Костиков А.А, - Конспект лекций, страница 3

Отсюдаdµ2=J ( µ ) = Ce−µ24. При µ = 0+∞J (0) = ∫ e−z2πdz =20, т.е. C =π2, а J (µ ) =π2e−µ24.Следовательно,J=πa t⋅e−( x −ξ ) 24a 2t.Таким образом, окончательно получаемu ( x, t ) =+∞∫ 2a−∞−1πte( x −ξ ) 24a 2tϕ (ξ )dξ .(4.5)Имеет место следующее утверждение.

Еслиϕ (x) – кусочно-непрерывнаяограниченная функция на всей числовой оси, то решение задачи (6) дается формулой (8)(без доказательства).Рассмотрим функциюΦ ( x, t , ξ ) =1⋅e−( x −ξ ) 24a 2t2a πt(ее называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности) и отметим, чтоэта функция задает распределение температуры в стержне, которое возникает при t>0,если при t=0 в точке x0 происходит разогрев количеством теплоты Q = Cρ . В этойсвязи Φ( x, t , x0 ) называют функцией точечного источника.Можно доказать, что+∞∫ Φ( x, t, x )dx = 1.0−∞Данное соотношение выражает тот факт, что количество теплоты в стержне Q = Cρ .остается неизменным с течением времени, т.е.

стержень теплоизолирован отокружающего пространства и вся теплота остается в стержне, лишь распределяясь по егодлине.Замечание. Задача Коши для трехмерного уравнения теплопроводности аналогичнымобразом решается с помощью формулы+∞ +∞ +∞3 1  −u ( ρ , t ) = ∫ ∫ ∫ ϕ (ξ , η , λ )eπ2at−∞ −∞ −∞(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + ( λ − z ) 24 a 2tdξdηdλ .Лекция 5Метод Фурье для гиперболических уравненийРассматриваемые вопросы.1. Задача Штурма-Лиувилля.

Собственные значения и собственные функции задачи.2. Схема метода Фурье для гиперболического уравнения.3. Физическая интерпретация решения.Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из основных методоврешения уравнений с частными производными. Изложим суть метода на примере задачи околебании струны длины l , закрепленной на концах.Колебания струны описываются уравнениемutt′′ = a 2u′′xx , 0 < x < l , t > 0,(5.1 )граничные условияu ( 0, t ) = u ( l , t ) = 0,(5.2)начальные условияu ( x,0) = ϕ ( x ) , ut′ ( x,0 ) = ψ ( x ) .Решение ищем в виде произведения u ( x, t ) = X ( x ) T ( t ) , где X ( x )переменного x , T ( t )( t ∈ [0, +∞ ) )(5.3)( x ∈ [0, l ])функция- функция переменного t . Подставив u ( x, t ) = X ( x ) T ( t ) вTɺɺ ( t )X ′′ ( x )=, где точками обозначена2a T (t ) X ( x )вторая производная по t , штрихами – вторая производная по x .

Левая часть этого равенствазависит только от t , правая – только от x . Для того, чтобы равенство выполнялось тождественно(5.1) и поделив на X ( x ) T ( t ) , получим равенстводля всех t и x , потребуем, чтобы каждая из его частей была постоянной. Обозначим этупостоянную через −λ . Получим обыкновенные дифференциальные уравненияX ′′ ( x ) + λ X ( x ) = 0, X ( x ) ≡/ 0 ,(5.4)Tɺɺ ( t ) + a 2λT ( t ) = 0, T ( t ) ≡/ 0(5.5)с граничными условиямиu ( 0, t ) = X ( 0) T ( t ) = 0, u ( l , t ) = X ( l ) T ( t ) = 0 .Отсюда следует, что X ( 0 ) = X ( l ) = 0 .Граничная задача отыскания нетривиального решения уравнения X ′′ ( x ) + λ X ( x ) = 0, X ( 0 ) = X ( l ) = 0(5.6)и тех значений параметра λ , при которых это решение существует, называется задачейШтурма – Лиувилля, числа λ - собственными числами (собственными значениями), решения –собственными функциями задачи.Рассмотрим все возможные случаи.1) Если λ < 0 , то X ( x ) = c1e−λ x+ c2 e −−λ xи из граничных условий следует, что c1 = c2 = 0 ,т.е.

