Теория хаоса и порядка
4. Теория хаоса и порядка.
4.1 Философия нестабильности, бифуркации.
Мы уже говорили о том, что хаотические отступления от ньютоновского детерминизма вначале казались недоразумением, либо погрешностями опыта. Но оказалось, что реальная необратимость процессов (по Ньютону и Лапласу этого не должно быть) и есть причина отступлений от механистического описания явлений. Мы говорили о тепловом хаосе и о Максвелле – создателе статистической механики. С одной стороны теория Максвелла-Фарадея описывает обратимые процессы, а реальность (выравнивание температур в изолированной системе) убеждает в другом. Хаотичным оказалось и излучение. Но даже в классической механике (Ньютона, Лагранжа, Мопертюи) ещё Пуанкаре в задаче трех тел обнаружил, что фазовые траектории точек (рис.1) – это «ткани» с бесконечно тесными нитями. При этом ни одна из траекторий никогда не пересекает себя! То есть уже в задаче трех тел – фактическая необратимость.
Гейзенберг пришел к выводу, что при эволюционировании системы на малых отрезках времени неопределенность состояния увеличивается медленно, а на больших – сильно. Более того, и в простых ньютоновских системах возникают случайные явления, от которых не избавиться уточнением начальных условий и учетом внешних воздействий на них. Система здесь подчиняется детерминистским законам, а совершает хаотические движения. Здесь, оказывается, нет устойчивости решения задачи (карандаш не будет стоять вертикально на острие и так далее).
Хаотические движения удобно анализировать, используя понятие фазового пространства (для движения, например, вдоль прямой по осям фазового пространства откладывают координату и скорость точки). Например, сравним траекторию в фазовом пространстве маятника (одномерное движение с изменением координаты – угла отклонения) без затухания (рис. 1а) и с затуханием (рис. 1б).
В последнем случае фазовая траектория оказывается в начале координат (состояние покоя), отвечающем положению равновесия. Эта точка – аттрактор – обобщенное понятие равновесия. При хаотическом движении фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а потом хаотически «перемешиваются». Так создаются складки. Такая область фазового пространства со складками называется странным аттрактором (с перескоками из одной области в другую, рис.2). Но эти складки возможны только в фазовом пространстве трехмерном и выше.
У странных аттракторов есть фракталы – объекты, проявляющие по мере увеличения их изображения все большее число деталей. Таковыми являются коллоиды, отложения металла на электродах при электролизе, клеточные популяции. При электролизе слой меди (для шарика) растет не пропорционально кубу расстояния, а по степенному закону с показателем 2,4. Хаос порождает фракталы, а фазовая траектория обладает для фракталов самоподобием, то есть при выделении двух близких точек на фазовой траектории фрактала и последующим увеличением масштаба траектория между этими точками наблюдается такой же хаотичной, как и вся она в целом.
4.2 Диалектика катастроф. Порядок и хаос в макросистемах.
Рекомендуемые материалы
Все самоорганизующиеся процессы имеют пороговый характер. Так, при малых скоростях течения вязкой жидкости флуктуации затухают и рассасываются. А выше порога – уже не рассасываются, достигая макромасштабов, выводя систему на новый устойчивый режим, но с новой структурой. Это уже описывается нелинейными уравнениями для системы вдали от равновесия (с несколькими решениями).
Катастрофа – это скачкообразное изменение параметров в ответ на малые изменения внешних условий (потеря устойчивости). Теория катастроф - это обобщение теории поиска экстремумов (минимумов и максимумов) на случай многих переменных. Она опирается на теорию гладких функций. У истоков ее были Пуанкаре, Ляпунов, Андронов (бифуркации), Понтрягин (ввел понятие грубости – структурной устойчивости структуры). Эта теория нашла многие применения, в том числе при исследовании биений сердца, а так же в геометрической оптике, лингвистике, геологии, гидродинамике, моделировании деятельности головного мозга и психических расстройств, политике, цензуры, в теории элементарных частиц и так далее.
