Численное дифференцирование и интегрирование

Тема  9.   Численное  дифференцирование  и  интегрирование.

Задача  численного  дифференцирования  -  приближенное  вычисление  значений  производных  заданной  аналитически  или  таблично  функции.  Предположим,  что  нам  дана  таблично  заданная  функция   y = f(x)   набором  пар  точек  (x_i, y_i)  (i = 1, 2, … , n).   Предположим,  что  точки  являются  равноотстоящими,  т.е.  x_i = x₀ + i·h,  и  значение  величины  h  является  достаточно  малым.  Тогда,  исходя  из  математического  определения  производной  функции,  можно  записать  три  приближенные формулы  для  вычисления  производных  первого  порядка  в  точке x_i :

- правая  производная 

             .                              (9.1)

- левая  производная 

             .                                              (9.2)

- центральная  производная 

Рекомендуемые материалы

            .                                          (9.3)

Приведем  также  одну  формулу  для  вычисления  производной  второго  порядка  (ее  можно  считать  центральной)

                                   (9.4)

Важно  помнить,  что  в  конечных  точках  интервала  значения  производных  по  некоторым  формулам  вычислить  нельзя.

Задача  численного  интегрирования  -  приближенное  вычисление  значения  заданного  определенного  интеграла  вида

                                                           .

Геометрически  значение  определенного  интеграла  -  это  площадь  фигуры,  ограниченной  сверху  кривой   y = f(x)  (в  предположении,  что   f(x)>0  на  интервале  [a, b]),  снизу  -  осью  ОХ,   а  с  боков  -  вертикальными  линиями  x=a    и  x=b.  Если  с  помощью  точек  x₀,  x₁, …,  x_n   (причем  x₀=a,  x_n=b)  разбить  интервал  [a, b]   на  n  элементарных  отрезков  [x_i-1, x_i]  (i=1, 2, …,  n)  и  обозначить  через s_i площадь  части  фигуры,  опирающейся  на  отрезок  [x_i-1, x_i],  то  значение  искомого  интеграла  можно  приближенно  представить  как  сумму  значений  площедей  полученных  таким  образом  всех  частей  фигуры,  т.е.

                                                             .

Если  теперь  какам-образом  найти,  хотя  бы  приближенно,  значения  каждого  s_i,  то  задачу  приближенного  значения  определенного  интеграла  можно  считать  решенной.

            Способов  разбиения  отрезка  [a, b]   на  n  отрезков  [x_i-1, x_i]  (i=1, 2, …,  n)  и  приближенного  нахождения  значения   s_i  имеется  достаточно  много.  Каждый  такой  способ  образует  метод  (иногда  его  называют  формулой)  вычисления  приближенного  значения  определенного  интеграла.   Наиболее  широко  используемыми методами  являются

1. метод  прямоугольников

2. метод  трапеций

3. метод  Симпсона

Мы  будем  рассматривать  эти  методы  в  предположении  о  равномерном  разбиении  интервала  [a, b]  на  части,  т.е.  для  любого  i     ,   где  n -  некоторое  положитнльное число.

Метод  прямоугольников.  На  каждом  из  этих  отрезков выберем  произвольную  точку  x_i  (x_i-1 £ x_i £ x_i)  и  найдем  произведение  значения  функции  в  этой  точке   f(x_i)  на  длину  элементарного  отрезка    Dx_i= x_i - x_i-1.  Величина  этого  произведения  будет  равна  площади  прямоугольника,  ширина  которого  совпадает  с  длиной  отрезком  [x_i-1, x_i],  а  высота  равна  значению  f(x_i).  Плоощь  этого  прямоугольника  и  примем  за  приближенное  значение  величины s_i.  Тогда  можно  принять,  что

                                                                                  s_i= f(x_i) Dx_i.

 Сумма  таких  произведений,  т.е. 

                               

называется  интегральной  суммой,  а  ее  предел  при  стремлении  максимального  Dx_i   (в  нашем  случае  -  все  они  равны)  к  нулю  -  определенным  интегралом  от  функции   f(x)  на  отрезке  [a, b]

                                   .

            Известна  теорема  существования  определенного  интеграла.  Она  утверждает,  что  если  функция   f(x)  непрерывна  на  [a, b],   то  предел  интегральной  суммы  существует   и  не  зависит  ни  от  способа  разбиения  отрезка  на  элементарные  отрезки,  ни  от  выбора  точек  x_i.

  y

                          x₁             x₂                              x_i                          x_n

              a=x₀          x₁              x₂                 x_i-1        x_i           x_n-1         x_n=b                   x                                    

            Геометрический  смысл  описаного  выше  для  случая   f(x) > 0  проиллюстрирован  на  этом  рисунке.

           

Метод  прямоугольников  имеет  три  модификации,  которые  различаются  между собой  способом   выбора  точек  x_i.

-  метод  левых  прямоугольников  предполагает  в  качестве  точек  x_i  брать  левые  границы  каждого  из  интервалов,  т.е. x_i=x_i-1.  Тогда 

                   .                                                              (9.5)

-  метод  правых  прямоугольников  предполагает  в  качестве  точек  x_i  брать  правые  границы  каждого  из  интервалов,  т.е. x_i=x_i.  Тогда 

                    .                                                               (9.6)

-  метод  средних  прямоугольников  предполагает  в  качестве  точек  x_i  брать  средние  точки  каждого  из  интервалов,  т.е. x _i=x _i+1/2=(x_i-1+x_i)/2.  Тогда 

                            ,                                                           (9.7)

     где  y_i-1/2= f(x_i-1/2).

            Величина  погрешности  метода  прямоугольников  не  превосходит   значения  ,   где   .

Метод  трапеций  предполагает  замену  каждой  части  не  прямоугольником,  а  прямоугольной  трапецией,  в  которой  верхняя  сторона  представляет  собой  прямую  линию,  соединяющую  ординаты  функции  в  левом  и  правом  конце  элементарного  интервала.  Тогда  приближенно  будем  иметь

                                                            .

После  суммирования  и  приведения  подобных  получим  формулу  трапеций

                                    .                                              (9.8)

Величина  погрешности  метода  трапеций  не  превосходит   значения  ,   где   .   По  сравнению  с  методом  прямоугольников  она  в  два  раза  меньше.

                                    

Метод  Симпсона  предполагает  разбиение  интервала  [a, b]  на  четное  количество отрезков  (т.е.  n=2m)  и  замену  на  каждой  паре  соседних  отрезков  функции   f(x)  на  отрезок  прямой  линии,  ордината  которой  определяется  средневзвешеным  значением  исходной  функции  на  концах  и  в  средине  этой  пары  отрезков.  Причем  значения  на  концах  отрезков  берутся  с  единичным  весом,  а  в  средине  -  с  весом,  равным  4.  Таким  образом,  значение  интеграла  на  каждой  паре  соседних  отрезков  [x_i, x_i+2]  приближенно  вычисляется  по  формуле 

Лекция "10 - Защита на сетевом уровне" также может быть Вам полезна.

                                .

После  суммирования  и  приведения  подобных  получим  формулу  Симпсона

                .                   (9.9)

                                    

            Величина  погрешности  метода  Симпсона  не  превосходит   значения  ,   где   .  Этот  метод  значительно  точнее  методов  прямоугольников  и  трапеций.