Лекции: Лекция

Лекция 1.

Основные понятия. Аксиомы динамики.

Дифференциальные уравнения движения точки в векторной форме и в проекции на оси декартовой и естественной системы координат.

Две основные задачи динамики.

Первые интегралы уравнений движения.

Пример 1. На какую высоту H и за какое время T поднимется тело, брошенное вертикально вверх, если сила сопротивления воздуха .

Пример 2. Тело массой m , брошенное со скоростью под углом к горизонту, движется под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха . Определить закон движения тела.

Лекция 2.

Пример 3. Не выполнен принцип детерминированности

, при .

Пример 4. Точка двигается по кольцевой направляющей радиуса из крайнего левого положения вниз с нулевой начальной скоростью, связь удерживающая, сила сопротивления . Определить .

Динамика движения точки в подвижной системе координат. Силы инерции. Динамическая теорема Кориолиса. Принцип относительности Галилея-Ньютона.

Примеры. Падение тел на поверхности Земли. Отклонение тела движущегося по инерции по меридиану (закон Бэра). Циклоны.

Пример. Вращение вокруг оси с угловой скоростью . Длина трубки L . При . Определить скорость шарика в момент вылета из трубки.

Примеры. Падение тел на поверхности Земли. Отклонение тела движущегося по инерции по меридиану (закон Бэра). Циклоны.

Система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Свойства внутренних сил.

Дифференциальные уравнения движения механической системы. Первые интегралы.

Вектор количества движений для точки и механической системы.

Теорема об изменении количества движений для точки и механической системы. Законы сохранения количества движений.

Пример.

Прямоугольная вертикальная плита массы установлена на гладкой горизонтальной плоскости. Материальная точка массы начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите круговому желобу радиуса R из точки по закону . Определить зависимость скорости плиты и ее давление на плоскость от времени?

Лекция 3.

Центр масс. Теорема . Теорема о движении центра масс. Законы сохранения.

Пример. Точка A однородного cтержня AB может скользить по абсолютно гладкой горизонтальной поверхности. В начальный момент времени стержень неподвижен и занимает вертикальное положение. Длина стержня - l. Определить траекторию точки B.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

Кинетический момент (главный вектор момента количества движений) точки и системы материальных точек относительно центра и оси.

Теорема об изменении кинетического момента точки и системы. Законы сохранения кинетического момента.

Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Момент инерции твердого тела относительно оси. Радиус инерции.

Дифф. уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси.

Пример. Горизонтальная трубка длины L может свободно вращаться вокруг вертикальной оси. Внутри трубки на расстоянии l от оси находится шарик массы m . В начальный момент времени угловая скорость трубки равна . Определить угловую скорость трубки в момент, когда шарик вылетит из нее. Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J . Трением пренебречь. Шарик считать материальной точкой.

Момент инерции тела относительно оси. Теорема Штейнера.

Лекция 4.

Для плоской пластины любой формы .

Моменты инерции однородных тел: стержня, кольца, кругового диска и цилиндра. Прямоугольной пластины. Прямоугольного параллелепипеда.

Оси Кенига. Теорема Кенига о кинетическом моменте системы.

Пример. Однородный стержень массы m и длины l . Однородный диск массы M и радиуса R . Определить кинетический момент системы относительно точки O . Определить закон вращения диска, если стержень неподвижен ().

Теорема об изменении кинетического момента относительно осей Кенига.

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.

Лекция 5.

Пример. К однородному сплошному цилиндру радиуса и массы , находящемуся в покое на горизонтальной шероховатой плоскости, приложены сила и момент . Определить момент смены направления силы трения и момент начала скольжения цилиндра по плоскости. Коэффициент трения скольжения

Элементарная и полная работа силы. Мощность силы. Работа равнодействующей системы сил, приложенных в одной точке.

Работа силы тяжести и линейной силы упругости.

Работа силы, приложенной к твердому телу, при его различных движениях (поступательном, вращении вокруг неподвижной оси, свободном движении). Работа пары сил.

