Расчет координат и построение развертки чебышевской оболочки

ТЕМА 2. Расчет координат и построение развертки чебышевской оболочки

Основной задачей расчета разверток деталей одежды является определение их рациональной формы, обеспечивающей одевание данной поверхности плоским материалом наиболее простым способом при минимальной площади разверток и наименьшем количестве швов. В основе теории расчета разверток лежит решение геометрической задачи об одевании плоской тканью кривых поверхностей. Вследствие того, что ткань является сетчатым материалом, она образует на кривой поверхности криволинейную сеть, в которой противоположные стороны каждого четырехугольника (ячейки из нитей) равны между собой. В одежде, изготовленной из клетчатой ткани с некрупной клеткой, легко заметить, что прямоугольные клетки изменяются на кривых участках поверхности тела в параллелограммы, но длина сторон не подвергается заметному изменению.

Натянутые нити ткани будут находиться в равновесии на поверхности при условии, что они расположатся по геодезическим линиям поверхности. Это условие может быть строго выполнено в каждой части оболочки лишь одной нитью основы и одной нитью утка, так как направление остальных нитей (в силу их взаимной связанности в тканях) на неразвертывающихся поверхностях не совпадает с геодезическими линиями.

Полагая, что эти нити пересекаются между собой под прямым углом, П.Л. Чебышев принимает их за исходные ортогональные геодезические оси координат, считая за координаты длину нитей основы и утка. Когда ткань имеет первоначально плоскую форму, эти координаты прямолинейны и прямоугольны. При облегании тканью поверхности координаты становятся криволинейными, значения их при этом остаются неизменными.

Для построения развертки участка поверхности необходимо в выбранных осях координат (исходных линиях развертывания) определить координаты точек, лежащих на линиях членения поверхности – срезах развертки. Такими точками могут быть точки М1, М2, М3… Мi, лежащие на линии шва (рис. 2.2).

Для определения координат искомых точек на поверхности в заданных осях П.Л. Чебышев вводит две геодезические линии S и U, положение которых можно установить с помощью геодезического угольника.

Геодезический угольник представляет собой две гибкие узкие металлические линейки, соединенные между собой под прямым углом. Обычно геодезический угольник изготавливают из однометровой металлической рулетки.

Рис. 2.1. Схема оболочки из ткани на поверхности сферы

Рекомендуемые материалы

и ее координация для расчета разверток-оболочек

по П.Л. Чебышеву

П.Л. Чебышев предложил аналитический метод определения координат искомых точек по формулам:

где:  x и y – координаты заданной точки оболочки в плоскости;

S – кратчайшее расстояние от заданной точки до оси OY на поверхности;

U – кратчайшее расстояние от точки пересечения оси OY линией S заданной точки до оси OX на поверхности;

K0, K1, K2 – коэффициенты разложения в степенной ряд гауссовой кривизны поверхности в заданной точке. При этом K0>K1>K2 и т.д.

Таким образом, чтобы рассчитать развертку оболочки, необходимо определить для точек, лежащих на линии членения (шва), геодезические координаты S и U, а также кривизну поверхности в этих точках или коэффициенты разложения в степенной ряд кривизны поверхности – K0, K1, K2.

Сущность построения разверток оболочки поверхности сводится к определению величины координат искомых точек, лежащих на линии шва. Таким образом, точность построения разверток оболочки зависит от того, сколько точек взято по линии членения (рис. 2.2).

Как математик П.Л. Чебышев проверил теоретические выводы на практике применительно к сферической поверхности, для которой кривизна в любой точке величина постоянная: K = 1/Rш.

Чебышев определил форму развертки оболочки шара, состоящей из двух частей, и нашел простой способ ее построения дугами окружностей радиусов r и R (рис. 2.3).

Эти радиусы определяются по формулам:

R =0,65Rш;

R=2,46Rш.

 При АВ=ВС; ОА=ОС=0,5pRш

ОВ=1,42Rш,

где   Rш – радиус шара.

Оболочку раскраивают, располагая нити основы и утка ткани по осям координат ОХ, OY.

Экспериментальная проверка оболочек из разных тканей (канвы, бортовой парусины, шерстяных костюмных тканей) свидетельствует о возможности изготовления по разверткам Чебышева плотно облегающей оболочки из ткани для поверхности шара, состоящей из двух частей.

По результатам своей работы П.Л. Чебышев сделал такие выводы:

“Два куска указанной формы, будучи скроены и сшиты, сообразно с тем, что мы описали, дали результат, не оставляющий желать лучшего, как вы сами можете судить. Это доказывает, насколько вышеизложенное соображение согласуется с практикой”.

Необходимо заметить, что во времена Чебышева форма одежды не определялась поверхностью тела. Сама поверхность тела деформировалась корсетом. То есть поверхность тела была задана корсетом, а ткань туго натягивалась с помощью шнуровки на корсет или на кринолин. При этом очевидно, что форма или поверхность тела человека, деформированного корсетом, была жестко задана. К тому же мода не оказывала на одежду столь скоротечного влияния.

Рис. 2.2. Схема расчета разверток оболочек по П.Л. Чебышеву

Рис. 2.3. Графический способ построения развертки –

оболочки для шара из двух частей

В настоящее время одежда не имеет жесткого каркаса; форма одежды определяется многими факторами: формой тела человека, назначением, материалом, требованиями моды и т.д.

Постоянная изменчивость формы одежды затрудняет использование аналитического метода определения координат и построения разверток ее деталей как оболочек поверхности. Очень сложно определять геодезические координаты S и U и практически невозможно определить коэффициенты кривизны поверхности К0, К1, К2 для заданных точек поверхности.

