Вариация признаков, показатели вариации

Тема 7. Вариация признаков, показатели вариации.

1. Понятие о вариации признаков. Показатели вариации.

2. Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий.

3. Дисперсия альтернативного признака.

4. Основные свойства дисперсии.

-1-

Признаки, изучаемые статистикой подвержены колебаниям. Эти колебания обусловлены тем, что на величину признака у отдельных единиц совокупности оказывают влияние различные факторы, вариация признаков может быть большей или меньшей, а поэтому возникает необходимость в её измерении.

Различают несколько показателей вариации:

Рекомендуемые материалы

1. Размах вариации.

2. Среднее линейное отклонение.

3. Дисперсия.

4. Среднее квадратическое отклонение.

5. Коэффициент вариации.

Размах вариации является наиболее простым из показателей вариации. Обозначается R. Его исчисляют как разность между наибольшим  и наименьшим значением признака т.е.

Различия величин отдельных вариантов означает различные размеры их отклонений от средней. Чем больше индивидуальные значения признаков различаются между собой, тем больше они отличаются и от своей средней.

Степень размера отклонений от средней измеряется показателем среднее линейное отклонение (l).

В случае, если варианты в распределении не повторяются или их веса равны единице, то среднее линейное отклонение исчисляется по формуле.

Средняя величина отклонения признака от средней берется без учёта алгебраического знака, т.е. по модулю, поскольку при суммировании отклонений в их алгебраическом виде всегда получается «0», в соответствии со свойством №1 средней арифметической.

Пример: даны показатели о выполнении рабочими норм выработки. Определить среднее линейное отклонение (l).

 

 

Чтобы определить средне квадратическое отклонение нужно проделать ряд операций:

1. Найти отклонение каждой варианты ряда от средней  арифметической.

2.

Возвести эти отклонения в квадрат

3.

Каждый квадрат отклонения умножить на соответствующую частоту и просуммировать.

4.

Полученную сумму разделить на сумму частот. В результате этого деления получим средний квадрат отклонений от средней арифметической, который называется дисперсией.

5. Определив из этой величины квадратный корень получим средне квадратическое отклонение.

Средне квадратическое отклонение всегда выражается в тех именованных числах,  в которых выражены варианты и средние.

Коэффициент вариации даёт относительную оценку вариации и позволяет сравнивать степень вариации признаков различных вариационных рядов. он представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

  Коэффициент вариации, величина которого превышает 30%, свидетельствует о большой колеблемости значений признака в данной совокупности.

-2-

Дисперсия широко используется при  анализе статистических показателей. Различают общую, межгрупповую и внутригрупповую дисперсии.

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех условий , вызвавших эту вариацию.

Межгрупповая дисперсия или дисперсия  групповых средних характеризует  различия в величине изучаемого результативного признака, возникающего  под  влиянием  одного условия ( признака, фактора), положенного в основание группировки:

                                    , где           - это общая дисперсия по каждой группе

                                                   -численность каждой группы

Пример. Группировка рабочих по признаку “Техническое обучение”

1)

2)

Правило сложения заключается в следующем : общая дисперсия признака  всегда равна сумме дисперсии межгрупповой и внутригрупповой, т.е.

Зная общую дисперсию и межгрупповую дисперсию, можно судить о силе влияния группировочного признака на результативный, т.е. определить эмпирическое  корреляционное отношение :

Значение             =1 при равенстве числителя и знаменателя, в этом случае влияние прочих факторных признаков равно 0, весьма значительно влияние группировочного признака.

Значение             =0, в этом случае влияние группировочного признака на результативный равно пустому множеству.

Промежуточное значение         оценивается по  степени близости к пределам, т.е. фактор, положенный в основу группировки существенно влияет на результативный признак, но также существуют и другие факторы, влияние которых значительно.

             Фактор технического обучения работников объясняет 57,7% вариаций, производительности труда работников, а не учтённые факторы 42,3%.

-3-

Среди варьирующих признаков, которые изучает статистика, встречаются признаки, вариация которых проявляется в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, а у других нет.

Признаки, которыми обладают одни и не обладают другие единицы, называются альтернативными.

В количественно-вариационной альтернативе признак проявляется в значении пустого множества у единиц, которые им не обладают и в значении, равном 1, у единиц, обладающим этим признаком. Доля единиц, обладающих этим признаком в численности всей совокупности, обозначается р, а доля единиц, не обладающих этим признаком-q, значит p+q=1.