Работа внутренних сил твердого тела. Примеры связей, силы реакции которых не совершают работы (скольжение по абсолютно гладкой поверхности, качение без проскальзывания по шероховатой поверхности, качение без проскальзывания по подвижному телу, движение сочлененных тел, сила натяжения невесомой нерастяжимой нити).

Лекция 6.

Пример. Работа внутренних сил трения при скольжении шероховатых тел друг относительно друга.

Кинетическая энергия точки и системы. Теорема Кенига о кинетической энергии.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении, вращении вокруг неподвижной оси и плоском движении твердого тела. Пример. Кинетическая энергия однородного диска, катящегося без проскальзывания.

Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы.

Пример. Цилиндр без проскальзывания, блок и груз. Определить и .

Потенциальное силовое поле. Силовая функция. Теоремы, о том, что силовая функция определена с точностью до константы.

Элементарная и полная работа потенциальной силы.

Лекция 7.

Условия существования силовой функции (потенциальности поля сил).

Силовая функция однородного поля силы тяжести, линейной силы упругости, силы тяготения.

Силовая функция и потенциальная энергия механической системы.

Закон сохранения механической энергии для точки и системы. Консервативная система.

Пример. Неподвижная точка соединена пружиной жесткости с материальной точкой (кольцом) , которая может скользить без трения по кольцевой направляющей радиуса , расположенной в вертикальной плоскости. Длина недеформированной пружины равна . В начальный момент времени кольцо находится в положении и имеет скорость . Определить скорость кольца в нижнем положении.

Пример. Однородный стержень скользит одним концом по гладкой горизонтальной поверхности. В начальный момент времени стержень находится в вертикальном положении и неподвижен. Определить скорость центра стержня в момент падения на опорную поверхность.

Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для точки и системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела поступательном движении, вращении вокруг оси и плоском движении.

Лекция 8.

Пример. Однородный стержень длины и массы вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через шаровой шарнир , описывая коническую поверхность. Определить угол отклонения стержня от вертикали и реакцию шарнира .

Связи. Аксиома связей.

Примеры связей:

1. Две материальные точки соединены невесомым стержнем длины ;
2. Материальная точка внутри сферы радиуса ;
3. Качение колеса без проскальзывания;
4. Материальная точка на поверхности сферы, центр которой движется вдоль оси со скоростью ;
5. ;
6. Плоское движение конька .

Связи голономные (геометрические) и неголономные (неинтегрируемые). Стационарные (склеромные) связи. Удерживающие и неудерживающие связи.

Дифференциал и вариация.

Возможные перемещения точки и механической системы.

Лекция 9.

Возможная работа силы. Идеальные связи. Примеры идеальных связей.

Принцип возможных перемещений.

Общее уравнение механики. Принцип Даламбера-Лагранжа.

Пример. Два груза разной массы соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок. Определить ускорение грузов.

Общие теоремы динамики, как следствие общего уравнения механики.

Обобщенные координаты. Вариации обобщенных координат. Возможные перемещения в обобщенных координатах.

Лекция 10.

Обобщенные силы. Обобщенные силы потенциального поля сил. Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах. Принцип возможных перемещений для консервативной системы.

Леммы 1 - 2 (тождества Лагранжа).

Общее уравнение механики в обобщенных координатах.

Уравнения Лагранжа II-го рода.

Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты. Циклические интегралы.

Методика составления дифференциальных уравнений движения системы в форме уравнений Лагранжа.

Пример. Однородный стержень скользит по вертикальной и горизонтальной гладким направляющим. Действуют сила тяжести и горизонтальная сила F.

Пример. (12.14 К) Однородный диск и математический маятник. Выписать уравнения Лагранжа. На каток действует момент М.

Лекция 11.

Колебания. Примеры колебаний в природе, технике, социальных системах. Щука-плотва.

Устойчивость и асимптотическая устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа-Дирихле (без док-ва).

Колебания механических систем с одной степенью свободы.