X ( x ) ≡ 0 .2) Если λ = 0 , то X ′′ ( x ) = 0 . Поэтому X ( x ) = c1 x + c2 . Граничные условия снова приводят кравенствам c1 = c2 = 0 и X ( x ) ≡ 0 .3) Если λ > 0 , то X ( x ) = c1 cos λ x + c2 sin λ x . Граничные условия дают равенстваX ( 0 ) = c1 = 0 ;X ( x ) = c2 sin λ x = 0 . Так какsin λ x = 0 , откудаλ=πnlX ( x ) ≡/ 0 , тос2 ≠ 0 . Следовательно( n - любое натуральное число). Таким образом, ненулевыеπn решения возможны только при λ = λn =  .

Этим собственным числам отвечают собственные l 2функцииX n ( x ) = sinπnlx.Подставив найденные числа λn в (5), получим набор решений уравнения (5.5)Tn ( t ) = An cosπnlat + Bn sinπnlat(5.7)с произвольными постоянными An и Bn .Возвращаясь к задаче (5.1) – (5.3) заключаем, что функцииπnπn  πnun ( x, t ) = X n ( x ) Tn ( t ) =  An cosat + Bn sinat  sinxlll(5.8)являются частными решениями уравнения (1) и удовлетворяют граничным условиям (2).Уравнение (5.1) линейно и однородно, поэтому формальная сумма частных решений∞∞πnπn  πnu ( x, t ) = ∑ un ( x, t ) = ∑  An cosat + Bn sinat  sinxllln =1n =1 (5.9)также (формально) удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (5.2).

Остаетсяподобрать коэффициенты An и Bn так, чтобы функция (5.9) удовлетворяла начальным условиям(5.3). Формально подставив (5.9) в (5.3), получим систему∞∞πnux,0=x=ux,0=An sinx,ϕ()()()∑∑nln =1n =1∞∞ ∂u ( x, 0 ) = ψ ( x ) = ∂un ( x, 0 ) = π n aB sin π n x.∑∑n ∂t∂tln =1n =1 l(5.10)Из теории рядов Фурье известно ([5], гл.VII, § 11), что в силу теоремы Дирихле кусочнонепрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f ( x ) , заданная на отрезке [ 0, l ] ,раскладывается в ряд Фурье2πnxdx.f ( x ) = ∑ bn sinx, bn = ∫ f ( x ) sinl 0lln =1πn∞lПолагая, что функции ϕ ( x ) и ψ ( x ) этим условиям удовлетворяют, получим∞πnn =1l∞πnn =1lϕ ( x ) = ∑ Φ n sinψ ( x ) = ∑ Ψ n sin2πnxdx,ϕ ( x ) sin∫l 0l(5.11)2πnΨ n = ∫ψ ( x ) sinxdx.l 0l(5.12)lx, Φ n =lx,Подставив (11) и (12) в (10) и используя условие равенства двух тригонометрических рядов,lΨ .

Таким образом, функцияπ na n∞π natlπ nat  π nu ( x, t ) = ∑  Φ n cos+Ψ n sinx sinll lπ nan =1 получим An = Φ n , Bn =(5.13)дает формальное решение задачи (1) - (3).Замечание 1. Формальное решение (5.13) становится "настоящим" решением, если ряд (5.13) иряды для производных ut′, utt′′ , u′′xx , полученные из (5.13) почленным дифференцированием,сходятся. В [13, 22] доказано, что для этого достаточно, чтобы функции ϕ ′ , ψ ′ и ϕ ′′ былинепрерывными,функцииψ ′′ϕ ′′′икусочно-непрерывными-иϕ (0) = ϕ ( l ) == ψ ( 0 ) = ψ ( l ) = ϕ ′′ ( 0 ) = ϕ ′′ ( l ) = 0 . Эти условия не являются необходимыми и связаны только свыбранным методом решения.

