Лекция 20.

Синтез последовательных аналоговых регуляторов.

План лекции.

1. Общая последовательность синтеза.

2. Пример синтеза последовательного аналогового корректирующего устройства.

1. Общая последовательность синтеза.

Рассмотрим синтез цифровой САУ с аналоговым регулятором, включенным последовательно с объектом управления. Z-передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Цель синтеза состоит в определении физически реализуемой передаточной функции  D(p) , обеспечивающей требуемые показатели качества системы управления. Из выражения видно, что передаточная функция D(p) преобразуется совместно с W(p) и независимо исследовать эффект, производимый регулятором, нельзя. Синтез последовательного аналогового устройства можно проводить с использованием W-преобразования и ПЧХ цифровой системы. Рассмотрим этот способ

W-преобразование задаваемое формулами

отображает Z-передаточную функцию W(z)  в новую передаточную функцию W*(w). Для W-передаточной функции W*(w) можно построить логарифмические ПЧХ, то есть зависимость амплитуды в децибелах и фазы в градусах  от l=Im w. По этим характеристикам можно определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе, оценить точность системы в установившемся режиме. Перенося эти характеристики на номограмму замыкания можно получить информацию о резонансном пике (показатель колебательности) и частоте, на которой этот пик имеется.

Рекомендуемые материалы

Рассмотрим прямой метод синтеза цифровых СУ с аналоговыми регуляторами, основанный на применении W-преобразования. Применительно к рассмотренной схеме можно предложить следующие основные этапы синтеза:

1.Находим передаточную функцию системы без коррекции

2.Полагая w=jl, строят ЛАФПЧХ для функции W*(w)

При необходимости переносят эти характеристики на номограмму замыкания. Находят запасы устойчивости, показатель колебательности, оценивают динамические свойства нескорректированой САУ.

3. Если нужна коррекция, то ПФ W*(w) умножают на передаточную функцию последовательного регулятора D*(w). Регулятор вводят для изменения формы ЛАФПЧХ. При этом желаемые частотные характеристики формируются аналогично коррекции непрерывных систем,   то есть

низкочастотная часть - исходя из требований к точности системы;

среднечастотная часть – с наклоном 20 дб/дек;

высокочастотная часть с учетом неминимально-фазового звена 1-jlT/2

По полученной W-передаточной функции  D*(w)W*(w)=Wск(w) необходимо перейти к выражению D(p) W(p) S(p), и выделить передаточную функцию аналогового регулятора D(p), так как выражение S(p)W(p) известно.

При этом ПФ D(p) должна быть физически реализуемой, то есть:

а) полюсы D(p) должны лежать в левой полуплоскости плоскости “р” и быть простыми и действительными;

б) количество полюсов D(p) должно превосходить число нулей или быть равным ему. Полюсы D(p) обусловлены полюсами D*(p). При

                 и  .

Отсюда следует, что D*(w) может иметь только простые действительные полюсы в диапазоне (-2/Т, 0).

4. При известном Wск(w)=D*(w)W*(w) для получения D(p) S(p) W(p) нужно сделать переход от переменной W  к переменной P. При этом

но                      .          

Для нескорректированной системы имеем

или, переходя к переменной w,

Запишем передаточную функцию скоррректированной САУ

отсюда

   Передаточная функция D(p)W(p)/p получается из последнего выражения разложением  на сумму элементарных дробей и нахождением соответствующих оригиналов. Для этого используют таблицы.

5. Из найденного выражения D(p) W(p) /p нетрудно найти D(p). Однако во многих случаях D(p) будет иметь нулей больше, чем полюсов. Чтобы сделать D(p) физически реализуемой, можно добавить несколько удаленных полюсов в передаточную функцию D(p). эти добавленные полюса не должны оказывать сколько нибудь заметного влияния на показатели качества системы.

2. Пример синтеза последовательного аналогового корректирующего устройства.

Пусть неизменяемая часть системы имеет передаточную функцию

                                        .

Тогда Z-передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид

Применяя W-преобразование получим

                    .

Соответствующие ЛАФПЧХ изображены на рисунке 48.

   Фазовая характеристика пересекает уровень -180 при l=1 и САУ имеет малые запасы устойчивости. Чтобы получить   Dj =45⁰ частоту среза нужно сдвинуть в точку l=0.4 , где . Для этого АЧХ в окрестности l=0,4 нужно опустить на 8 дб без уменьшения коэффициента передачи системы. Выберем в качестве аналогового регулятора D*(w) модель с передаточной функцией:

                                           ().

Считая, что частота l=0,4 будет находиться на высокочастотных асимптотах числителя и знаменателя, определим  из условия требуемого ослабления:

                                20lg=-8дб

и тогда

Чтобы отрицательный фазовый сдвиг, вносимый регулятором, незначительно влиял на ФЧХ в окрестности новой частоты среза значение 1/t должно быть на порядок меньше этой новой частоты, то  есть

                                    .

Тогда W-передаточная функция  D*(w) примет вид

Таким образом

.

Z-передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Переходная функция скорректированной САУ представлена на рис.49. Качество переходных процессов в скорректированной системе является хорошим.

Определим ПФ аналогового регулятора. Имеем

причем, учитывая, что в таблицах преобразований всегда присутствует член   (1-Tw/2), необходимо раскладывать на элементарные дроби выражение

.

Каждому слагаемому правой части последнего выражения по таблице подбираем пару

Ещё посмотрите лекцию "Лекция 12" по этой теме.

и тогда

откуда

                                     .

Чтобы D(p) была физически реализуема добавим удаленный полюс р=-10. В итоге получим:

                                  .