Эта теория – переворот в математике и физике. Считают, что она гораздо ценнее и информативнее, чем, например, математический анализ. Она даёт, как частный случай, и теорию всех плавных процессов и позволяет свести множество сложных ситуаций к небольшому числу изученных схем, ибо глобальная природа всех явлений, по-видимому, едина.
4.3 Количественные законы эволюции.
Теория катастроф описывает области устойчивости структур, а развертка статистических закономерностей во времени описывается теорией бифуркаций, – теорией удвоения, или ветвления. Речь идет о нелинейных системах, которые имеют ряд решений. При этом нужно найти, какие именно из них ответвляются от известного решения при изменении параметров. Управляющими параметрами можно вызвать катастрофические скачки состояний системы. Последовательность бифуркаций, возникающая при углублении неравновесности в этой системе, меняется и процесс может идти по разным сценариям.
Классической иллюстрацией перехода к хаосу является картина роста популяции насекомых на изолированном острове. Летом выводятся насекомые численностью Х j и откладывают яйца. На следующий год их станет Х j+1. Это число зависит линейно от Х j и от (1– Х j) (насекомые двух полов), а также от некоторого параметра скорости роста – С. При С < 1 и увеличении j (номер года) популяция вымирает.
При 1 < C < 3 ее численность приближается к значению Х= 1 – 1/С – это область стационарного состояния.
При 3 < C < 3,4 уже получается две ветви зависимости Х= Х(С) – 2 ветви решений и численность колеблется между ними (рис. 3). То есть существует диапазон значений параметра с упорядоченным и периодичным поведением системы. При этом вначале численность резко растет, откладывается много яиц. На следующий год появляется перенаселенность, резко снижается численность в следующем году. Поэтому период колебаний численности насекомых равен 2 годам.
При 3,4< C < 3,54 – уже 4 ветви (четырех-стадийный цикл колебаний) – период удваивается и так далее. Фейгенбаум (1978) нашел универсальный закон перехода к хаосу при удвоении периода.
При С = 3,57 период стремится к бесконечности, поведение системы становится хаотичным, различные решения перекрываются.
Расчеты на ЭВМ (смотрите рис. 4) становятся некорректными (когда даже решения начинают зависеть от случайных процессов в самой машине), решения для близких начальных условий оказываются далекими. Медленное изменение параметра приводит к затягиванию потери устойчивости, но затем система скачком переходит в (само-) автоколебательный режим (рис.4).
4.4 Теория самоорганизованной критичности.
Большие системы из многих взаимодействующих элементов самоорганизуются и достигают критического состояния, в котором малейшие изменения в системе вызывают цепную реакцию и катастрофу. Поэтому была разработана теория метода самоорганизованной критичности. Расчленять такие системы на их элементы для их изучения бесперспективно.
По этой теории глобальные характеристики системы не зависят от механизмов в подсистемах, а поэтому ее надо изучать как целое. Суть теории в том, что основные части системы эволюционируют естественным образом к критическому состоянию, в котором малое возмущение может вызывать цепную реакцию, способную повлиять на любое число элементов системы.
В качестве примера рассмотрим бросание по одной песчинке на круглую подложку, когда, в конце концов, возникает лавина (цепная реакция). Она проходит и вновь процесс повторяется. При этом куча сохраняет свою крутизну и высоту. Математическая модель помогла понять, например, динамику землетрясений, процессы в экосистемах, турбулентность в жидкости. Бобров и Лебедкин (из Подмосковья) промоделировали землетрясения и сравнили модель с реальностью. Оказалось, что их модель объясняет эволюцию землетрясений и описывает распределение их эпицентров.
Прогнозирование землетрясений – уже более сложная задача из-за зависимости результата от начальных условий и наличия событий, далеких от эпицентра (например, бомбардировка НАТО в Югославии). Неопределенность начальных условий растет со временем по степенному закону, как в системах с развитым хаосом. В этом проявляется самоорганизованная критичность. В таких ситуациях прогнозы возможны.
