Костиков А.А, - Конспект лекций, страница 4

Обсуждение сходимости ряда (6.11) и возможностиего почленного дифференцирования по переменным t и x оставляем читателю.3. Рассмотрим неоднородное уравнение∂u∂ 2u= a 2 2 + f ( x, t )∂t∂xс нулевыми начальными и граничными условиями(6.17)u ( x,0) = 0, u ( 0, t ) = 0, u ( l , t ) = 0.Предполагаем, что функция f непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную по x ипри t > 0 удовлетворяет требованиям f (0, t ) = f (l , t ) = 0. Решение ищем в виде ряда Фурье∞π nxn =1lu ( x, t ) = ∑ Tn ( t ) sin.(6.18)Ясно, что граничные условия при этом выполняются автоматически.Предположим, что функцию f ( x, t ) , рассматриваемую как функцию аргумента x , можноразложить в сходящийся к ней ряд Фурье∞π nxn =1lf ( x, t ) = ∑ f n ( t ) sin(6.19)с коэффициентами2π nxf n ( t ) = ∫ f ( x, t ) sindx.l 0ll(6.20)Формально подставив (6.18) и (6.19) в уравнение (6.17), получим равенство2 π nx π na ′= 0,Tn ( t ) + ∑ Tn ( t ) − f n ( t )  sinl l n =1 которое должно выполняться для каждого x ∈ (0, l ) .

Это возможно только если Tn (t ) является∞решением дифференциального уравнения π na Tn′ ( t ) +  Tn ( t ) = f n ( t ) , l ∞π nxпричем из начального условия u ( x, 0 ) = ∑ Tn ( 0 ) sin= 0 следует, что Tn (0) = 0 .ln =12(6.21)Подставив решение π na − ( t −τ ) l 2tTn ( t ) = ∫ ef n (τ ) dτ0уравнения (6.21) в ряд (6.18), получим решение задачи (6.17) t − π na u ( x, t ) = ∑  ∫ e  l n =1  0∞2( t −τ ) π nxf n (τ ) dτ  sin.l(6.22)Преобразуем полученное решение.

Подставив в (6.22) выражение для f n (t ) из (6.20), получим 2 ∞ − π na  ( t −τ )π nx π nξ  f (ξ ,τ ) d ξ dτ =u ( x, t ) = ∫ ∫  ∑ e  l sinsinl n =1ll 0 0 2t lt l= ∫ ∫ G ( x, ξ , t − τ ) f (ξ ,τ ) d ξ dτ ,0 0где введено обозначениеG ( x, ξ , t − τ ) =∞2∑l n =1 π na − ( t −τ )π nxe  l sin2lsinπ nξl.Функция G ( x, ξ , t ) называется функцией Грина или функцией мгновенного точечного источникатепла. Рассматриваемая как функция аргумента x, функция Грина дает распределениетемпературы на отрезке [0, l ] в момент времени t , порожденное действием мгновенногоисточника тепла Q = cρ , помещенного при t = 0 в точке x = ξ .4.

Вернемся к задаче (6.1) - (6.3), сформулированной в начале параграфа. Очевидно, что еёрешение u является суммой функций u = v + w , где v - решение задачи (6.10), w - решениезадачи (6.17).Лекция 7Применение метода Фурье для решения эллиптических уравненийДля простых областей (круг, прямоугольник, шар, цилиндр и ряд других) решение краевойзадачи для уравнения Лапласа можно найти методом разделения переменных. Получающиеся приэтом задачи на собственные значения (задачи Штурма – Лиувилля) приводят к различным классамспециальных функций (сферическим, цилиндрическим и др.).В качестве примера рассмотрим внутреннюю и внешнюю задачи Дирихле для круга.

Задачуестественно решать в полярной системе координат, где оператор Лапласа имеет вид∆ ρ ,ϕ u ≡1 ∂  ∂u  1 ∂ 2uρ.+ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂ϕ 21. Внутренняя задача Дирихле для круга. Найдем функцию u ( ρ , ϕ ) , гармоническую внутрикруга ρ < R0 и принимающую на границе ρ = R0 заданные значения:∆ ρ ,ϕ u = 0, ρ < R0 ,(7.1)u ( ρ , ϕ ) ρ = R = f (ϕ ) .(7.2)0Решение ищем в виде произведенияu ( ρ ,ϕ ) = R ( ρ ) Ф (ϕ ) .(7.3)Подставив (7.3) в уравнение (7.1) и разделив переменные, получимρ d  dR 1 d 2Фρ=−=λR d ρ  d ρ Ф dϕ 2с неопределенной постоянной λ .

