Моделирование систем массового обслуживания с отказами

3. Моделирование систем массового обслуживания с отказами

Первоначально рассмотрим простейшую систему массового обслуживания - работу одноканальной системы массового обслужи­вания с потерями. На примере этой системы покажем основные принципы получения формул для расчета систем массового обслу­живания.

На вход системы поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью λ, а время обслуживания Тоб распределяется по показательному закону, интенсивность которого v = 1/Tоб. Требова­ние, поступающее в систему в тот момент, когда обслуживающий канал занят, покидает систему.

Необходимо определить основные характеристики системы: абсолютную пропускную способность А, т.е. ее производительность, и относительную пропускную способность q, эквивалентную коэф­фициенту полезного действия системы.

Формулы дои анализа и расчета систем массового обслужива­ния получают следующим образом:

строят граф состояний системы  S;

описывают вероятности состояний системы;

определяют вероятности переходов из одного состояния в дру­гое;

строят дифференциальные уравнения поведения системы;

Рекомендуемые материалы

решают систему дифференциальных уравнений;

на основе решения системы получают зависимости для расчета характеристик системы массового обслуживания.

Одноканальная система массового обслуживания S может на­ходиться в двух состояниях:

S0  когда в системе нет требований и обслуживающий канал свободен;

S1  когда в системе имеется требование и канал занят его об­служиванием.

Из состояния So система может перейти в состояние Si и, на­оборот. Из состояния So в Si система переходит при поступлении требования, а из состояния Si в So - по окончании обслуживания требования. Иначе говоря, из состояния So в состояние Si систему переводят входящий поток с интенсивностью λ, а из Si в So - поток обслуживании с интенсивностью v.

Граф состояний системы приведен на рис. Х.2. Обозначим ве­роятности состояний So и Si соответственно Ро и Pi . Очевидно, что Po+Pi = l.

Определим вероятность пребывания системы в состоянии So(Po) и изменения этого состояния за малый отрезок времени ∆t, т.е. вероятность того, что в момент (t + ∆t) система будет в состоя­нии So. Это событие может произойти двумя способами:

в момент t система находилась в состоянии So и за время ∆t не изменила состояния (So → ∆t → So);

в момент t система была в состоянии S1 и за время ∆t  пере­шла в состояние So (S1→ ∆t → So).

Вероятность первого варианта обозначим РA а второго РB. Вероятность первого варианта найдем по теореме умножения веро­ятностей. Она равна произведению вероятности пребывания си­стемы в состоянии So на условную вероятность того, что система из состояния So не перейдет в S1

Тогда вероятность того, что состояние системы не изменится, будет равна

Раскроем скобки в правой части, перенесем Ро в левую часть и разделим обе части равенства на ∆t, в результате этого получим

При ∆t, стремящемся к нулю, перейдем к пределам и получим

Так как выражение в правой части представляет первую про­изводную, получаем дифференциальное уравнение для состояния So

Аналогичным образом можно получить дифференциальное уравнение состояния S1

Таким образом, дифференциальные уравнения для вероятно­стей состояний системы имеют вид

Решая полученное уравнение для начальных условий Ро(0)=0 и Р1(f) = 1 (т.е. в начальный момент времени канал свободен), получа­ем

Каждый из n каналов может одновременно обслужи­вать только одно требование и все каналы функционируют независимо.

В систему поступает простейший (пуассоновский) по­ток требований с параметром λ. Время обслуживания каж­дого требования является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.

Состояние такой системы описывается системой диф­ференциальных уравнений:

где Pi(t) — вероятность того, что в системе в момент време­ни t занято k каналов обслуживания.

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

2. Вероятность того, что в системе находится k требований:

3. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

4. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

5.        Коэффициент простоя каналов:

6.        Среднее число занятых обслуживанием каналов:

7.        Коэффициент загрузки каналов:

Для данного класса систем массового обслуживания ре­шаются задачи выбора оптимального количества аппара­тов, подбора параметров обслуживающего комплекса, рас­чета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

где а — норма амортизации; с1 — цена канала обслужива­ния; с2 и с3 — текущие затраты на обслуживание работаю­щего и простаивающего канала; с4 — потери производства от невыполнения одной работы (потери одного отказа), Т — годовой фонд рабочего времени системы.

Пример 1. Фирма имеет n=4 телефонных диспетче­ров. Среднее число вызовов в течение часа составляет λ=96. Среднее время телефонного разговора То6 = 2 минуты. Оп­ределить степень загрузки диспетчеров и вероятность отка­за в обслуживании.

Решение. Определим параметр системы

1. Вероятность того, что все диспетчеры свободны:

2. Вероятность того, что все диспетчеры заняты (веро­ятность отказа):

Люди также интересуются этой лекцией: 7. Индексация документов.

т. е. клиент не сможет дозвониться с первого раза в 30 слу­чаях из 100.

3.Среднее число занятых диспетчеров:

4.Коэффициент загрузки каналов:

Следовательно, каждый диспетчер будет занят в сред­нем 0,62 рабочего дня.