Костиков А.А, - Конспект лекций, страница 7

Потенциал простого слоя есть гармоническая вне S функция.2). Потенциал простого слоя есть непрерывная во всем пространстве R 3 функция.3). Нормальная производная потенциала простого слоя терпит разрыв при переходечерез поверхность S. ∂u   ∂u  ∂u   ∂u (11.3) = − 2πρ ( P0 ),  = + 2πρ ( P0 ).

, ∂ni i  ∂ni 0 ∂ni е  ∂ni 0 ∂u где  - значение нормальной производной потенциала простого слоя изнутри, а ∂ni i ∂u  - снаружи поверхности. ∂ni eПотенциалом двойного слоя называется выражениеds p ,Sгде ν(Р) – есть плотность распределения дипольного момента, а nP – внутренняя нормальк S.4). Потенциал двойного слоя есть гармоническая вне S функция.5). Потенциал двойного слоя терпит разрыв при переходе через поверхность S.Если предел потенциала двойного слоя снаружи обозначить через ue ( P0 ) , а предел изнутри через ui ( P0 ) , то имеют место формулыu ( P0 ) = ∫∫ν ( P)∂  1∂nP  rPP0cos ϕ0ds − 2π v( P0 ) = u ( P0 ) − 2π v( P0 ) ,r02Scos ϕui ( P0 ) = ∫∫ v( P) 2 0 ds + 2π v( P0 ) = u ( P0 ) + 2π v( P0 ) ,r0Sue ( P0 ) = ∫∫ v( P)(11.4)где ϕ0 - угол, образованный вектором r0 = P0 P и нормалью n в переменной точке P ∈ S .В двумерном случае формулы скачка для потенциала двойного слоя имеют видue ( P0 ) = u ( P0 ) − πµ ( P0 ),ui ( P0 ) = u ( P0 ) + πµ ( P0 )6).

Потенциал двойного слоя может быть представлен в виде:cos( P P0 , nP )u ( P0 ) = ∫∫ν ( P )ds p ,2rPPS0(11.5)Аналогично могут быть введены криволинейные интегралы простого и двойногослоя с аналогичными свойствами.Поверхностные потенциалы дают возможность сводить краевые задачи для уравнения Лапласак интегральным уравнениям. Такой прием эффективен при решении краевых задач со сложнойграницей и удобен в теоретических исследованиях. Отметим, что решение задачи Дирихле приэтом ищут в виде потенциала двойного слоя, решение задачи Неймана – в виде потенциалапростого слоя.В качестве примера рассмотрим первую и вторую краевые задачи: найти функцию u ,гармоническую в области D ⊂ R 2 , ограниченной контуром Г, и удовлетворяющую либограничным условиям задачи Дирихле (первой краевой задачи) u Г = f , либо условиям задачиНеймана (второй краевой задачи)∂u∂n= f.ГКак для внутренней, так и для внешней задачи нормаль в граничном условии будем считатьвнутренней.Решение внутренней первой краевой задачи ищем в виде потенциала двойного слояu (M ) = ∫ µ ( P)Гcos ϕdsrMP(11.6)с неизвестной пока функцией µ ( P ).

При любом выборе µ ( P ) функция u ( M ) удовлетворяетуравнению Лапласа в области D , охваченной контуром Г, и разрывна на контуре Г. Длявыполнения граничных условий необходимо, чтобы в каждой точке P0 ∈ Г выполнялосьравенство ui ( P0 ) = f ( P0 ) . Поэтому по формуле (11.5) получим уравнение для определения µ ( P ) :cos ϕµ ( P)ds = f ( P0 ).rP0 PГπµ ( P0 ) + ∫(11.7)Если в формуле (11.7) перейти к естественному параметру, обозначив через s0 и s дуги контураГ, соответствующие точкам P0 и P , то (11.7) примет видLπµ ( s0 ) + ∫ K ( s0 , s) µ ( s )ds = f ( s0 ),(11.8)0где L – длина контура Г, K ( s0 , s ) =cos ϕ- ядро интегрального уравнения.

