Средние величины
Тема 6. Средние величины
1. Сущность средних величин, их виды.
2. Средняя арифметическая, ее свойства и техника исчисления.
3. Среднегармоническая и техника её исчисления.
4. Расчёт средних методом от условного нуля (способ моментов).
5. Мода и медиана.
-1-
Средним показателем в статистике называется обобщающая или типическая характеристика общественных явлений по одному количественному признаку. В большинстве случаев средний показатель определяется путём деления объёма признака по совокупности явлений на количество единиц в совокупности.
Рекомендуемые материалы
Чтобы средний показатель отражал реальный уровень он должен быть правильно исчислен, поэтому к исчислению средних предъявляются следующие требования:
1. Расчёт по однокачественным, однородным явлениям.
2. Правильный выбор явления, на которые рассчитывается средняя.
3. Исчисление средних по всему кругу явлений или по их типической части, минимальное число единиц, по которому может быть исчислена средняя 25-30 – это необходимо для погашения случайных различий и выявления необходимого объективного уровня.
Наиболее часто используются 4 вида средних:
1. Средняя арифметическая.
2. Средняя гармоническая
3. Средняя квадратическая
4. Средняя геометрическая
Введём следующие обозначения и понятия:
Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым и обозначается через X, величину признака каждой единицы совокупности называют значением или вариантом изучаемого признака. Отдельные варианты обозначаются (X1, X2 … Xn), где n – это число единиц изучаемой совокупности
 |
 |
1.
 |
2.
 |
3.
 |
4.
-2-
Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средних, применяемых в статистике. Различают среднюю арифметическую: простую и взвешенную.
Средние, при расчёте которых значения осредняемого признака взвешиваются по другим показателям, называются взвешенными.
 |
f- веса или частоты.
При подсчёте среднего арифметического взвешенного необходимо:
1. Варианты умножить на веса (число единиц, которые имеют одинаковое значение).
2. Сложить эти произведения.
3. Сложить веса
4. Сумму произведений вариант на веса разделить на сумму весов (п.2 / п.3).
Пример: имеются следующие данные о выработке одного работающего и численности работающих по трём заводам, входящим в объединение.
Определить среднюю выработку:
Простую среднюю используют только в тех случаях:
· Когда у каждой варианты частота равна единице.
· Когда частота или веса у всех вариантов равны.
Исчисление средней арифметической на основе вариационного ряда. Для вычисления средней в дискретном ряду варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, т.е. как среднее арифметическое взвешенное.
В интервальных рядах значения вариант дано в виде интервалов (от … - до …), поэтому для вычисления средних нужно, прежде всего, интервальный ряд преобразовать в дискретный, т.е. по каждой группе вычислить среднее значение интервала и заменить интервал его серединным значением. Серединное значение интервала находят как полу сумму его верхней и нижней границ.
Если имеются открытые интервалы, то для вычисления среднего значения условно определяют неизвестную границу. Обычно в этих случаях берут величину последующего интервала для первого и величину предыдущего интервала для последнего.
Свойства средне арифметического.
1. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна 0.
Это свойство показывает тесную связь среднего арифметического показателя с фактическими значениями признака, на основе которых он исчислен. Оно указывает, что отклонение в обе стороны от средней, обусловленные случайными причинами и индивидуальными особенностями единиц совокупности, уравновешиваются, в силу этого средняя выступает своеобразной равнодействующей.
2. Если от каждого варианта отнять или к каждому варианту прибавить, какое-либо произвольное число, то новое средняя уменьшится или увеличится на тоже самое число.
3. Если каждый вариант разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то новое средняя уменьшится или увеличится во столько же раз.
4. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то среднее от этого не измениться.
-3-
 |  | ||||
 | |||||
Средняя гармоническая – это величина обратная средне арифметической из обратных значений признака.
Пример: Три партии материала А куплены по разным ценам. Определить среднюю покупную цену материала А.
Выбор средней зависит от того, что мы будем применять в качестве весов.
· 
Если при исчислении средней цены за веса принять количество товаров, то расчёт будет производиться по средней арифметической.
· Если в качестве весов будем применять стоимость партии, то расчёт будет производиться по средней гармонической.
 |
Следовательно, к средней гармонической следует прибегать в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значение признака.
-4-
Существует способ расчёта средних методом «от условного нуля». данный метод основан на использовании математических свойств средней арифметической, заключающихся в том, что от сокращения либо увеличения всех вариантов признака на одну и ту же величину, либо в одно и тоже число раз соответственно изменяется, уменьшается или увеличивается средняя на одно и тоже число, или в это же число раз. При этом методе расчёта средней сначала исчисляется условное начало ряда.
Рассмотрим вычисление на примере.
При вычитании из всех вариант одной какой – либо варианты мы приравниваем её к нулю. Это и есть условное начало ряда. Лучше всего к нулю приравнивать варианту, расположенную в середине ряда и обладающую наибольшей частотой; одновременно с этим вычитанием все варианты разделим на величину интервала, в результате чего получим новые варианты X1 которые положительны вниз и отрицательны вверх от условного начала.
Средне арифметическое из этих новых вариант m1 называют моментом первого порядка.
 |
у.ден. ед. - средняя заработная плата.
-5-
Разновидностью средних является мода и медиана, которые характеризуют структуру рядов распределения.
Модой в статистике называется величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности.
В дискретном вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.
Определение моды в дискретном ряду.
Распределение семей по числу детей.
мода = 2.
Могут быть распределения, где все варианты встречаются одинаково часто. В этом случае моды нет. В других случаях не одна, а две варианты могут иметь наибольшие частоты, тогда будет две моды, и распределение будет бимодальным.
Для определения моды в интервальном ряду используется следующая формула.
 |
X0 – нижняя граница модального интервала.
d – величина модального интервала.
fm – частота модального интервала.
fm-1 – частота интервала предшествующего модальному.
fm+1 – частота интервала следующего за модальным
Модальный интервал определяют по наибольшей частоте.
Пример. Имеются следующие данные:
Медиана – это варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, т.е. по обе стороны от неё находится одинаковое количество единиц совокупности. Медиана по-разному исчисляется в дискретном и интервальном рядах.
Чтобы найти номер единицы совокупности, находящейся в середине дискретного ряда, нужно к сумме частот ряда прибавить единицу и полученную сумму разделить на 2.
 |
Медианным значением обладает семья под номером 101. Для того, чтобы определить количество детей у этой семьи, необходимо подсчитать накопленные итоги путем постепенного суммирования частот ряда, начиная от варианты с наименьшим значением. Обозначается S.
При определении медианы в интервальном ряду используют следующую формулу:
Ме – медиана.
Хо – нижняя граница медианного ряда.
D – величина медианного интервала.
 |
Sm-1 – накопленные частоты до медианного интервала.
Fm - частота медианного интервала.
Для нахождения медианы в интервальном ряду, прежде всего, необходимо определить медианый интервал.
Информация в лекции "7 Метод ранговой корреляции" поможет Вам.
Медианным интервалом будет такой, накопленные частоты которого равны или превышают полусумму частот ряда.
Пример:
т.е. 50% ткачей вырабатывают в день меньше 49,1 м и 50% больше 49,1 м.