Вопросы теории и практики метода оболочек применительно к одежде получили дальнейшее развитие в работах А.В. Савостицкого.

Как отмечалось выше, аналитический метод расчета координат и построения разверток деталей одежды как оболочек в чебышевских сетях в настоящее время не может быть использован, т.к. в формулы входят коэффициенты разложения в степенной ряд гауссовой кривизны поверхности. Сведениями о кривизне поверхности одежды и методами ее определения конструкторы одежды в настоящее время не располагают.

Поэтому для расчета координат точек А.В. Савостицким предложены формулы, полученные на основе формул П.Л. Чебышева:

В этих формулах А.В. Савостицкий ввел дополнительную геодезическую координату  –  наикратчайшее расстояние от заданной точки на поверхности до оси ОХ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Геодезическая координата  на поверхности с кривизной

Эти формулы обеспечивают достаточную точность при построении разверток, если сетевой угол, образованный нитями ткани, j>75⁰. В случае, если j<75⁰, можно использовать более точные формулы:

Где

Как видно из этих формул, в них отсутствуют показатели кривизны в точке, для которой рассчитываются координаты. Экспериментальная проверка подтвердила достаточную для одежды точность и возможность использования их для практических целей. Но эти формулы не могут быть признаны универсальными, т.к. по ним нельзя определить координаты любых точек поверхности одежды. На поверхности одежды всегда имеются такие точки, для которых невозможно установить все необходимые геодезические координаты S, U и . Так, например, для точки А₁ (рис. 2.5) нельзя измерить геодезическую координату S_А1; для точки А2 – соответственно  , так как S_А1 и  не проходят по поверхности развертываемой детали.

Формулы, предложенные А.В. Савостицким, используют для оформления координат, так называемых контрольных точек, которые необходимы для точности воспроизведения условий одевания поверхности оболочкой из ткани.

Основываясь на теории чебышевских оболочек, А.В. Савостицкий пришел к интересному выводу: использовать сетчатый материал и его способность изменять сетевой угол для построения разверток заданных поверхностей. Таким образом, решается обратная задача: вначале на участке заданной поверхности из ткани небольшой плотности образуют оболочку, соблюдая все условия перехода ткани в состояние оболочки, а затем, снимая оболочку с поверхности и укладывая ткань на плоскости, получают развертку этой оболочки. Этот метод получил название метода вспомогательной сетки-канвы.

Метод вспомогательной сетки-канвы является практическим переложением работы П.Л. Чебышева “О кройке одежды”. На жестком макете из ткани можно образовать сеть, которая приближается к чебышевской сети поверхности. Такая сеть состоит из элементарных ячеек, образованных нитями ткани, а сама ткань находится в состоянии оболочки этой поверхности. На оболочке можно отметить контурные линии, измерить сетевые углы в элементарных ячейках, нанести и измерить геодезические линии. Снимая такую оболочку с поверхности и размещая ее на плоскости в ортогональных осях с восстановлением сетевых углов 90⁰, можно получить ее развертку.

Рис. 2.5. Геодезические координаты S, U,

на поверхности макета женского изделия

Метод вспомогательной сетки-канвы имеет целый ряд преимуществ по сравнению с приближенными методами конструирования. Прежде всего этот метод отличается обоснованностью исходных данных. При нем проектирование разверток основано на использовании заданной формы изделия. Форма проектируемого изделия разрабатывается в натуральную величину в виде жесткого макета, она может быть детально изучена, а также оценена с точки зрения соответствия с эстетическим, техническим, экономическим, эксплуатационным, эргономическим и другими требованиями.

Наличие заданной формы проектируемого изделия позволяет выбрать оптимальный вариант получения разверток отдельных деталей и изделия в целом. Это прежде всего выбор оптимального членения поверхности изделия на узлы и детали с учетом эстетических, функциональных, экономических и других требований. Для каждой детали можно выбрать оптимальные условия развертывания, то есть оптимальное положение исходных линий развертывания – осей координат, которое бы обеспечило получение необходимой и устойчивой в эксплуатации пространственной формы детали с учетом свойств конкретного материала при минимальном перекосе нитей или элементов структуры материала, с минимально возможной площадью развертки, с минимальными технологическими деформациями по срезам разверток и т.д.

Особенно большие преимущества метод вспомогательной сетки-канвы дает при проектировании одежды из трикотажа. Развертки, полученные этим методом, отличаются экономичностью, т.к. имеют минимальное количество швов, рациональную конфигурацию, оптимальную деформацию по срезам. Изделия, изготовленные по таким разверткам, характеризуются высокой формоустойчивостью, заданной степенью устойчивости к истирающим нагрузкам и т.д.

Однако наиболее сложным на современном этапе является процесс разработки макетов внешней формы изделий. Использование методов различных съемок (стереофотограмметрической, симультанной и др.) позволит накопить материал по внешней форме одежды и использовать его при разработке макетов. Применительно к трикотажу эта проблема упрощается, т.к. трикотажные изделия не отличаются большим разнообразием форм, а свойства полотна позволяют проектировать и получать форму более простыми средствами.

Информация в лекции "30. Способы и методы защиты от вибрации, нормирование вибрации" поможет Вам.

Вопросы для самоконтроля

1.  В чем заключается сущность расчета разверток оболочек, предложенного проф. П.Л. Чебышевым?

2.  Почему до сих пор не используется в практике проектирования одежды аналитический расчет по Чебышеву?

3.  В чем заключается сущность аналитического расчета разверток оболочек, предложенного проф. А.В. Савостицким?

4.  Дайте характеристику метода вспомогательной сетки-канвы.

5.  В чем заключаются преимущества метода вспомогательной сетки-канвы?