Матрицы

Лекция 15. Матрицы. Магические квадраты. SATORAREPO. Словесные квадраты Эберхарда Немецкого и Л.Кэрролла. Матрицы Кено: «Х принимает Y за Z».

Буквенные магические квадраты  представляют собой квадратную таблицу, в ячейках которой расположены буквы, которые прочитываются по строкам и по столбцам как значащие слова.

В некоторых квадратах построчно записываются буквенные перестановки одного слова, что в совокупности составляет буквенную совершенную анаграмму: TIME-ITEM-METI-EMIT. Это единственный, как указывает Ч.К.Бомбах, квадрат, все слова которого имеют осмысленное значение как на английском, так и на латыни: TIME (время, англ., бойся, лат.), ITEM (предмет, англ., подобно, лат.), METI (метка, англ., быть измеренным, лат.), EMIT (излучать, англ., покупает, лат.)):

В других случаях в строках таблицы расположены простые буквенные палиндромы слов, причем если в крайних строчках и столбцах значения слов при обратном прочтении изменяются, то средние представляют собой традиционные палиндромы с совпадающими написаниями в прямом и обратном направлении:

(net – сеть, ewe – овца, ten – десять)

(wed – жениться, eke – к тому же, dew – роса)

(gel – гель, eye – взгляд, leg – нога)

(rats – крысы, abut – примыкать, tuba – труба, star – звезда)

Наиболее интересный квадрат, многие века вызывающий восхищение, ужас и многочисленные интерпретации – это так называемый магический квадрат «SATORAREPO»:

Это латинский квадрат имел огромное сакральное значение. Его трактовали как 1) работник за плугом (или на своем поле) управляет работой, 2) Сеятель (Христос) на своем плуге (кресте) удерживает своей работой (жертвой) колеса (судьбу), 3) Сеятель (сатор) Арепо (собственное имя) заставляет крутиться (тенет) колесо (ротас) в работе (опера), 4) Бог (сатор) управляет (тенет) творением (ротас), работой людей (опера) и продуктом земли (арепо).

В средние века этот квадрат часто использовался как талисман. Предполагали, что его авторство принадлежит первым христианам, потому что те же буквы могут быть перекомпанованы в крест из слов PaterNoster (Отче наш):

A

                                   P

                                   A

                                   T

                                   E

                                   R

            A   P A T E R           N O S T E R  O

                                   O        

                                   S

                                   T

                                   E

                                   R

                                   O

Буквы А и О в начале и конце означают альфа и омега, начало и конец.

Однако позже оказалось, что этот квадрат имеет более древнее происхождение, его нашли изображенным уже на колонне в Помпее.

Этот квадрат имел оккультное значение, его, по преданию, использовали чернокнижники и колдуны.

Квадрат Сатора помнят и в двадцатом веке, Умберто Эко вводит второстепенного персонажа с этим именем в романе «Маятник Фуко», а Т.Пратчетт называет площадью Сатора (SatorSquare) торговую площадь в Анк-Морпорке.

Квадраты, прочитываемые только в двух направлениях – слева направо и сверху вниз, также рассматриваются в категории текстов-матриц. Такие магические непалиндромные квадраты на английском языке существуют вплоть до девятого порядка, хотя квадраты, все слова которых можно найти  в распространенных словарях (Webster), составлены только вплоть до седьмого порядка:

1) гнезда, 2) участник, 3) чужак, 4) оставляющий следы, 5) фонарь, 6) обжираться, 7) твердый

1) готовить, 2) переделывать, 3) подражать, 4) полемический, 5) непреклонный, 6) экскорт, 7) избранный

Самый сложный из известных на французском языке словесных квадратов – квадрат 9 порядка:          

Простейший русский квадрат опирается на знакомую палиндромную пару Рим-мир, противопоставляя их сродни латинской пословице «Urbietorbi»:

или связывая их в призыв:

Такие квадраты используются в голомоломках, словесных играх, публикуемых, например, в русской версии журнала «Ридерс Дайджест». Квадрат четвертого порядка (автор неизвестен):

Квадрат пятого порядка составлен С.Фединым:

Другой – Г.Лукомниковым:

Построчное (или по столбцам) прочтение этого квадрата дает цельную фразу: «Тузам удача – заказ, а чаду – мазут...».

Квадрат шестого порядка принадлежит палиндромисту П.Нагорских:

Из букв квадрата складывается фраза «Укором колесо о лазер резало оселок, мороку». Видно, что автор допускает разбиение строки на отдельные слова.

Буквы русскогоязычного магического квадрата девятого порядка, составленного Р.Адриановым, образуют относительно осмысленную фразу:

Ударит лев: дарен я уже. А ревун, гул, рев – сменят. И, ну, мамуни тянем с вер луг. Ну, Вера, ежу я не рад: вел тираду.

