). (5)
Задача. Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 туза?
Решение. Пусть событие В состоит в том, что первая карта туз, а событие А — вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения АВ. По формуле (5)
Р(АВ) = Р(В)Р(А/В) = 
• 
= 
.
Методом математической индукции формулу (5) можно распространить на любое число событий. Например, для трех событий аналогичная формула выглядит следующим образом:
Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ), (6)
а для четырех событий она имеет вид:
P(ABCD) = P(A)P(B/A)P(C/AB)P(D/ABC). (7)
Задача. Из одиннадцати карточек составлено слово
Из них выбирают поочередно четыре карточки и приставляют одну к другой. 'Какова вероятность того, что получится слово «дело»?
Решение. Введем события Д, Е, Л, О, состоящие в том, что первая выбранная буква — Д, вторая — Е, третья — Л и четвертая — О. Нам нужно найти вероятность произведения этих событий. По формуле (7) имеем:
Р(ДЕЛО) = Р(Д)•Р(Е/Д)•Р(Л/ДЕ)•Р(О/ДЕЛ) = 
•
•
•
= 
УПРАЖНЕНИЯ
13. Управление УВД Стукова выделило 3 премии для сотрудников оперативных групп. В фуражку начальника положили 8 фантов с фамилиями всех сотрудников. Какова вероятность того, что первую премию получит следователь Зубов, вторую – оперативник Прокопенко, третью – эксперт Зульфия?
14. В команде по синхронному плаванию Независимо международного университета из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. Для участия в соревновании выбирают четверых. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?
15. В милицейском колледже города Брюкова экзамены сдают так. Студент выбирает пять вопросов и получает столько баллов, на сколько вопросов он правильно ответил. Студент Громов знает 15 вопросов из 24. Какова вероятность того, что он получит пятерку?
Определение. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.
Иными словами, события А и В независимы, если выполняются следующие условия:
Р(А/В) – Р(А), Р(В/А) = Р(В) (8)
С учетом равенств (8) формула (5) примет такой вид:
Р(АВ) = Р(А)Р(В) (9)
Итак, мы получили еще одну важную теорему.
Теорема 4. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Задача. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком — 0,5, вторым — 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В — в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,5 и Р(В) = 0,6. Рассмотрим противоположные события: 
— промах первого стрелка, 
— промах второго. По теореме 2 получаем Р() = 1 – 0,5 = 0,5 и Р() = = 1 - 0,6 = 4. Произведение событий • означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи события А и В являются независимыми, поэтому и противоположные события и также будут независимыми. По формуле (9) мы получаем вероятность того, что оба стрелка промахнутся: Р( • ) = 0,5 • 0,4 = 0,2. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. Поэтому искомую вероятность мы находим по формуле (2): 1 - 0,2 = 0,8.
УПРАЖНЕНИЯ
16. Найдите вероятность того, что два мотора на самолете выйдут из строя, если вероятность выхода из строя одного мотора не зависит от исправности других и равна 0,0001.
17. Вероятность того, что студент Громов сдаст экзамен по уголовному праву, равна 0,7, а вероятность успешной сдачи им экзамена по гражданскому праву — 0,8. Какова вероятность того, что он успешно сдаст оба экзамена?
18. Ведутся поиски четырех преступников. Каждый из них независимо от других может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?
Указание: запишите формулу (9) для произвольного числа множителей.
ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. В течение месяца суд вынес 30 приговоров, в том числе 6 — за кражу. В порядке прокурорского надзора проверено 10% дел. Какова вероятность того, что в их числе оказалось два дела по обвинению в краже?
2. Вероятность того, что спортсмен улучшит свой личный рекорд с первой попытки, равна 0,5. Если первая попытка оказалась успешной, то вероятность улучшить этот результат в следующей попытке остается той же. В случае, если первая попытка оказалась безуспешной, вероятность улучшить результат со второй попытки равна 0,4. Найдите вероятность того, что спортсмен улучшит свой результат:
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 5. Античная драма.
а) в каждой из двух попыток,
б) только в первой попытке,
в) только во второй попытке,
г) хотя бы в одной из двух попыток.
3. Как показывает практика, в среднем в трёх автомобилях из каждой тысячи, проходящих таможенный досмотр, обнаруживают наркотики. Какова вероятность того, что наркотики будут обнаружены хотя бы в одной из пятисот проверенных машин?