При решении задачи методом Даламбера и операционным методомусловия, накладываемые на функции ϕ и ψ , менее ограничительные.Замечание 2. Решение задачи о колебании струны, записанное в форме тригонометрическогоряда (5.13), позволяет проанализировать физические свойства этого процесса.Запишем решение (5.13) в виде∞π nan =1lu ( x, t ) = ∑ an cosгде an = Φ 2n + Ψ 2n ,π nalγ n = − arctg( t + γ n ) sinπnlx,Ψn. Отсюда видно, что колебание струны слагается изΦnотдельных гармонических колебанийun ( x, t ) = an cosπ nal( t + γ n ) sinπnlx,причем колебание каждой точки x происходит с одной и той же амплитудой an sinчастотойx=ωn =π nal.Такоедвижениеструныназываетсястоячейволной.πnlx иТочкиml( m = 1, 2,..., n − 1) , в которых амплитуда равна нулю, остаются неподвижными иnназываются узлами стоячей волны un ( x, t ) .

Точки x =sinπnl2m + 1l2n( m = 0,1,2,...n − 1) ,в которыхx = ±1 и амплитуда an максимальная, называют пучностями стоячей волны (рис. 9).Частоты ωn =π nalназывают собственными частотами колебаний струны.Легко подсчитать энергию n - й гармоники ( n - й стоячей волны):22l1   ∂un Φ 2n + Ψ 2n ∂un  2En = ∫  ρ TdxωM+=n2 0   ∂t 4 ∂x  ( M - масса струны, ρ - постоянная плотность, T = a 2 ρ ).Звук, издаваемый колеблющейся струной, является "смесью" звуков, соответствующихстоячим волнам. Тон, или высота, и сила звука зависят от частоты иамплитуды колебаний. Самый низкий тон определяется собственнойn=1частотой ω1 =n=2πalи называется основным тоном струны.

Остальныетона, соответствующие частотам ωn = nω1 , кратным ω1 , называютсяобертонами и характеризуют "окраску" звука, его тембр. Энергияосновного тона, вообще говоря, больше энергии других тонов. Оназависит от начальных условий (5.3), чем широко пользуются припроектировании музыкальных инструментов.n=3n=4Рис.

2Лекция 6Метод Фурье для уравнения параболического типаРассматриваемые вопросы.1. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции задачи.2. Схема метода Фурье для параболического уравнения.3. Решение задачи с однородными граничными условиями4. Решение задачи с неоднородными граничными условиями.Займемся решением неоднородного уравнения теплопроводности∂u∂ 2u= a 2 2 + f ( x, t )∂t∂xпри начальном условиии граничных условияхu ( x,0) = ϕ ( x ) ,( x ∈ ( 0, l ) , t > 0 )(6.1)( x ∈ [0, l ])(6.2)u ( 0, t ) = ψ 1 ( t ) , u ( l , t ) = ψ 2 ( t )( t ≥ 0) .Функции f , ϕ , ψ 1 , ψ 2 предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.Решение поставленной задачи разобьем на четыре этапа.1. Рассмотрим задачу(6.3)2 ∂u2 ∂ u=a, ( x ∈ ( 0, l ) , t > 0 ) ,2∂t∂xu ( x, 0 ) = ϕ ( x ) , ( x ∈ [ 0, l ]) ,u ( 0, t ) = 0, u ( l , t ) = 0, ( t ≥ 0 ) ,(6.4)где функция ϕ непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и ϕ ( 0 ) = ϕ ( l ) = 0 .Решение, согласно методу Фурье, ищем в виде u ( x, t ) = X ( x ) T ( t ) .