Определим среднее значение альтернативного признака:

т.е. среднее значение альтернативного признака равно доле  единиц, обладающих этим признаком.

Определим дисперсию альтернативного признака.

                 

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25

-4-

Свойства дисперсий:

а) если из всех значений вариантов отнять какое-либо произвольное число, то дисперсия от этого не изменится.

б) если все значения вариантов разделить на какое-либо постоянное число А, то дисперсия уменьшится от этого в            раз. 

в) свойство минимальности, если исчислить дисперсию от любой величины А в той или иной степени отличающейся от среднего арифметического   , то она всегда будет большей дисперсии, исчисленной от среднего арифметического.

                      , при этом на вполне определённую величину, т.е. на величину разности между средней и этой условно взятой величиной               , это можно записать так

 

или это равно

В том случае, когда А равно 0 и следовательно не вычисляем отношение, формула принимает следующий вид:

                                        

т.е.

Таким образом, дисперсия равна разности среднего квадрата значения признака и квадрата среднего значения признака.

Тема 8. Выборочное наблюдение

1. Понятие о выборочном наблюдении. Этапы проведения выборочного наблюдения.

2. Генеральная и выборочная совокупности. Их характеристики.

3. Средняя и предельная ошибки выборки.

4. Способы отбора единиц в выборочную совокупность.

5. Способы распространения данных выборочного наблюдения.

-1-

Выборочным наблюдением называют такое не сплошное наблюдение, при котором статистическому наблюдению подвергаются  не все единицы изучаемой совокупности, а лишь отобранные в определённом порядке.

Его цель состоит в том, чтобы по характеристикам отобранной части единиц судить о характеристиках всей совокупности.

Выборочное наблюдение состоит из следующих этапов :

1) Постановка цели наблюдения.

2) Составление программы наблюдения и разработки данных.

3) Решение организационных вопросов наблюдения.

4) Определения % отбора и способа отбора.

5) Проведение отбора.

6) Регистрация соответствующих признаков по программе у отобранных единиц.

7) Обобщение данных наблюдения и расчёт выборочных характеристик.

8) Расчёт ошибок выборки.

9) Пересчёт выборочных характеристик на всю совокупность.

Применение выборочного наблюдения обусловлено следующими причинами:

1) Выборочное наблюдение является экономически более выгодным, чем сплошное.

2) Применяя выборочное наблюдение, можно получить необходимые данные значительно быстрее, чем при сплошном наблюдении.

3) При выборке обследованию подвергают сравнительно небольшую часть обследуемой совокупности, поэтому создаётся возможность более подробного изучения объекта наблюдения.

4) Применение выборочного наблюдения для уточнения результатов сплошного наблюдения.

5) В случаях , когда обследование каждой единицы связано с её частичным или полным уничтожением, применение невозможно, поэтому используют выборку.

-2-

Совокупность единиц, из которых производится отбор некоторой части единиц совокупности, называется генеральной совокупностью.

Характеристики этой совокупности также называются генеральными.

1) Средняя величина признака в этой совокупности называется генеральной средней и обозначается

2) Отношение числа единиц генеральной совокупности, обладающих данным

изучаемым признаком по всему числу единиц генеральной совокупности называется генеральной долей.              , 

где   М-число единиц, обладающих данным признаком,

 N-объём генеральной совокупности.

3) Отношение числа единиц в генеральной совокупности, не обладающих данным признаком к объёму совокупности, будет представлять собой долю единиц q, не обладающих данным признаком.

Совокупность единиц, отобранных для выборочного наблюдения, называется выборочной совокупностью.

Её характеристики:

1. Выборочной средней называется средняя величина признака в выборочной совокупности 

2. Число в выборочной совокупности, обладающих данным признаком, называется частотой m.

3. Относительная численность единиц выборочной совокупности, обладающих данным признаком, называется частостью.

          , где n-объём выборки, число единиц выборочной совокупности.

Частость показывает, какая доля выборочной совокупности обладает изучаемым признаком.

-3-

Чтобы оценить качество материалов, полученных выборочным наблюдением, необходимо выяснить расхождения между выборочной и генеральной характеристиками.

 При выборочном наблюдении могут возникнуть ошибки двух видов:

1) Ошибки регистрации

2) Ошибки репрезентативности.