Отсюда получаем два уравнения:d 2Ф+ λФ = 0,dϕ 2(7.4)d  dR ρ− λ R = 0.(7.5)d ρ  d ρ Так как u ( ρ , ϕ ) = u ( ρ , ϕ + 2π ) , то функция Ф (ϕ ) должна быть 2π - периодической. Поэтому вρ(7.4) параметр λ ≥ 0 и Ф (ϕ ) = A cos λϕ + + B sin λϕ . Кроме того, для периодичности Фλ = n ( n = 0,1,2,...) . Таким образом, получаем набор решенийдолжно выполняться равенствоуравнения (7.4):Фn (ϕ ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ .Решение уравнения (5) ищем в виде R ( ρ ) = ρ s . Подставив Фn (ϕ ) в (5) и сократив на ρ s ,получим s 2 = n 2 или s = ± n( n = 0,1,2,...) . ТогдаR ( ρ ) = C ρ n + Dρ − n ,где C и D - постоянные.

Ясно, что для решения внутренней задачи следует взять D = 0 (длявнешней задачи условие регулярности на бесконечности функции u ( ρ , ϕ ) приводит к равенствуС = 0 ). Отсюда∞u ( ρ , ϕ ) = ∑ ρ n ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ).n =0(7.6)Для определения коэффициентов An и Bn используем граничное условие (7.2). Предполагая, чтофункция f (ϕ ) допускает разложение в ряд Фурье, сходящийся на промежутке [ −π , π ] , запишемf (ϕ ) =где an =1ππ∫f (ϕ ) cos nϕ dϕa0 ∞+ ∑ ( an cos nϕ + bn sin nϕ ),2 n =1( n = 0,1,2,...) ,bn =−π1π(7.7)π∫ f (ϕ ) sin nϕ dϕ ( n = 1, 2,...) . Положив в−π(6) ρ = R0 и приравняв полученный ряд и ряд (7), найдем коэффициенты A0 =Bn =bnR0n( n = 1, 2,...)a0a, An = nn ,2R0и получим формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга:n∞ ρ au ( ρ , ϕ ) = 0 + ∑   ( an cos nϕ + bn sin nϕ ).2 n =1  R0 (7.8)Легко видеть, что ряд (7.8) сходится в круге ρ < R0 , допускает почленное дифференцированиелюбое количество раз и сходится к f (ϕ ) при ρ → R0 .

Поэтому формула (7.8) дает решениезадачи (7.1) – (7.2).2. Решение внешней задачи Дирихле для круга радиуса ρ = R0 при том же краевом условии(7.2) дается рядомna0 ∞  R0 u ( ρ , ϕ ) = + ∑   ( an cos nϕ + bn sin nϕ ).(7.9)2 n =1  ρ Очевидно, что при ρ > R0 ряд (7.9) сходится, допускает почленное дифференцирование любоеколичество раз и сходится к f (ϕ ) при ρ → R0 .3. В случае кругового кольца a<r<b гармоническая функция ищется виде∞u ( r ,ϕ )= A0 + B0 ln r + ∑ r n ( An cos nϕ+ Bn sin nϕ )+n =1∞+ ∑ r − n ( Cn cos nϕ+ Dn sin nϕ )n =1(7.10)Отметим, что соотношения (7.6), (7.9 − 7.10) позволяют решать также вторую и третьюкраевые задачи для названных областей.Замечание.

В простейших случаях, когда f(ϕ) есть тригонометрический полином, т.е.линейная комбинацияmaf (ϕ) = 0 + ∑ ( ak cos k ϕ+bk sin k ϕ),2 k =11∞nкоэффициенты An и Bn находятся из равенства 2 A0 + ∑ a ( An cos nϕ+ Bn sin nϕ) = f ( ϕ)n =1путем приравнивания коэффициентов возле одноименных функций слева и справа.Решение задачи (7.1 − 7.2) будет на этот раз представлено в виде конечной суммы.4. Рассмотрим метод Фурье для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.Применение этого метода рассмотрим на примере решения следующей задачи:Найти решение краевой задачи в прямоугольнике Ω={(x,y): 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} ∂ 2u ∂ 2u ∂x 2 + ∂y 2 = 0, ( x, y ) ∈ Ωu |x =0 = A, u |x = a = Ay, ∂u∂u | y =0 = 0,| y =b = 0.∂y ∂yПо методу Фурье полагаем u(x,y) = X(x)Y(y) и приходим к равенствуX ′′Y ′′= − = λ2 .XYИз граничных условий при y=0 и y=b найдем Y ′ ( 0 ) = 0, Y ′ ( b ) = 0.

