Курсовая работа: Независимые события

Курсовая работа

Предмет: Теория вероятности

Страниц: 27

Введение 3

Глава I. Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей.

§1. Теоремы сложения вероятностей. 5

§2. Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. 6

§3. Формулы умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. 8

§4. Формула полной вероятности. 10

§5. Формула Байеса. 11

Глава II. Повторные независимые испытания. Схема и формула Бернулли.

§1. Повторные независимые испытания. 13

§2. Формула Бернулли. 13

§3. Наивероятнейшее число появлений события. 15

§4. Локальная теорема Лапласа. 18

§5. Интегральная теорема Лапласа. 19

§6. Применение интегральной теоремы Лапласа. 21

§7. Формула Пуассона для маловероятных событий. 22

Заключение 25

Приложения 26

Введение

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Усло́вная вероя́тность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

Использованная литература

1. Битнер, Г.Г. Теория вероятностей: Учебное пособие / Г.Г. Битнер. - Рн/Д: Феникс, 2012. - 329 c.
2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. - М.: Юрайт, 2013. - 479 c.
3. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2013. - 320 c.
4. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. - М.: КноРус, 2013. - 376 c.
5. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: Учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. - М.: Форум, 2011. - 480 c.
6. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.
7. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 551 c.
8. Мхитарян, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.С. Мхитарян, В.Ф. Шишов, А.Ю. Козлов. - М.: ИЦ Академия, 2012. - 416 c.