Системы счисления

· Информационные основы ЭВМ

1. Системы счисления.
2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
3. Способы представления чисел в ЭВМ.
4. Машинные коды двоичного числа.

Системы счисления

Можно сказать, что любое число имеет значение (содержание) и форму представления. Значение числа задает его отношение к значениям других чисел (больше, меньше или равно) и, следовательно, порядок расположения чисел на числовой оси. Форма представления определяет порядок записи числа с помощью предназначенных для этого знаков. При этом значение числа является инвариантом, т.е. не зависит от способа его представления. Это означает также, что число с одним и тем же значением может быть записано по-разному, т.е. отсутствует взаимно однозначное соответствие между представлением числа и его значением.

В связи с этим возникают вопросы:

- о формах представления чисел;

- о возможностях и способах перехода от одной формы к другой.

Способ представления числа определяется системой счисления.

Система счисления – это правило записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр.

Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Рекомендуемые материалы

В непозиционных системах счисления, которые появились значительно раньше позиционных, смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Примером такой системы счисления является римская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква – V пять, X – десять, L – пятьдесят, C – сто, D – пятьсот, M – тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. Недостатком непозиционных систем является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами.

В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр.

Позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом – множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр в нем) называется основанием системы счисления. Последовательная запись символов алфавита (цифр) изображает число. Позиция символа в изображении числа называется разрядом. Разряду с номером 0 соответствует младший разряд целой части числа. Каждому символу соответствует определенное число, которое меньше основания системы счисления. В зависимости от позиции (разряда) числа значение символа умножается на степень основания, показатель которой равен номеру разряда.

Таким образом, любое число А в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома:

,             (1)

где   q – основание системы счисления;

         m – номер разряда целой части, отсчитываемый от нуля;

         k – количество цифр в дробной части числа;

          - коэффициент i-го разряда.

Например, .

Из коэффициентов  при степенях основания строится сокращенная запись числа:

                                                                                                          (2)

Наиболее распространенной и привычной системой счисления является всем нам хорошо известная десятичная система счисления. Любое число в ней записывается с помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В ЭВМ для представления информации используются также двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Теоретически наиболее экономичной системой счисления является система с основанием . Использование же двоичной системы счисления обусловлено:

- более простой реализацией алгоритмов выполнения арифметических и логических операций;

- более надежной физической реализацией основных функций, так как они имеют два состояния (0 и 1);

- экономичностью аппаратной реализации всех схем ЭВМ.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения числа производится существенно меньшим числом знаков.

Для удобства сопоставления рассмотренных систем счисления приведем таблицу первых 16 чисел натурального ряда.

Таблица 1.

Натуральный ряд чисел в различных системах счисления

В цифровых вычислительных системах используют также комбинированную, двоично-десятичную систему счисления, облегчающую запись больших чисел с применением двоичного кода. В этом случае каждый разряд десятичного числа записывают двоичным кодом, используя для этого соответствующие тетрады (четырехзначные двоичные элементы). Недостатком такой системы является ее избыточность для чисел меньших восьми (недоиспользуются многие двоичные разряды).