Например, если погода – явление хаотичное и 100 метеостанций дают прогноз на 2 дня, то 1000 станций могут обеспечить прогноз уже на 4 дня и так далее. Эта теория применима только к системам с сохраняющимся числом частиц. Флуктуации в обществе и экономике - это примеры лавин в самоорганизованном критическом состоянии систем. В них лавины возможны и без внешних толчков.
4.5 Понятие о квантовом хаосе.
Итак, в классическом нашем обычном макромире хаос в нелинейных системах играет доминирующую роль. В таком случае, если учесть ещё, что квантовая физика изначально вероятностна, то в микромире его проявление должно быть в значительно большей мере. Известен принцип соответствия Бора, согласно которому классическая физика – частный, предельный, случай проявления квантовых эффектов, когда размер системы превышает атомный.
Рекомендуем посмотреть лекцию "Растяжение и вывих крестцово-подвздошного сустава".
Оказывается (теорема Колмогорова–Арнольда–Мазера) структуры правильной формы при малых возмущениях выживают. По этой теореме можно определять возмущения, вызывающие хаотическое поведение регулярных систем. Например, движение электрона в атоме водорода иногда приобретает хаотичность. Без внешнего воздействия разрешенные значения энергий электрона в атоме при подводе ее извне все больше приближаются друг к другу, то есть растет размер атома и атом становится классической системой, в которой выполняются законы Ньютона.
В сильном магнитном поле атом ведет себя хаотично. В этом случае ось симметрии ориентирована вдоль направления поля и электрон движется в двухмерной плоскости. Поэтому нет движения вокруг оси, но есть оно вдоль и поперек нее. Здесь можно, по Пуанкаре, использовать двухмерную плоскость и следить за точками, в которых траектория пересекает эту плоскость. Хаос в микромире проявляется в распределении уровней электронов атомов (их орбит) и влияет на волновую природу квантового мира.
При возбуждении атома (при переходе электронов на далекие от ядра уровни, или орбиты) уровни энергии атома кажутся неупорядоченными. Фурье-анализ позволяет выделить из спектра ряд отчетливых пиков, точно соответствующих классическим (боровским) периодическим орбитам электронов. Особенно интересна связь квантового хаоса и теории чисел. Например, значения чисел, обращающих дзета-функцию Римана в нуль, напоминают энергетический спектр атома (рис. 5). Почему так – неясно!
Итак, идея молекулярного беспорядка ликвидировала различия в механистическом и статистическом описаниях. Идеи беспорядка появились и в классических науках, теории поля Максвелла и в гипотезе Планка, в небесной механике. Особенно развились они в квантовой теории. Далее установили, что случайные воздействия могут влиять и на динамические системы, доводя их до хаоса – это нелинейные колебательные системы. Их эволюцию прослеживают по фазовым траекториям. В них появляются аттракторы, отражающие стремление системы к равновесию. Область хаотических траекторий – странный аттрактор - обнаруживает фрактальность, присущую многим явлениям.
Пороговый характер самоорганизации отражен в понятии катастрофы, скачкообразном изменении параметров системы, вызванном плавными внешними воздействиями. Теория катастроф свела множества сложных случаев к небольшому набору уже исследованных схем. Она применима во всех областях знаний без исключения для систем, далеких от равновесия. Странные аттракторы обнаружили, по Фейгенбауму, законы перехода к хаосу, когда период, о котором говорилось (рис. 4 и 5), удваивается. Наличие законов перехода, когда точка бифуркации, в которой параметр меняется скачкообразно, позволяет назвать хаос детерминированным.
По теории самоорганизованной критичности каждая часть большой системы переходит к своему критическому состоянию, в котором малые изменения параметров могут вызвать цепную реакцию. Оказалось, например, что земная кора находится в критическом состоянии (состояние «слабого хаоса», где возможны еще прогнозы). Это же можно сказать и о слабо возбужденных атомах (смотрите рис. 5). А вот при сильном возбуждении атомы (точнее электроны в них!) обнаруживают хаотическое поведение и, согласно принципу соответствия Бора, квантовая механика переходит в классическую, применяемую в предельном случае объектов с размерами больше атомных.
