Ответы к экзамену: Билеты и задачи

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИЭТ, Эл-12÷18, 3 семестр, 2018/19 уч. год

Лектор: доц. Янченко А.Я.

Экзаменационная программа

1. Двойной интеграл. Определение. Свойства (линейность, аддитивность, интегри-рование неравенств, теорема о среднем).

2. Тройной интеграл. Определение. Свойства (линейность, аддитивность, интегри-рование неравенств).

3. Сведение двойного интеграла к повторным (доказательство в случае прямо-угольника). Сведение тройного интеграла к повторным (без доказательства).

4. Теорема о замене переменных в кратных интегралах (без доказательства). Полярные координаты. Переход в двойном интеграле к полярным координатам.

5. Теорема о замене переменных в кратных интегралах (без доказательства). Цилиндрические координаты. Сферические координаты. Переход в тройных интегралах к цилиндрическим и сферическим координатам.

6. Простая поверхность. Кусочно-гладкая поверхность. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл 1-го рода и его свойства (линейность, аддитивность, вычисление в случае простой гладкой поверхности).

7. Векторные поля. Ориентированные поверхности. Поток векторного поля через ориентированную поверхность. Физический смысл потока в поле течения жидкости. Свойства потока. Вычисление потока в случае простой поверхности.

8. Теорема Гаусса-Остроградского (доказательство в случае элементарной области). Дивергенция. Инвариантное определение дивергенции.

9. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл, свойства и вычисление. Формула Грина (доказательство в случае элементарной области).

10. Ротор векторного поля. Теорема Стокса (без доказательства). Инвариантное определение ротора.

11. Потенциальные поля. Критерий потенциальности поля (без доказательства). Вычисление потенциала безвихревого поля в случае линейно односвязной области.

12. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Арифмети-ческие свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда (без доказательства).

13. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Предельный признак сравнения.

14. Признак Даламбера и радикальный признак Коши (один из них с доказательством).

15. Интегральный признак Коши.

16. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

17. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда и его вычисление (без доказательства).

18. Ряды Тейлора. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора. Единственность ряда Тейлора.

19. Ряды Маклорена для элементарных функций.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

1. Вычислить поток векторного поля через часть поверхности сферы (нормаль – внешняя) .

2. Вычислить поток векторного поля через поверхность цилиндра (нормаль – внешняя).

3. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность

4. Вычислить где

5. Найти объем тела

6. Найти где

7. Вычислить где

8. Вычислить где

9. Сходится ли ряд

10. Найти область сходимости ряда:

11. Найти область сходимости ряда:

12. Вычислить сумму ряда с точностью до

13. Найти область сходимости ряда:

14. Сходится ли ряд

15. Найти сумму ряда:

16. Разложить в ряд Тейлора в точке функцию .

17. Потенциально ли в R3 поле ?

18. Найти потенциал поля