Ортогональность векторов
Векторы x и y пространства со скалярным произведением L называются ортогональными, если (x,y)=0. В этом случае пишут .
Процесс ортогонализации Грама--Шмидта позволяет превратить линейно независимую систему векторов в ортонормированную. Вы уже встречались с ним в курсе линейной алгебры. Это обстоятельство позволяет нам сразу перейти к формальному изложению сути дела.
Теорема. Если -- счетная система линейно независимых векторов в линейном пространстве со скалярным произведением L, то новые последовательности
обладают следующими свойствами:
1) система ортонормирована, т. е. любые два ее вектора ортогональны и каждый вектор имеет единичную длину;
2) для любого линейная оболочка векторов совпадает с линейной оболочкой векторов .
Доказательство. Поскольку норма каждого из векторов zn, очевидно, равна единице, то для доказательства первого утверждения достаточно убедиться, что (zm,zn)=0 при любых .Для этого достаточно проверить, что (ym,zn)=0 при любых n<m.
Так как (y2,z1)=(x2-(x2,z1)z1,z1)=(x2,z1)-(x2,z1)(z1,z1)= (x2,z1)-(x2,z1)=0, то наше утверждение верно для n=1, m=2. Допустим, что оно верно для всех ,где k -- некоторое натуральное число. Убедимся, что оно верно и для всех n<k+1:
Рекомендуемые материалы
В силу метода математической индукции, первое утверждение теоремы доказано.
В лекции "31. Литература социалистического движения" также много полезной информации.
Приступая к доказательству второго утверждения теоремы, обозначим через ,линейную оболочку векторов .Поскольку каждый из векторов z1, z2, ,zn является линейной комбинацией векторов ,то, очевидно, .Противоположное включение докажем с помощью индукции. Базой индукции будет очевидное включение .Чтобы сделать шаг индукции, допустим, что для некоторого k справедливо включение и убедимся, что оно же имеет место и для номера k+1. Для этого достаточно проверить, что .Но это непосредственно вытекает из следующей формулы, написанной с учетом предположения индукции:
Теорема доказана.
Для ненулевых векторов x и y евклидова пространства введем понятие угла, как такого числа из интервала ,для которого выполняется равенство
Ясно, что x и y ортогональны если и только если .