Функциональные последовательности

Функциональные последовательности.

            Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

            Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

            Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

            Определение. Последовательность {f_n(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

Рекомендуемые материалы

            При выбранном значении e>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

            Определение. Последовательность {f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0  существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

            Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

Вместе с этой лекцией читают "Хулио Кортасар".

            Построим графики этой последовательности:

sinx                                                

            Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

            При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая исследует на сходимость знакочередующиеся ряды и определяет характер сходимости. Достаточно ввести общий член ряда и множитель, определяющий знак и нажать Enter. Все рассмотренные выше признаки будут проверены по очереди.