Далее из задачиШтурма − ЛиувилляY ′′ + λ 2Y = 0Y ′(0) = 0, Y ′(b) = 0⇒λ=kπkπ, Yk ( y ) = cosy, k = 0, ∞.bbДля функции Х(х) имеем дифференциальное уравнение kπ X ′′ −   X = 0. b Если k = 1, ∞, то его общее решение имеет видkπkπX k ( x) = Ak shx + Bk sh (a − x),bbпри k=0 общее решение будет линейной функцией Х0(х)=А0 х+В0. Гармоническая функциявΩ2∞u ( x, y ) = A0 x + B0 + ∑ ( Ak shk =1k πxk π( a − x )kπ+ Bk sh) cosybbb∂u∂u|= 0,|= 0.

Остается выбрать ее∂ y y =0∂y y =bкоэффициенты так, чтобы выполнялись граничные условия на сторонах x=0 и x=a.Будем иметь∞k πak πyB0 + ∑ Bk shcos= A ⇒ B0 = A, Bk = 0, k = 1, ∞.bbk =1∞k πakπA0 a + A + ∑ Ak shcosy = Ay ⇒ .bbk =1будет, очевидно, удовлетворять условиямb⇒ A0 a + A =1Abb 1Aydy =⇒ A0 =  − 1 ;∫b022 a2kπ−2bkπAk =Ay cosydy =A sinydy =∫∫k πa 0k πa 0bbbshbk π shbbbb2bA1 kπ 2bA1cosy =(−1)k − 1) .(22kπakπa(k π) shb  0 (k π) shbbПри четных k=2n коэффициенты A2n=0, поэтому окончательно решение запишется ввидеb=(2n + 1)πcosy∞bx4bA(2n+1)πxbu ( x, y ) = A +  − 1  − ∑ 2sh.2(2n + 1)πab 2  a n =0 π (2n + 1)shbЛекция 8Интегральные уравненияРассматриваемые вопросы.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода. Решение интегральныхуравнений с помощью резольвенты.2. Метод последовательных приближений.3.

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода.Альтернатива Фредгольма4. Метод определителей Фредгольма1. Уравнениеxϕ(x) =f (x) +λ ∫ K(x,t) ϕ(t) dt ,0(8.1)где K(x,t) – заданная непрерывная функция в треугольнике 0≤ x ≤ a , 0 ≤ t ≤ x , f (x) –заданная непрерывная функция на отрезке 0≤ x ≤ a , ϕ(x) – искомая функция, λ –числовой параметр, называется линейным интегральным уравнением Вольтерра второгорода. Функции K(x,t) и f (x) называются соответственно ядром и свободным членомуравнения Вольтерра. Решением интегрального уравнения (8.1) называют функцию ϕ(x) ,которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество относительноx∈[ 0,a ] .В теории интегральных уравнений доказывается, что всякое интегральноеуравнение Вольтерра (8.1) с непрерывным ядром K(x,t) при любом λ имеетединственное решение ϕ(x) в классе непрерывных функций на отрезке[0, a ]длялюбого свободного члена f (x) из того же класса.Будем искать решение интегрального уравнения (8.1) в виде бесконечногостепенного ряда по степеням λ :ϕ(x) =ϕ0 (x) +λϕ1 (x) +λ 2ϕ2 (x) +...+λ n ϕn (x) +...

.(8.2)Подставляя этот ряд в (8.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ ,найдемϕ0 (x) = f (x),xxϕ1(x) = ∫ K(x,t) ϕ0 (t) dt = ∫ K(x,t) f (t) dt,00xxtϕ (x) = ∫ K(x,t) ϕ1 (t) dt = ∫ K(x,t) ∫ K(t,t1 ) f (t1 ) dt1 dt,2000(8.3).............................................................................Из соотношений (8.3), дающих способ последовательного определения функций ϕn (x) ,получимxϕ (x) = ∫ K n (x,t) f (t) dt, n = 1, 2,...