Герман Лукомников составояет «магический тетраквадратник», четыре магических квадрата четвертого порядка, прочитываемые все вместе по строкам квадратов или по столбцам:

Фрау Роза, Азор у арф Эола обил либо алоэ. «Я, Ира, Икар». Раки. Ария. Лука, уток коту акул!» или «Фрау Эола! Я – Ира лука. Роза, обил Икар уток. Азор либо раки – коту. У арф алоэ ария акул.

Cловесные магические квадраты – тексты, который можно читать как по строкам, так и по столбцам: сначала все первые слова, затем все вторые и так далее. «Горизонтальные» стихи могут быть тождественны «вертикальным», как было в случае буквенных квадратов, а могут и отличаться от них, сохраняя только общий смысл текста.

Автору нижненемецкой хроники XIII века Эберхарду Немецкому принадлежит стихотворение «Laborinthus»(от Labor – работа):

Святости  светлость,            Чаянье   кротких, Царствия            Матерь,

Светлость покоя,                   Робким водитель, Древо       Почета,

Чаянье       робким,                Целенье убогим, Вестница    мира,

Кротких    водитель,             Убогим                подмога, Правды           Начало,

Царствия  древо,                   Вестница правды,Сладость   Благая,

Матерь      почёта,                 Мира     начало,   Благая,  –    Восславься!    (ок. 1250)

Следующее стихотворение приписывают Л.Кэрроллу. Пословное прочтение этого стихотворения возможно как в обычном порядке, по строкам, так и по «столбцам». При обоих способах прочтения получается одинаковый результат.

I                      often   wondered       when   I          cursed,

Often              feared where              I          would be –

Wondered       where she’d               yield    her       love,

When              I          yield,               so        will      she.

I                      would her                   will      be        pitied!

Cursed            be        love!                She      pitied   me…

(Я        часто              гадал,             может                         меня               прокляли,

Часто  боялся,           если                мне,                может             быть,

Гадал  если                мне                 одарить          любовью        ее,

Может            мне                одарить,         и она              одарит            в ответ          

Меня, может,            любовью        одарит                        она                  из жалости,

Прокляли, быть        ее,                   в ответ           из жалости     ко мне...,

в данном случае мы предприняли попытку перевода с сохранением заданного ограничения и с приблизительным соответствием смысла.)

Матрицы «X принимает Y за Z » Раймона Кено. Р.Кено придумал записывать основных персонажей литературного произведения в ячейках матрицы. Особенный интерес представляют собой произведения, в которых персонажи заблуждаются в идентификации друг друга. Метод был назван Кено «Х принимает У за Z. В таблице, сходной с таблицей умножения, в левом столбце X и верхней строке У записаны имена персонажей некоторого литературного произведения, а в самой «таблице умножения» Z, которая представляет собой «произведения» X * У – имена персонажей, за которых персонаж Х принимает персонажей У.

Так, нормальная ситуация, когда каждый принимает каждого за того, кем он является, может быть изображена таблицей:

            A         B         C

                                   A         A         B         C

                                   B         A         B         C

                                   C         A         B         C

Ситуация водевиля, когда каждый принимает себя за себя, но путает других, изображается:

                                               A         B         C

                                   A         A         C         B

                                   B         C         B         A

                                   C         B         A         C

Еще несколько схем: если субъект не существует в данной реальности, он не может ни «принимать себя» за кого-то, ни «принимать» за кого-то других персонажей, и, однако, он также может быть включен в игру. Например, ситуация сумасшедшего дома, в котором каждый из обитателей принимает себя за Наполеона:

            A         B         C         N

                                   A         N         B         C         A

                                   B         A         N         C         B

                                   C         A         B         N         C

                                   N         0          0          0          0

Кено также приводит таблицу персонажей трагедии «Эдип»: это сам Эдип, его приемный отец, его мать Иокаста, а также сын Иокасты. Последнего сам Эдип и Иокаста ошибочно полагают несуществующим (мертвым), отец их путает, а трагедия происходит в момент осознания Эдипа себя сыном Иокасты:

                                               А         В         С         Д

Сын Иокасты =А     В         В         С         Д

  Эдип =В                  0          В         С         Д

       Приемный отец=С        В         А         С         Д

                   Иокаста=Д         0          В         С         Д

Кено рассматривает случай, когда все персонажи принимают себя за себя (a²=a, b²=b) и не принимают других за себя (ax¹a, bx¹b…). Очевидно, для двух персонажей будет только одна «нормальная»ситуация:             

1          2

1          1          2

2          1          2

Для трех персонажей будет всего двенадцать (2²*3=12) ситуаций, одна из которых представлена таблицей:

                        1          2          3         

            1          1          2          2         

            2          1          2          3

            3          2          2          3,

Для четырех персонажей – 3³ * 4 = 108 ситуаций, и в общем случае – для n>2 персонажей будет  n(n-1)^n-1 ситуаций.

