Образ и ядро линейного оператора
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве . Доказано, что образ линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается .
Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается : .
11 Искусство Ближнего и Среднего Востока - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:
сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.