Формула Стокса

Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

Введем обозначения:

Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

эта формула и называется формула Стокса.

Определение. Вектор , компоненты которого равны соответственно равны

называется вихрем или ротором вектора и обозначается:

Определение. Символический вектор называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ Ñ - “набла”.

С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор .

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.

Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией вектроного поля вдоль контура L.

В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:

Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.

Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса.

Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Определение. Выражение называется дивергенцией вектора (дивергенцией векторной функции) и обозначается