Чебышевские сети поверхности
ТЕМА 1. Чебышевские сети поверхности
В одежде, изготовленной из клетчатой ткани с некрупной клеткой, легко заметить, что прямоугольные клетки изменяются на кривых участках поверхности тела в параллелограммы. На эту особенность одевания поверхности тканью впервые обратил внимание академик П.Л. Чебышев, который в своей работе “О кройке одежды” еще в прошлом веке математически доказал возможность расчета разверток плотнооблегающих оболочек из ткани для различных поверхностей.
Рассказывают, что однажды П.Л. Чебышев ехал на пролетке и обратил внимание на обтянутую тканью спину извозчика. Через некоторое время он сделал в Париже доклад “О кройке одежды”, в котором заложил основы теории сетей.
П.Л. Чебышев как математик разработал метод развертывания сложных поверхностей с использованием сетей. Метод чебышевских сетей широко применяется в технике. С помощью этого метода проектируют сложные тентовые покрытия при строительстве зданий и сооружений из железобетона, каркасы судов, рассчитывают конструкции парашютов и т.д.
Чебышевская сеть состоит из двух семейств линий, которые при пересечении образуют четырехугольники или параллелограммы с равными противоположными сторонами. Эта сеть может быть образована на любой поверхности, с ее помощью можно исследовать поверхности и аналитически рассчитывать их развертки.
Ткань имеет сетчатое строение. Чебышев увидел в ткани способность в определенных условиях становиться сетью поверхности. В своих научных трудах он подробно рассмотрел эти условия с целью использования сетчатой структуры для построения разверток деталей одежды.
Действительно, при рассмотрении ткани видно, что на плоскости ее нити образуют сеть прямоугольников с равными параллельными сторонами (рис. 1.1).
Если к ткани приложить небольшие растягивающие усилия, направленные под углом к нитям, ее элементарные прямоугольники преобразуются в параллелограммы.
Величина прилагаемых растягивающих усилий должна быть такой, чтобы длина нитей не изменялась. При приложении небольших растягивающих усилий под углом к нитям ткань из плоского состояния переходит в объемное, и если ее разместить на участке поверхности, она может стать оболочкой поверхности.
Рекомендуемые материалы
Рис. 1.1. Схема состояния чебышевской сети из ткани на плоскости и на поверхности шара
Под оболочкой поверхности принято понимать покрытие какой-либо поверхности, толщина которого несравненно мала по отношению к покрываемой площади, при обязательном условии плотного прилегания. При плотном прилегании каждой точке в оболочке соответствует только одна точка на поверхности. В оболочке не может быть разрывов и складок.
Чтобы ткань перевести в состояние оболочки, к ней необходимо приложить небольшие растягивающие усилия. Ткань оказывает заметное сопротивление растягивающим усилиям только в том случае, если эти усилия направлены вдоль нитей. Приложение таких усилий под углом к нитям вызывает изменение сетевых углов j, то есть преобразование элементарных прямоугольников, образованных нитями ткани, в параллелограммы.
Сетевыми углами принято называть углы в элементарных ячейках чебышевской сети. Для ткани это углы, образованные нитями основы и утка и однонаправленные с осями координат. При этом условии нити ткани на поверхности образуют сеть из параллелограммов, а сама ткань может быть приравнена к чебышевской сети.
Оболочка из ткани на поверхности должна быть строго координирована и находиться в равновесном состоянии. Если к одиночной нити на поверхности приложить небольшое растягивающее усилие, то она приобретет равновесное состояние только в том случае, если расположится по геодезической линии поверхности – S (рис. 1.1).
Геодезическая линия, или, как ее определил П.Л. Чебышев, линия наикратчайших расстояний, есть наименьшее расстояние между двумя точками на поверхности. Геодезическая линия обладает свойством развертываться на плоскости в прямую при сохранении своей длины. Ортогональные геодезические линии развертываются на плоскости в ортогональные прямые.
Если к ткани прилагать небольшие растягивающие усилия, то в оболочке определенного участка поверхности только одна нить основы и только одна нить утка будут совпадать с направлением геодезической линии поверхности. Это объясняется тем, что в оболочке неразвертываемой поверхности нити ткани, изгибаясь, остаются равноудаленными друг от друга и параллельными, а геодезические линии не могут быть параллельны между собой, что обусловлено особенностью неразвертываемых поверхностей. Например, для сферической поверхности геодезическими линиями являются меридианы, но для такой поверхности они не могут быть параллельными между собой.
В оболочке заданного участка поверхности можно выбрать только одну пару нитей ткани, положение которых будет совпадать с направлением ортогональных геодезических линий. Эту пару нитей принимают за оси координат – исходные линии развертывания. В развертке это ортогональные прямые.
Таким образом, основные положения чебышевских сетей при переходе ткани из плоского состояния в объемное можно сформулировать следующим образом:
§ длина нити ткани не изменяется, происходит лишь ее изгибание и изменение сетевого угла. При этом стороны элементарных участков остаются параллельными;
§ для того чтобы ткань из плоского состояния перешла в оболочку поверхности, необходимо к ней приложить усилие. В качестве таких усилий могут быть вес ткани, трение, закрепление зауженных изделий швами и др.;
§ ткань оказывает сопротивление прилагаемым усилиям только в том случае, если эти усилия направлены вдоль нити, а если по диагонали – то не оказывает;
§ ткань на поверхности будет находиться в равновесии, если нити, к которым приложены необходимые усилия, располагаются на поверхности по геодезическим линиям;
§ в каждой части поверхности может быть выбрана только одна пара ортогональных нитей, положение которых совпадает с геодезическими линиями.
Обратите внимание на лекцию "Методики психодиагностики способностей".
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте характеристику чебышевских сетей.
2. Какая линия называется геодезической?
3. Какие углы называются сетевыми?
4. Что понимается под оболочкой поверхности?
5. Сколько нитей ткани в оболочке будет располагаться ортогонально по геодезическим линиям?
