Непараметрические обнаружители сигналов. Учебное пособие к лабораторной работе, страница 2

В этом и заключается преимущество данногоасимптотического подхода перед рассмотренным выше, определяющимвеличину потерь в пороговом сигнале как функцию 3-х переменных F, D и n.Знаковый обнаружительРассмотрим последовательность отсчётов - выборку исходного процессаGx = ( x1 , x2 ,...xn ) , относительно которой необходимо вынести решение -присутствует ли в ней положительный сигнал или нет. Это решение можетбыть принято путем формирования знаковой статистики T3 и сравнения её с порогом CF.–7–Будем считать, что сигнал присутствует в исходной реализации, еслиnTЗ = ∑ U ( xi ) > CF ,(2)⎧1, при xi ≥ 0,U ( xi ) = ⎨⎩0, при xi < 0.(3)i =1где n - объём выборки,Обнаружитель, реализующий алгоритм (2) называется знаковым.

Оннаходит число положительных отсчётов во входной реализации и попревышению порога CF, зависящего от F , выносит решение о наличиисигнала.Знаковый обнаружитель - простейший непараметрический обнаружитель.Он сохраняет заданный УЛТ в том случае, когда плотность распределенияотсчётов помехи w(x) имеет нулевую медиану, т.е.0∞−∞0∫ w( x)d ( x) = ∫ w( x)d ( x) = 0.5и отсчёты помехи независимы.Распределение статистики T3 подчинено биномиальному распределениювероятностейf p (k ) = Cnk p k (1 − p ) n −1 , k = 0,1, 2,..., n ,с параметром∞p = ∫ wC ( x)d ( x)0где w(x) – плотность распределения смеси сигнала с помехой, причём, пригипотезе отсутствия сигнала p = 0,5.

Вероятности ложной тревоги иправильного обнаружения в этом случае равныF=n∑Cnk 0.5n(4)Cnk p k (1 − p ) n − k(5)k = E [ CF ]D=n∑k = E [ CF ]–8–где E[CF ] - целая часть числа CF , а Cnk — число сочетаний из n по k.Так как при увеличении объёма выборки n биномиальный закон стремитсяк гауссовскому со средним np и дисперсией np(1-p), то для вероятностей F иD могут быть предложены следующие приближенные формулы⎡ n − 2CF ⎤F ≅Ф⎢⎥n ⎦⎣(6)⎡ np − CF ⎤D ≅Ф⎢⎥⎣⎢ np (1 − p ) ⎦⎥(7)где Ф[_] - интегральная функция нормального распределения.Из формул (4) и (6), в частности, следует независимость F от видараспределения и мощности помехи.Характеристики обнаружения знакового обнаружителя, рассчитанные поформулам (5) и (7) для F = 10-4 и n =30, приведены на рис.2.Рис. 2.

Характеристики обнаруженияИз сопоставления кривых обнаружения видно, что при данном объемевыборки n аппроксимация биномиального распределения знаковой статистикинормальным приводит с погрешности в отношении сигнал/помеха не превы-–9–шающей 0,5 дБ. С ростом n её величина уменьшается. На том же рисункеприведена характеристики линейного обнаружителя, алгоритм работы которогосостоит в сравнении с порогом CF суммы входных отсчётовnTЛ = ∑ xi > CF(8)i =1Линейный обнаружитель является оптимальным при обнаружении постоянного сигнала на фоне аддитивного гауссова шума с независимымиотсчётами. Его вероятности ложной тревоги и правильного обнаружениянаходятся по формулам⎡ −C ⎤F⎥F =Ф⎢⎢⎣ nσ x2 ⎥⎦⎡ na − CFD =Ф⎢⎢⎣ nσ x2(9)⎤⎡⎤a⎥ =Ф⎢ n+ Ф −1 ( F ) ⎥⎥⎦⎣ σx⎦(10)где CF – дорог обнаружителя; σ x2 - дисперсия помехи; α – величина сигнала;Ф −1 ( F ) – функция обратная интегралу вероятностей.По характеристикам обнаружения проигрыш знакового обнаружителялинейному составляет около 3 дБ.