Уравнение (11.8)rPP0является уравнением Фредгольма второго рода. Решив его, найдем функцию µ ( P ) , а значит,решим и внутреннюю задачу Дирихле.Для внешней первой краевой задачи аналогично получим уравнениеL−πµ ( s0 ) + ∫ K ( s0 , s ) µ ( s )ds = f ( s0 ).(11.9)0Перейдем ко второй краевой задаче. Если искать ее решение в виде потенциала простого слоя1u ( M ) = ∫ µ ( P ) ln ds,rГ(11.10)−πµ ( s0 ) + ∫ K1 ( s0 , s ) µ ( s )ds = f ( s0 ),(11.11)то для внутренней задачи функция µ ( P ) определяется как решение уравненияL0для внешней задачи – как решение уравненияLπµ ( s0 ) + ∫ K1 ( s0 , s ) µ ( s )ds = f ( s0 ).(11.12)0Ядро K1 ( s0 , s ) в интегральных уравнениях (11.11) и (11.12) имеет видK1 ( s0 , s ) =∂∂nP01 ln rPP0 cosψ 0. =rPP0Пример (первая краевая задача для круга).

Решим внутреннюю задачу Дирихле для уравненияЛапласа ∆u = 0 в круге радиуса R с границей Г. Предполагая использовать формулы (11.6) и(11.7), найдем ядроK ( s0 , s ) =потенциала двойного слоя. Из рисунка ясно, что(11.8) для определения функции µ примет видµ ( s0 ) +1cos ϕrP0 Pcos ϕ1=, поэтому интегральное уравнениеr2R11µ ( s )ds =π ∫ 2Rπf ( s0 ).(11.13)ГnPϕ0rRP0Ядро этого уравнения вырожденное, т.к.

зависит только от одногоаргумента s. Поэтому легко видеть, что решением уравнения (11.13)является функцияµ ( s) =1πf ( s) + A(11.14)где А – некоторая подлежащая определению постоянная. Подставимфункцию (9) в уравнение (8) и выразим постоянную А через заданнуюфункцию f :A=−14π 2 R ∫Гf ( s )ds.Таким образом, решением интегрального уравнение (11.13) является функцияµ ( s) =1πf (s) −14π 2 R ∫Гf ( s )ds.Соответствующий потенциал двойного слоя, дающий решение первой краевой задачи для круга,равенu (M ) = ∫ µ ( P)Гcos ϕcos ϕ  11ds = ∫ f ( s ) − 2 ∫ f ( s )ds  ds.rMPrMP  π4π R ГГПреобразуем правую часть этой формулы, полагая, что точка М лежит внутри Г :u (M ) = 1 cos ϕ1 cos ϕ()()fsds−fsdsds =∫2∫π ∫Г rMP 4π R Г Г rMP(11.15) 11 cos ϕ1  cos ϕ 1 −f ( s )ds −  2 ∫ f ( s )ds  ⋅ 2π = ∫  f ( s )ds.∫π Г rMPπ Г  rMP 2 R  4π R Гcos ϕ(Здесь было использовано равенство ∫ds = 2π , проверить которое предлагается читателю).rMPГПреобразуем подынтегральное выражение.

Из треугольника OPM(см. рис.)R − ρ cos αr 2 = R 2 + ρ 2 − 2 R ρ cos αиcos ϕ ==.ОтсюдаPrR ϕcos ϕ 1R2 − ρ 2Гr−=.αr2R2 Rr 20 ρ M=Подставив найденное выражение в (11.15), получим известнуюформулу Пуассона для кругаR2 − ρ 2u (M ) =f ( s )ds,2π R ∫Г r 21дающую решение задачи .Литература1. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производныхматематической физики.

М.: Высшая школа, 1970.2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука,1972.3. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математическойфизике. Новосибирск: Наука, 1972.4. Годунов С.К., Золотарева Е.В. Сборник задач по уравнениям математическойфизики. Новосибирск: Наука, 1974.5. Макаров А.П., Макарова В.В.

Краткий курс математического анализа. Ч. 2. СП-б.:Наука, 1994.6. Очан Ю.С. Методы математической физики. М.: Высшая школа, 1965.7. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М.: Высшая школа,1973.8. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.9. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973.10. Макаров А.П. Операционное исчисление. Череповец, 2002.11.

Макаров А.П. Теория операторов (вводный курс). Череповец, 2002.12. Макаров А.П. Уравнения математической физики. - Череповец, 2004.- 175 с.13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука,1985.14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III.М.: Наука, 1963.15. Макаров А.П. Элементы теории функций комплексного переменного. Череповец,2002.16.

Макаров А.П., Макарова В.В. Вариационное исчисление. Череповец, 2002.17. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1970.18. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.19. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Физматгиз,1961.20. Смирнов В.И. Курс высшей математики.

Т. II. М.: Наука, 1967.21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.М.: Наука, 1973.22. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа,1977.23. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.24. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второгопорядка. М.: Наука, 1964..