Ошибками регистрации называются такие погрешности, которые возникают вследствие неправильной регистрации данных об отдельных обследуемых единицах.

Ошибками репрезентативности называются расхождения между обобщающими показателями отобранной части совокупности и всей совокупностью в целом в условиях правильной регистрации данных. Кроме того, ошибки регистрации и ошибки репрезентативности могут быть систематическими и случайными.

Систематические ошибки возникают в силу нарушения принципа проведения выборочного наблюдения, т.е. неправильное производство отбора, произвольная замена попавших в выборку единиц другими единицами совокупности.

Расхождения между характеристиками отобранной части совокупности и характеристиками совокупности в целом в условиях правильно произведённого отбора и правильной регистрации носят название случайных ошибок репрезентативности или ошибки выборки.

Величина ошибки выборки, а значит её точность зависит от :

1. Числа наблюдений.

2. Степени колеблемости  признака.

1. По мере увеличения числа единиц, подвергаемых наблюдению, разность между выборочной средней и генеральной средней будет уменьшаться, т.к. состав выборочного совокупности будет приближаться к составу генеральной совокупности и более точно отображать её черты и свойства.

2. Между степенью колеблемости признаков совокупности и ошибкой выборки существует следующая зависимость. Чем больше колеблется величина признака, чем больше различия в величине признака имеются у отдельных единиц совокупности, тем больше расхождения между    и     , при одном и том же объёме выборки.

Зависимость величины ошибки выборки от её численности и степени варьирования признака находит выражение в формулах средней ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки является мерой точности выборки.

                       ,

где              -   дисперсия варьирующего признака,

                        n-численность выборки.

Для измерения доли альтернативного признака выборочной совокупности, например, доли бракованных изделий партии всей продукции, применяют следующую формулу:

                                                                       ,

где p-доля признака в выборочной совокупности.

Средняя ошибка выборки используется для определения возможных отношений показателей выборочной совокупности. Можно утверждать, что эти отношения не превысят заданной величины изменения, которую называют предельной ошибкой выборки.

   

                                                       ,

где t-коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельные ошибки выборки не превысят данную среднюю ошибку. Значение этого коэффициента определяют по специальной таблице.

-4-

Репрезентативной считается выборка, в которую входят представители всех групп, имеющихся в генеральной совокупности, причём представительство это должно быть приблизительно пропорциональным.

Отбор единиц из генеральной совокупности должен быть соответствующим образом организован. Практика статистики выработала ряд способов отбора:

1) собственно случайный отбор

2) механический отбор

3) Районированный или типический

4) Гнездовой или серийный

5) Направленный отбор

Собственно случайный отбор, т.е. отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьёвки или какого-либо иного подобного способа. Например, лотерея.

Случайный отбор-это не беспорядочный, а подчинённый определённому достаточно строгому порядку. Этот отбор даёт хорошие результаты в условиях, когда между единицами исследуемой совокупности нет резких различий. Например, тираж выигрышей спортлото.

Механический отбор-это последовательный отбор единиц через равные промежутки из определённого расположения их в генеральной совокупности или каком-либо перечне. Промежутки определяются в соответствии с долей отбора

( например, 5, 10 единица) чаще всего интервал определяется как отношение численности генеральной совокупности к численности выборочной совокупности.

Расположение единиц генеральной совокупности может быть упорядоченным и неупорядоченным относительно изучаемого признака. Например, выборка рабочих из списка по алфавиту с целью изучения норм выработки- неупорядоченное.

1) Способ расположения единиц генеральной совокупности влияет на порядок их отбора в выборочную совокупность. В  случае неупорядоченного расположения единиц, т.е. при 10 % выборке из первых 10 рабочих можно посредством жеребьёвки выбирать любого, а затем последовательно брать каждого десятого работника.

2)  Если расположение упорядочено (списки рабочих, составленные по нормам выработки), в выборочной совокупности следует отбирать рабочих, стоящих посередине каждого десятка, в противном случае может  образоваться систематическая ошибка выборки.

Механический отбор из упорядоченной или ранжированной совокупности называют систематическим отбором.

Районированный или типический. При этом отборе генеральная совокупность предварительно разбивается на районы (типы), из которых отбираются единицы либо посредством жеребьёвки, либо механическим способом.

