Степенные ряды
Лекция 14. Степенные ряды.
Степенным рядом называется ряд вида
Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.
Теорема Абеля.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале
, симметричном относительно .
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области .
Рекомендуемые материалы
Доказательство.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда . Тогда .
Рассмотрим произвольное, но фиксированное .
Оценим ,
где .
По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Следовательно, в области степенной ряд абсолютно сходится.
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим . Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке . Противоречие.
Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.
Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.
Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.
Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .
Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале сходимости степенного ряда.
Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.
Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда
. Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Применяя признак Даламбера, имеем
. Отсюда .
Поэтому .
Применяя радикальный признак Коши, имеем
.
Так определяется радиус сходимости степенного ряда.
Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычным числовым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.
Пример. .
Составим ряд из модулей , применим радикальный признак Коши .
Радиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8). Исследуем сходимость ряда на границе, подставляя точки x= -2, в исходный ряд..
В точке x = -2 имеем ряд - гармонический ряд, он расходится.
В точке x = 8 имеем ряд - сходящийся (по признаку Лейбница) знакочередующийся ряд.
Область сходимости исходного ряда (-2, 8].
Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.
Доказательство. Пусть . Выберем , например . На интервале и в точке x1 степенной ряд сходится абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости. Тогда (точно так же, как в доказательстве теоремы Абеля оценим ,
где ( не зависит от ).
Тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
Следствие. Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.
Рекомендуем посмотреть лекцию "14.2 Образование политических партий".
Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.