Однако при увеличении размера выборкивеличина проигрыша уменьшается и при n → ∞ составляет около 2 дБ.Коэффициент АОЭ знакового обнаружения относительно линейного вгауссовом шуме равен ε 'З / ∧ = 2 / π ≈ 0.64 , т.е. для достижения тех жевероятностей F и D при n → ∞ знаковый обнаружитель требует выборку вε 'З / ∧ = 1/ 0.64 ≈ 1.57 раза длиннее, чем линейный. Однако в лапласовском шумес плотностью вероятностиw∧ ( x) =α2e −α | x |где α – коэффициент, определяемый дисперсией шума, его коэффициент АОЭε ''З / ∧ = 2 , т.е. знаковый обнаружитель вдвое эффективнее линейного,– 10 –утрачивающего свои оптимальные свойства для данного распределенияпомехи.Структурная схема знакового обнаружителя приведена на рис.3.Рис.

3. Знаковый обнаружительСимволом СА на рис. 3 обозначен квантователь на два уровня: «0» и «1»(компаратор амплитудный), СТ2 - двоичный счетчик, СС-пороговое устройство(компаратор кодовый).Основные определения теории ранговых методовНевысокая эффективность знакового обнаружителя при некоторых видахпомехи объясняется тем, что он использует весьма малую часть информации,заключенной в исходной реализации. Действительно, пренебрегая величинойотсчётов xi, этот обнаружитель учитывает лишь их знак.

Ранговые алгоритмыобнаружения в значительной мере лишены отмеченного недостатка, так какпринимают во внимание относительную величину отсчётов xi в выборкеGx = ( x1 , x2 ,...xn ) .GРасположим отсчёты выборки x в возрастающем порядке:xi1 < xi2 < xi3 < ... < xin(11)Номер R отсчёта xiR в этом ряду называется его рангом, а сам отсчёт xiR GGR -й порядковой статистикой выборки x . Таким образом, каждой выборке xможно поставить в соответствие ранговый векторJGR = ( R1 , R2 ,..., Rn )элементы которого Ri- номера отсчетов xi в упорядоченном ряду (11).GJGНапример, если x =(4,9,8,2,1), то R = (3,5,4,2,1).– 11 –Ранговым алгоритмом обнаружения (различения гипотез) называетсяJGправило вычисления ранговой статистики ψ ( R) – некоторой функции ранго-вого вектора - и сравнения её с пороговым значением.Ранговая статистика называется линейной, если допускает представлениеnT = ∑ ϕ (i, R)(12)i =1где ϕ (i, R) – некоторая функция двух переменных (элемент квадратной матрицыn*n).Линейная ранговая статистика является простой, если может бытьвыражена в видеnT = ∑ Ci a ( Ri ) ,(13)i =1Ci – постоянные коэффициенты; A(Ri) - произвольная функция Ri.JGВ том случае, когда ранговый вектор R вычисляется только по анализиGруемой выборке x и для вынесения решения не привлекается дополнительнаяинформация о помехе, ранговый алгоритм (критерий) называется одновыборочным.

Если же для вынесения решения ему требуется дополнительная (опорная)JGJGреализация чистой помехи (без сигнала) y = ( y1 , y2 ,... ym ) , а вектор R опредеG JGляется на основании объединенной выборки ( x , y ), то этот алгоритм носитназвание двухвыборочного.Непараметрические свойства ранговых обнаружителей, реализующихранговые алгоритмы, связаны с независимостью распределения рангов, а,следовательно, ранговых статистик от закона распределения отсчётов помехиw(xi).Знаково-ранговый обнаружительGРасположим отсчеты выборки x по возрастанию их абсолютных величин| xi1 |<| xi2 |< ...

<| xin | . Место отсчёта | xi + | в этом ряду назовем абсолютнымRрангом R+.– 12 –Знаково-ранговым алгоритмом обнаружения называется алгоритм,сравнивающий сумму абсолютных рангов R+i положительных выборок спорогом CF :nTЗР = ∑ Ri = ∑ Ri+U ( xi ) > CFxi > 0(14)i =1при превышении которого выносится решение о наличии сигнала.В соответствии с определением (13) этот алгоритм является простымлинейным одновыборочным ранговым алгоритмом.Знаково-ранговый обнаружитель является непараметрическим в классе W′распределений помехи w(x) с симметричной относительно нуля плотностьюпри независимых отсчётах помехи.

Как и знаковый обнаружитель, он можетиспользоваться для обнаружения однополярного сигнала при квазикогерентномприёме.В целях упрощения реализации алгоритма (14) он может быть записан вдругой эквивалентной формеnnTЗР = ∑∑ U ( xi + x j ) > CF(15)i =1 j =1Структурная схема знаково-рангового обнаружителя, соответствующаявыражению (15), приведена на рис.4.xi|——————|+CACA+SMSMнакCA+0ССССинхрРис. 4. Знаково-ранговый обнаружительПеред началом работы обнаружителя во всех n ячейках регистра сдвигадолжны быть записаны отрицательные числа, большие по модулю, чем– 13 –максимально возможное значение xi.