В качестве района могут быть взяты сложившиеся группы (страны, области и т.д.). Количество единиц, отбираемых из каждого района, берётся пропорционально численности районов в совокупности. Так как отбор производится из каждой типической группы, то репрезентативность выборки зависит от того, насколько хорошо представляют каждую типическую группу, отображаемые из них единицы.

При типической выборке отбор единиц из групп может быть пропорционален не их численности, а степени колеблемости изучаемого признака. Чем больше вариация признака в пределах группы, тем больше единиц нужно отобрать, чтобы обеспечить наилучшую репрезентативность выборки. Возможен также типический отбор пропорциональный обоим указанным признакам, т.е. численности единиц в группах и степени колеблемости признака. Такой отбор называется оптимальным.

Гнездовой отбор. При генеральной и средней выборке отбор производится не единицами, а целыми гнездами, сериями единиц изучаемой совокупности.

Серийный отбор  значительно проще в организационном отношении и дешевле других способов, но ошибка выборки в большинстве случаев больше, чем при любом другом способе отбора.

Все рассмотренные виды  отбора, кроме механического, могут быть повторными и бесповторными.

Механический отбор всегда бесповторный.

Повторный - это такой отбор, при котором однажды попавшая в выборку единица совокупности при последующих испытаниях снова имеет возможность попасть в выборку.

Бесповторный – однажды попавшая в выборку единица не участвует в последующих испытаниях.

При повторном отборе попадание в выборку для отдельных единиц совокупности в продолжении всего отбора не меняется.

При бесповторном отборе эта попадание изменяется после выбора каждой единицы.

Исчисление средней ошибки выборки при различных способах отбора.

1) Случайный отбор.

Бесповторный                                                                                Повторный

 

                              

2) Механический отбор (бесповторный)

3) Типический отбор.

 

                                                                             ,

где           - внутригрупповая       выб. дисперсия сред.

             -    выб. дисперсия i- типической группы.

                 -это численность выборки из i-типической группы.

4) Гнездовой отбор.

          

        -межгрупповая выборочная дисперсия

                                 

где r-число равных серий выборочной совокупности.

      R-число равных серий в генеральной совокупности.

5) Направленный отбор. Этот отбор производится без строгого соблюдения принципа случайного отбора и поэтому  собственно выбор считаться не может, хотя и обладает чертами выборки при направленном отборе из генеральной совокупности. Производится экспертный отбор типичных единиц или небольших групп, обладающих, по мнению экспертов, средними значениями определённого признака генеральной совокупности.

Результаты направленного отбора зависят от квалификации экспертов, т.е. рассматриваемый метод во многом субъективен, в силу чего трудно поддаётся  количественной оценке, т.е. исчислению ошибок выборки.

-5-

В качестве показателя репрезентативности выборки используется отношение соответствующего показателя выборочной совокупности к показателю генеральной совокупности, выраженному в %.

     

Если  отношение данного показателя близко к 100%, то репрезентативность отбора считается удовлетворительной. На практике часто принимают  границы удовлетворённости репрезентативности +/- 5%, т.е.    95%=<ip <=105% 

Если окажется, что отобранная совокупность нерепрезентативна, то отбор производится заново, если же и вторичный отбор не дал удовлетворительной  репрезентативности, то увеличивается численность выборки.

.Существует два способа распространения данных выборочного наблюдения:

а) Способ прямого пересчёта

б) Способ коэффициентов.

Обратите внимание на лекцию "7 - Геологическая деятельность ветра".

а)  Способ прямого пересчёта применяют в том случае, когда на основе выборки рассчитывают объёмные показатели генеральной совокупности.  Этот способ  заключается в том, что выб. сред. или доля, умноженная на численность генеральной совокупности и получается соответствующий объёмный показатель.

Например, в статистике сельского хозяйства: выход шерсти от овец, находящихся в личном использовании, определяется следующим образом: согласно выборке, годовой настриг шерсти составляет 3 кг с ошибкой выборки +/- 50 гр. среднегодовая численность овец хозяйства 30000 голов.

3*30000=90000 кг=900 ц

50*30000=1500 кг=15 ц

900 (+/-)15   ==  885-915 ц

б) Способ поправочных коэффициентов. Используется при проведении контрольных выборочных наблюдений для проверки и уточнения данных сплошного наблюдения. Он заключается в том, что по одним и тем же объектам сопоставляются данные сплошного и контрольного выборочного наблюдения, в результате чего исчисляют поправочные коэффициенты, которые применяют для внесения поправок в данные сплошного наблюдения.