Костиков А.А, - Конспект лекций

Министерство образования и науки, молодежи и спортаДонбасская государственная машиностроительная академияСоставитель Костиков А.А.УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИКОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙдля студентов направлений подготовки6.040303 «Системный анализ»Краматорск 2012УДК 519, 92 (076.5)Конспект лекций по дисциплине «Уравнения математическойфизики»(студентов 3-го курса специальности 6.040303 «Системный анализ»заочной формы обучения)/ Сост. А.А.Костиков - Краматорск, ДГМА, 2012. – 46С.Вконспектерассматриваютсяосновныетипыуравненийматематической физики и различные методы их решения. Приводитсяфизическая интерпретация полученных результатов, рассматриваютсятеоремы существования и единственности решений краевых задач.

Данозначительное количество примеров и задач различного уровня сложности.Конспект лекций является учебным пособием для студентов,обучающихся по специальности системный анализ..Лекция 1.Уравнения математической физики. Постановка задач длялинейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-гопорядка.Рассматриваемые вопросы.1. Предмет математической физики.2. Основные уравнения математической физики. Математические модели.3.

Постановка задач для линейных дифференциальных уравнений в частныхпроизводных 2-го порядка.Общие положения.Пусть u ( x, y ) – некоторая неизвестная функция∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u;;;;; … и т.д.∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2ее частные производные различного порядка.Рассмотрим уравнение∂u ∂uF  x, y, u ( x, y ),,, … = 0,(1.1)∂x ∂yсвязывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частныепроизводные различного порядка.

Уравнение (1.1) называют дифференциальнымуравнением в частных производных.Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной,входящей в это уравнение.Примеры.∂u1)= 0 – дифференциальное уравнение первого порядка.∂x∂ 2u ∂u2)++ u = 0 – дифференциальное уравнение второго порядка∂x∂y ∂xи т .п .Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у),обращающая его в тождество.

Задачи, связанные с решением дифференциальногоуравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачамидля обыкновенных дифференциальных уравнений.Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-гопорядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуацияскладывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных.∂uНапример, решением дифференциального уравнения= 0 является любая функция∂xu = f ( y ), т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих толькоот одной переменной∂u ∂uИли+= 0.∂x ∂yРассмотрим u ( x, y ) = f ( x-y)∂u ∂f=⋅1(где z=x-y)∂x ∂z∂u ∂f=⋅ (−1)∂y ∂zи∂u ∂u ∂f∂f+=+ (−1) = 0∂x ∂y ∂z∂zпри произвольной функции f(z).Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучениедифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, попреимуществу физической.

Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям вчастных производных второго порядка.В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решениюдифференциальных уравнений в частных производных.Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).Пусть струна длиной l натянута с силой Т0 и находится в прямолинейномположении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторыеотклонения и скорости.Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны приt>0, если концы струны:а) жестко закреплены,б) свободны,в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.Сопротивлением среды и силой тяжести пренебрегаем.Решение.

Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны вположении равновесияuT(х+∆ х)ABT(х)0ххlх+∆ хВыделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этотучасток силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равнятьсянулю.S AB =x + ∆x∫1 + (u′x ) 2 dx ≅ ∆x,xтак как мы рассматриваем малые колебания и (u′x ) – малой величиной пренебрегаем.Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, позакону Гука величина натяжения T0 =| T | не зависит ни от времени, ни от х.Проекция силы натяженияT0 sin α ( x + ∆x) − T0 sin α ( x) ≅ T0 (tgα ( x + ∆x) − tgα ( x)) = T0 (u′x ( x + ∆x) − u′x ( x)) ≅ T0u′xx′ ( x, t )∆x.Пусть p ( x, t ) – непрерывная линейная плотность внешних сил.

Тогда на АВ действуетвдоль оси u сила p ( x, t )∆x.Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением − mutt′′ , где m = ρ∆x.Тогда2 ∂ 2u∂ 2u  T0 2 + p( x, t ) − ρ ( x) 2 ∆x = 0∂t  ∂xили∂ 2u∂ 2u−ρ()+ p ( x , t ) = 0.x∂x 2∂t 2Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.TЕсли ρ=const и a 2 = 0 , тоT0ρ∂ 2u∂ 2u2=a−+ g ( x, t ).(1.2)∂t 2∂x 2Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:u ( x t ) t = 0 = ϕ ( x) – начальное положение струны∂u= ψ ( x) – начальный импульс.∂t t =0Краевые условия:а) струна закреплена на концахu ( x, t ) x = 0 = 0,u ( x, t ) x =l = 0б) в случае свободных концов должно быть∂u∂u= 0,=0∂x x = 0∂x x = lв)u t =0 = µ1 (t )  – законы движения концов струны.u t =l = µ 2 (t )Задача 2 (Уравнение неразрывности.