Подавая последовательно на входустройства отсчёты xi, на выходе сумматора SM получим последовательностьзначений внутренней суммы выражения (14). По окончании выборки на выходенакапливающего сумматора окажется величина TЗР, которая и будет,сравниваться с CF в пороговом устройстве СС.Вывод аналитических выражений для вероятностной ложной тревоги иправильного обнаружения особенно при небольших n, затруднен. Тем не менеепри n >> 1 можно указать приближенное выражение для УЛТ⎡ n 2 / 4 − CF ⎤F ≈Ф⎢⎥3⎣ n /12 ⎦(16)Характеристики обнаружения знаково-рангового алгоритма при конечныхn целесообразно находить методом статистического моделирования. Одна изего характеристик обнаружения, полученная этим методом, приведена на рис.2.Она построена для тех же значений параметров F и n, что и характеристикилинейного и знакового обнаружителей, изображенные на том же рисунке.Проигрыш знаково-рангового обнаружителя линейному по характеристикамобнаружения не превышает 0,8 - 0,9 дБ, в то время как его выигрыш у знакового - более 2 дБ в пороговом отношении сигнал/шум.Коэффициент АОЭ знаково-рангового алгоритма по отношению клинейному при гауссовом распределении помехи равен ε 'ЗР / ∧ =π3≈ 0.955 , т.е.

васимптотической ситуации, при n → ∞, знаково-ранговый обнаружительпрактически не уступает оптимальному. При лаплассовской помехе ε ''ЗР / ∧ = 1.5 .Коэффициент АОЭ знаково-рангового обнаружителя относительно знаковогоравен 1,5 для гауссовой помехи и 0,75 – для лаплассовской. Для помехи слогистическим распределением вероятностиw∧ Гe− x=(1 + e − x ) 2и постоянного сигнала этот обнаружитель асимптотически оптимален.– 14 –Обнаружители Манна-Уитни и обобщенный знаковыйGДопустим, что помимо анализируемой выборки x = ( x1 , x2 ,...xn ) данной nJGимеется вспомогательная выборка помехи y = ( y1 , y2 ,...

ym ) длиной m. Составимиз них объединенную реализациюJGZ = ( x1 , x2 ,...xn , y1 , y2 ,... ym ) = ( z1 , z2 ,...zn + m )(17)и проведем её ранжированиеZ i1 < Z i2 < ... < Z in+m(18)JGJGПусть R = ( R1 , R2 ,..., Rn + m ) – ранговый вектор объединенной выборки Z ,элементы которого - номера Zi в последовательности (18).Алгоритм, находящий сумму рангов отсчётов xi в объединенной выборкеJGZ называется алгоритмом Манна-Уитни или двухвыборочным критериемВилкоксона и записывается в виде:nTB = ∑ Ri > CF(19)i =1Однако наиболее употребительна другая эквивалентная форма алгоритма (19)nmTМУ = ∑∑ U ( xi − y j ) > CF ,(20)i =1 j =1причём, TМУ = TB −(n + 1)n.2Обнаружитель Манна-Уитни является двухвыборочным линейным ранговым обнаружителем.

Он сохраняет заданный УЛТ в том случае, когдаG JGвыборки x и y принадлежат одному и тому же произвольному распределениюG JGпомехи, а отсчёты x и y независимы.Структурная схема обнаружителя Манна-Уитни приведена на рис.5.GПоследовательность отсчётов анализируемой выборки x в течение всеговремени обнаружения подается на соответствующие входы компараторов СА.– 15 –Рис. 5. Обнаружитель Манна-УитниПоследовательность опорных отсчётов у последовательно поступает повходу yi. По окончании последовательности в накапливающем сумматореSMнак окажется записанной величина TМУ , которая и сравнивается с порогомCF в пороговом устройстве СС.В том случае, когда длина опорной выборки m велика, процесс обнаружения в схеме pиc.

5 занимает продолжительный период времени, сократитькоторый можно лишь за счёт дополнительных аппаратурных затрат. Однако,пойдя на незначительное снижение эффективности обнаружения, можносущественно сократить число арифметических операций в алгоритме МаннаУитни и тем самым уменьшить время работы обнаружителя. Для этого нужноJGразбить выборку y = ( y1 , y2 ,...