Малые (линейные) колебания механической системы. Уравнение малых колебаний в общем случае. Обобщенные коэффициенты инерции, жесткости и сопротивления. Диссипативная функция (функция Рэлея). Каноническая форма уравнений. Коэффициент затухания и круговая (циклическая) частота.

Собственные (свободные) и вынужденные колебания.

Лекция 12.

Малые колебания консервативной системы (гармонические колебания). Амплитуда, период, частота, круговая частота, фаза, начальная фаза.

Пример. Определить круговую частоту подпружиненного математического маятника в случаях, когда устойчивое положение равновесия вертикально вниз, вертикально вверх и горизонтально.

Уравнение малых колебаний. Корни характеристического уравнения.

Случаи затухающих колебаний (малого трения), апериодический (большого трения) и критический.

Затухающие колебания. Амплитудная форма записи решения. Условная амплитуда. Условный период. График локальные минимумы и максимумы. Декремент и логарифмический декремент затухания колебаний.

Апериодический и критический случаи. Графики .

Добротность и связь с логарифмическим декрементом затухания колебаний.

Вынужденные колебания при отсутствии сил трения.

Нерезонансный случай.

Лекция 13.

Вынужденные колебания при отсутствии сил трения.

Резонансный (график ) случай.

Вынужденные колебания при наличии трения. Амплитуда. Сдвиг по фазе. Свойства вынужденных колебаний.

Коэффициент динамичности. Коэффициент расстройки. Относительный коэффициент затухания. Амлитудо-частотная и фазо-частотная характеристики.

Лекция 14.

Момент инерции относительно оси. Момент инерции относительно центра. Моменты инерции относительно осей координат. Моменты инерции однородной круглой пластины. Центробежные моменты инерции.

Теорема Штейнера-Гюйгенса (напомнить).

Момент инерции относительно оси, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Эллипсоид вращения и шар. Теорема: Если Oz главная ось инерции, то Обратная теорема (без док-ва).

Главные центральные моменты инерции. Выражение момента инерции относительно произвольной оси через главные центральные моменты инерции.

Теорема. Ось материальной симметрии является главной осью инерции для всех своих точек.

Теорема. Ось перпендикулярная к плоскости материальной симметрии является главной осью инерции (для точки пересечения оси с плоскостью симметрии).

Теорема. Главные оси инерции для точки, лежащей на одной из главных центральных осей инерции, параллельны главным центральным осям инерции.

Теорема. Ось, являющаяся главной осью инерции для двух своих точек, является главной центральной осью инерции.

Кинетический момент твердого тела с одной неподвижной точкой. Тензор инерции. .

Кинетическая энергия твердого тела с одной неподвижной точкой.

Лекция 15.

Кинетическая энергия твердого тела с одной неподвижной точкой.

Приближенная теория гироскопа. Основные понятия и допущения. Теорема Резаля. Правило прецессии. Движение (прецессия) гироскопа и движение не вращающегося вокруг оси симметрии тела.

Гироскопический момент. Правило Жуковского.

Пример. Разворот корабля вокруг вертикальной оси (изменение курса). Определить гироскопическое давление ротора турбины на подшипники.

Регулярная прецессия тяжелого гироскопа.

Технические применения гироскопа.

Углы Эйлера. Динамические и кинематические уравнения Эйлера.

Случай Эйлера Четвертый интеграл - интеграл кинетического момента относительно точки.

Случай Лагранжа. Четвертый интеграл - интеграл из третьего уравнения Эйлера Сравнение с регулярной прецессией тяжелого гироскопа.

Случай Ковалевской. Центр тяжести в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Без нарушения общности можно считать

Лекции 16.

Динамика движения осе симметричного твердого тела вокруг центра масс (астатический или уравновешенный гироскоп). Интегрирование уравнений движения. Регулярная прецессия. Гирокомпас.

Динамика движения точки переменной массы. Уравнение Мещерского. Первая задача Циолковского.

Движение материальной точки в центральном поле сил. Секторная скорость. Теорема площадей.