Аналитическое построение математической модели
Аналитическое построение математической модели
Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:
- выбираются обобщенные координаты (1.1), характеризующие объект;
- выбираются начальные условия;
- определяются физические или химические закономерности, которым подчиняется поведение технического объекта;
- выявляются факторы, влияющие на входные и выходные сигналы;
- при наличии нелинейных характеристик уравнение по возможности линеаризуется.
Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев на примерах анализа работы элементов электрических цепей. Для этого понадобятся знания закона Ома и законов Кирхгофа. Вспомним законы Кирхгофа:
- для токов. Алгебраическая сумма втекающих и вытекающих в узел токов равна нулю;
- для напряжения. Алгебраическая сумма падения напряжения на элементах замкнутого контура равна нулю.
Рекомендуемые материалы
Пример 1.1. Моделью типового апериодического звена может служить пассивная R C цепь:
Если входным воздействием считать напряжение Uo, выходным - 
, и цепь считать ненагруженной, то, воспользовавшись дифференциальными уравнениями цепи, составленными на основе уравнений Кирхгофа, можно записать:
, 
.
| Учитывая, что R * i + U = U0. Далее воспользуемся известной формулой зависимости тока на емкости от напряжения | ||
, обозначим ток в цепи через i и перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений, получим 
, подставим ее в уравнение, получим 
. Введем обозначение T = R * C, тогда уравнение динамики примет стандартный для звена вид 
.Пример 1.2. Составим дифференциальное уравнение колебательного звена, аналогом которого, может быть контур R L C.
| Люди также интересуются этой лекцией: Тема 1. Характеристика государственного сыска. U R + U L + U C = U0; | ||
|
| ||
| Введем обозначения: T = | ||
|
|
; 
; 
;
; 
; 
= 0.5 R 
; тогда уравнение динамики звена примет стандартный вид:
.Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковом поведении процессов во времени. Аналогично рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта или системы.