Задача обтекания).Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которойотсутствуют силы вязкости.Пусть V (v1 , v2 , v3 ) – вектор скорости движения жидкости, ρ ( x, t ) –ее плотность,f ( x, t ) – интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω,ограниченный поверхностью S.

Изменение массы жидкости внутри ω в единицувремени равно∂∂ρρ ( x, t )dx = ∫ dx∫∂t ω∂tωс другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q1 жидкостиза счет источниковQ1 = ∫ f ( x, t )dx,ωминус количество Q2, вытекающей через SQ2 = ∫ ρ (v ⋅ n t )ds = ∫ div( ρ ⋅ v )dx – формула Остроградского-Гауса,Sωгде n – внешняя нормаль к S, таким образом∫ (υt + div( ρ ⋅ v ) − f )dx = 0.ωВ силу произвольности ω∂ρ+ div( ρ v ) = f ( x, t ).(1.3)∂tЭто и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальнымпотоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость v0 набесконечности при отсутствии источников.

В этом случае ρ = const и f ≡ 0. Поэтому:div v = 0 при условии vn S = 0.Пусть u –потенциал скоростей, т.е. V = gradu , тогдаdiv grad u = 0 ⇒ ∆u = 0 и∂u= 0.∂n Sv ( x) → v0 ,| x |→ ∞поэтомуx∈Ω∆u = 0(1.4) ∂u=0limgradu=v0 ∂n| x|→ ∞ SЗадача 3 (о распространении тепла).Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которомуколичество тепла, проходящего за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутрирассматриваемого тела, определяется формулой∂u ( x, t )∆Q = − k ( x, u )∆S∆t ,∂nгде n – нормаль к ∆S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) – коэффициентвнутренней теплопроводности, u(x, t) – температура тела в точке x = ( x1 , x2 , x3 ) в моментвремени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е.k(x, u) не зависит от направления площадки.Выделим внутри тела объем ω, ограниченный S.

Согласно закону Фурье,количество тепла, втекающее через S за промежуток [t1, t2], равно2∂u∫ dt ∫S k ∂n ds = t∫ dt ω∫ div(kgrad u )dω.t11t2tЕсли F ( x, t ) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за ихсчет в ω за указанный промежуток времени, равноt2∫ dt ω∫ F ( x, t )dω.t1Общее количество тепла притекающего в ω за время от t1 до t2 можно посчитать и засчет приращения температурыt2∂u∫ cρ (u( x, t ) − u ( x, t ))dx = ∫ dt ω∫ cρ ∂t dω,ω21t1где c(x) и ρ (x) – теплоемкость и плотность вещества. Тогдаt2∂u∫ dt ω∫  cρ ∂t − div(k grad u) − F ( x, t ) dω = 0.t1В силу произвольности ω и промежутка времени t1, t2, следует равенство∂ucρ− div(k grad u ) = F ( x, t ) ,∂t(1.5)называемое уравнением теплопроводности. Еслиk ( x, u ) = k ( x )(не зависит оттемпературы), то уравнение (1.5) становится линейным. Если же тело однородно(c( x) = const , ρ = const ) и уравнение (1.5) примет вид:∂u= a 2 ⋅ ∆u + f ( x, t ).(1.6)∂tИз физических соображений следует, что для однозначного описания процессараспространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределениетемпературыu t = 0 = ϕ ( x) – начальное условиеи температурный режим на границеu Γ = ϕ ( x, t ) – граничное условие,(возможны и другие варианты задания граничных условий).Рассмотренные три физические задачи приводят нас к решению трех различныхтипов дифференциальных уравнений второго порядка.

Все дифференциальные уравненияв частных производных второго порядка можно условно разделить на три класса:1) уравнения гиперболического типа,2) уравнения эллиптического типа,3) уравнения параболического типа.Лекция 2.Классификация уравнений в частных производных..Рассматриваемые вопросы.1. Уравнения гиперболического типа.2. Уравнения параболического типа.3. Уравнения эллиптического типа.При рассмотрении вопроса о классификации дифференциальных уравнений вчастных производных ограничимся дифференциальными уравнениями второго порядка.В общем виде такое уравнение может быть записано в виде:∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u  = 0,F  x, y, u,,,,,(2.1)∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 если искомая функция u зависит от двух переменных.Однако и в дальнейших рассуждениях будем рассматривать уравнения, линейныеотносительно старших производных∂ 2u∂ 2u∂ 2u∂u ∂u ,a11 2 + 2a12+ a22 2 = F1  x, y, u ,,(2.2)∂x∂x∂y∂y∂x ∂y где aij = aij ( x, y ) – заданные функции.Произведем классификацию уравнений вида (2).