Подставив данноепроизведение в (4), получим X ( x ) T ′ ( t ) = a 2 X ′′ ( x ) T ( t ) . Разделим переменные:T ′(t )a 2T ( t )Отсюда получаем два уравнения:X ′′ ( x ) + λ X ( x ) = 0,=X ′′ ( x )= −λ .X ( x)X ( 0 ) = X ( l ) = 0,(6.5)T ′ ( t ) + a 2λT ( t ) = 0.(6.6)Уравнение (5) уже было подробно рассмотрено в § 3 гл. III, где было показано, что только дляπn значений λn =  l 2( n = 1, 2,...)существуют нетривиальные решенияX n ( x ) = sinπ nxl,удовлетворяющие нулевым граничным условиям. π na − te  l 2Подставив λ = λn в (6.6), получим соответствующие решения Tn ( t ) == cnспроизвольными постоянными cn .

Таким образом, все функции π na − te  l 2un ( x, t ) = X n ( x ) Tn ( t ) = cn( n = 1, 2,...)sinπ nxlудовлетворяют уравнению и граничным условиям задачи (6.4). Составим ряд∞∞u ( x, t ) = ∑ X n ( x ) Tn ( t ) = ∑ cnn =1 π na − te l 2sinπ nxn =1l.(6.7)Используя начальные условия, получим∞π nxn =1lu ( x, 0 ) = ϕ ( x ) = ∑ cn sin.(6.8)Если коэффициенты сn определить равенствами2π nxcn = ∫ ϕ ( x ) sindx ,l 0ll( n = 1,2,...) ,то ряд (6.8) станет рядом Фурье по синусам на промежутке(6.9)( 0,l )функции ϕ .

По теоремеДирихле этот ряд равномерно и абсолютно сходится к функции ϕ .Легко показать, что функция u ( x, t ) , определенная формулами (6.7) и (6.9), имеетпроизводные любого порядка по x и t в области x ∈ ( 0, l ) , t > 0 и, следовательно, являетсярешением задачи (6.4).2. Рассмотрим задачу2∂u2 ∂ u=a, ( x ∈ ( 0, l ) , t > 0 ) , ∂t∂x 2u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) , ( x ∈ [0, l ]) ,u ( 0, t ) = ψ 1 ( t ) , u ( l , t ) = ψ 2 ( t ) ( t ≥ 0 ) .(6.10)Решение ищем в виде суммы ряда Фурье∞π nxn =1lu ( x, t ) = ∑ Tn ( t ) sin(6.11)с неизвестными коэффициентами Tn (t ),2π nxTn ( t ) = ∫ u ( x, t ) sindx.l 0ll(6.12)Займемся определением функций Tn (t ) .

Дважды интегрируя (6.12) по частям, получим2 2l ∂ 2uπ nxnTn ( t ) =u ( 0, t ) − ( −1) u ( l , t )  − 2 2 ∫ 2 sindx.lπnπ n 0 ∂xТак как функция u ( x, t ) должна удовлетворять уравнению и граничным условиям задачи (10), тоl2 2l∂uπ nxnψ 1 ( t ) − ( −1) ψ 2 ( t )  − 2 2 2 ∫ sindx. π n a ∂tπn l0Дифференцируя (6.12) по переменной t , получимdTn ( t ) 2 l ∂uπ nxdx.= ∫ sindtl 0 ∂tllTn ( t ) =(6.13)(6.14)Выразив интеграл из равенства (6.14) и подставив его в (6.13), получим обыкновенноедифференциальное уравнение для определения коэффициентов Tn (t ) :dTn ( t )  π na 2π na 2 nψ 1 ( t ) − ( −1) ψ 2 ( t )  .+Tt= n( )2dtl l 2Общее решение этого уравнения2Tn ( t ) = π na − te  l  [Tn π na  τl 2π na 2 +el 2 ∫0t2( 0) +(6.15)(ψ (τ ) − ( −1) ψ (τ )) dτ ].n12Для выполнения начального условия задачи (6.10) потребуем, чтобы выполнялось равенство∞π nxn =1lu ( x, 0 ) = ∑ Tn ( 0 ) sin= ϕ ( x).ОтсюдаTn ( 0 ) =2π nxϕ ( x ) sindx.∫l 0ll(6.16)Таким образом, решением задачи (6.10) является функция (6.11) с коэффициентами Tn ( t ) ,определяемыми равенствами (6.15) и (6.16).