Можно рассмотреть более интересный, чем у Р.Кено случай, когда каждый персонаж принимает себя за себя (a²=a, b²=b) и заблуждается в отношении всех других, т.е. не принимает их ни за них самих, ни за себя (ax¹a, bx¹b… и ax¹x, bx¹x…) – ситуация водевиля без шизофрении. В таком случае для двух персонажей не будет возможных схем (нельзя принимать другого ни за себя, ни за него), для трех персонажей будет всего одна ситуация, представленная на схеме водевиля (К₃=1), для четырех будет 32 возможности (К₄=2³*4=32). В общем случае для n>3 будет К_n=n*(n-2)^n-1 вариантов.

Раймон Кено приводит теорему: «таблица умножения будет соответствовать операциям группы (абелевой или нет), когда реализована следующая ситуация: никто не принимает себя за того, кто он есть, и не принимает других за тех, кто они есть, за исключением единичного элемента, который принимает себя за того, кто он есть и других за тех, кто они есть. То есть таблица умножения группы соответствует ситуации водевиля и противоречит взгляду проницательного наблюдателя (например, автора)».

Расшифруем: группой называется множество элементов, на котором задана операция (умножение), удовлетворяющая свойствам: 1. ассоциативность a* (b*c)= (a*b)*c, 2. есть единичный элемент: для любого элемента группы А выполняется равенство: А*Е=А и Е*А=А, и 3. для каждого элемента группы есть обратный элемент, такой что А*А^-1=А^-1*А=Е. 

И Р.Кено, следовательно, утверждает, что таблица умножения персонажей будет удовлетворять описанным здесь свойствам (ассоциативность, единичный элемент, обратный элемент) в водевильной ситуации, причем персонажи не способны верно идентифицировать даже себя самих (за исключением единичного элемента, автора).

Тогда для трех элементов ситуация может быть представлена следующей таблицей, иллюстрирующей теорему Кено:

            Е         А         В

                                   Е         Е         А         B

                                   А         А         B         Е

                                   В         B         Е         A

Для четырех элементов можно предложить аналогичную таблицу:

            Е         A         B         C

                                   Е         Е         A         B         С

                                   А         А         C         Е         B

                                   В         B         Е         C         А

                                   С         C         B         A         E

Легко видеть, что в этих случаях теорема Кено выполняется. Однако можно заметить, что элемент Е (проницательный наблюдатель или автор), который не заблуждается ни в отношении себя, ни в отношении других персонажей, не может быть независимым от них, ибо тоже втянут в их игру – персонажи (А, В, С) отождествляют его с собой (из свойства единичного элемента А*Е=А), а также принимают других за него (из свойства обратного элемента А*В=В*А=Е). Таким образом, автор, хотя он и сохраняет объективность, сам становится персонажем своего литературного произведения, в котором каждый из персонажей ошибается, видя в другом не того, кем тот является на самом деле (роман «кривых зеркал»).

Далее: группа является по определению абелевой, когда операция, на ней заданная (умножение), обладает свойством коммутативности: А*В=В*А для любых А и В, принадлежащих группе. Для литературного произведения это означает, что если Поль принимает Жана за Пьера, то и Жан принимает Поля за Пьера. Кено предлагает читателю отыскать примеры в романе или театральной пьесе, написанной на французском или каком-либо иностранном языке.

Можно по примеру Р.Кено предложить еще несколько аналогичных таблиц. Скажем, А путает двойников В и С:

                                               A         B         C

                                   A         A         B         B

                                   B         А         B         С

                                   C         А         B         С        

Кихада принимает себя за Дон Кихота Ламанчского, Альфонсу Лоренцо за Дульсинею Тобосскую, а мельницу – за великана:

                        К         АЛ      М

            К         ДКЛ    ДТ       В

        АЛ          К         АЛ      М

            М        0          0          0         

Женихи Пенелопы принимают Одиссея за нищего старца и не видят помогающую ему Афину:

Рекомендуем посмотреть лекцию "Сердце, Сосудистая система".

                        Аф      Од       Ж

            Аф      Аф      Од       Ж

            Од       Аф      Од       Ж

            Ж        0          Ст       Ж

Такого рода схемами описываются всевозможные детективные и шпионские романы, греческие мифы с меняющими облики божествами, истории об авантюристах, сказка Гоффмана о Крошке Цахесе, рассказы Вудхауза и романы о Фантомасе. Вообще, всякая двойственность, маска, скрывающая неизвестного, и заблуждение относительно самого себя привлекает здесь Р.Кено, как математическая загадка, в которой за Х прячется тайна, требующая разгадки, работы ума.

С математической точки зрения работа «Х принимает У за Z» выполнена безупречно – схемы таблиц умножения адекватно передают знакомые литературные ситуации, заставляя задуматься об их общем основании. Математик Франсуа Ле Лионне высоко оценивал эту работу, называя ее «вершиной, образцом для последующих поколений улипистов».