В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (В.С. Гаврилов - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНижегородский государственный университетим. Н.И. ЛобачевскогоВ.С. ГавриловН.А. ДенисоваМетод характеристик для одномерноговолнового уравненияУчебно–методическое пособиеРекомендовано методической комиссией механико–математическогофакультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям«Математика», «Прикладная математика и информатика», «Механика иматематическое моделирование».Нижний Новгород2014УДК 53:51(075)ББК В161.68я73Г-12Г-12 Гаврилов В.С., Денисова Н.А. Метод характеристик для одномерного волнового уравнения: Учебно–методическое пособие.

– Нижний Новгород:Нижегородский госуниверситет, 2014. – 72с.Рецензент: д.ф–м.н., профессор М.И. СуминВ настоящем учебно–методическом пособии рассматриваются начальныеи начально–краевые задачи для одномерного волнового уравнения. Подробноописывается метод характеристик для решения таких задач.Пособие предназначено для студентов третьего курса механико–математического факультета и соответствует программе курсов ”Уравнение математической физики“ и ”Уравнения с частными производными“.Ответственный за выпуск:зам.

председателя методической комиссиимеханико–математического факультета ННГУк.ф.–м.н., доцент Жидков А.В.УДК 53:51(075)ББК В161.68я73c Нижегородский государственныйуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2014СодержаниеВведение………………………………………………………………….…....41. Общее решение одномерного волнового уравнения ……………………4Задание 1……………………………………………………………………….62.

Решение задачи Коши для однородного волнового уравнения.Формула Даламбера ……………...……………………………………......7Задание 2……………………………………………………………………….93. Понятие области зависимости, области определенности, областивлияния ……………………………………………………………………..9Задание 3……………………………………………………………………...124. Задачи для бесконечной струны.…………………………………………12Задание 4……………………………………………………………………...245. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения ………….........25Задание 5……………………………………………………………………...266.

Начально–краевые задачи для волнового уравнения наполуограниченной прямой……………………………………………….26Задание 6……………………………………………………………………...327. Задачи для полуограниченной струны…………………………………..32Задание 7……………………………………………………………………...458. Задачи для ограниченной струны с однородными граничнымиусловиями ……………..………………………………………………......46Задание 8……………………………………………………………………...609.

Начально–краевые задачи с неоднородными граничнымиусловиями ………………………………………………………….……...60Задание 9……………………………………………………………………...66Ответы к заданиям для самостоятельной работы……………………….……….66Список литературы…………………………………………………………….......713ВведениеОдномерное волновое уравнение для функции u = u ( x, t ) , зависящей отодной пространственной переменной x и времени t , имеет видutt − a 2u xx = f ( x, t ).(1)Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа и используется для описания линейных волновых процессов различной физическойприроды.

Например, уравнение (1) описывает малые поперечные колебанияструны, продольные колебания тонкого стержня, применяется при рассмотрении широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики.Для уравнений в частных производных, как правило, не ищут общие решения, а изучают различные постановки задач, включающие дополнительныеусловия, которые позволяют отобрать единственное решение, определяющееконкретный физический процесс. Одномерное волновое уравнение — это одноиз немногих уравнений в частных производных второго порядка, для которогоможно найти общее решение. Чтобы выделить единственное решение этогоуравнения, чаще всего ставятся начальная (задача Коши) и начально–краевая(смешанная) задачи.

Существуют различные методы их решения [1–6].Данное учебно–методическое пособие посвящено методу характеристик.В пособии приведены необходимые теоретические сведения и решены различные, ставшие уже классическими, задачи о колебаниях струны, которые имеюти самостоятельное значение и позволяют глубже понять теоретический материал. Учебно–методическое пособие представляет собой переработанную и дополненную методическую разработку, изданную ранее в 1992 году и используемую на практических занятиях по курсу «Уравнения математической физики» на механико-математическом факультете ННГУ.1. Общее решение одномерного волновогоуравненияВ однородном волновом уравненииutt − a 2u xx = 0(1.1)сделаем замену переменных⎧ξ = x + at ,⎨⎩η = x − at.Введём обозначениеu ( x, t ) = V ( x + at , x − at ) = V (ξ ,η ).Используя формулы дифференцирования сложной функции, получим4(1.2)u x = Vξ ξ x + Vηη x = Vξ + Vη ,ut = Vξ ξt + Vηηt = a (Vξ − Vη ),u xx = Vξξ + 2Vξη + Vηη ,utt = a 2 (Vξξ − 2Vξη + Vηη ).После подстановки вторых производных u xx , utt в уравнение (1.1) будемиметьVξη = 0.(1.3)Положим∂V (ξ ,η )= W (ξ ,η ).(1.4)∂ηВ силу (1.3) функция W (ξ ,η ) удовлетворяет уравнению∂W (ξ ,η )=0∂ξОтсюда следует, что функция W (ξ ,η ) не зависит от ξ , а является функциейтолько переменной η ,W = f1 (η ).Учитывая это, уравнение (1.4) перепишем:∂V (ξ ,η )= f1 (η ).∂η(1.5)Уравнение (1.5) будем интегрировать как обыкновенное дифференциальноеуравнение по переменной η при фиксированном параметре ξ .

При этом добавляется не произвольная постоянная интегрирования, а произвольная функцияпараметра ξ :ηV (ξ ,η ) = ∫ f1 (ζ )dζ + g (ξ ).(1.6)η0Первообразная произвольной функции f1 (η ) является произвольной функциейпеременной η . Введем обозначениеηf (η ) = ∫ f1 (ζ )dζ ,η0и решение (1.6) перепишем:V (ξ ,η ) = f (η ) + g (ξ )Таким образом, общее решение уравнения (1.3) содержит две произвольные функции. Возвращаясь по формулам (1.2) к старым переменным x и t ,получим общее решение однородного волнового уравнения (1.1)5u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at ) .(1.7)Все решения волнового уравнения называются волнами.

Каждое слагаемое формулы (1.7) имеет физическую интерпретацию. Рассмотрим, например, функциюu = f ( x − at ) .(1.8)Вид графика решения называется формой волны. График решения (1.8) вфиксированный момент времени t0 > 0 получается из решения в начальныймомент времени t = 0 смещением вправо на величину at0 (рис. 1.1).(Рис. 1.1. Решение u = exp − ( x − at )2) смещается с течением времени слева направоПоэтому функцию u = f ( x − at ) называют волной, распространяющейся внаправлении оси x со скоростью a , или прямой бегущей волной.

Аналогично трактуется функция u = g ( x + at ) . Это решение описывает волну, которая,не изменяя своей формы, движется со скоростью a в отрицательном направлении оси x и называется обратной волной. В соответствии с формулой (1.7)общее решение однородного волнового уравнения (1.1) представляется в видесуммы (суперпозиции) прямой и обратной волн.Задание 1.1. Найти общее решение уравнений:1.1. u xy = xy .1.2. u xy + u y = 0 .1.3. u xy + 2u x = x .1.4. utt − u xx + u x + ut = 0 .21.5. utt − a u xx = sin ωt .2. Пусть функция f (x) непрерывна при всех x , кроме точки x = x0 .

Вточке x = x0 функция f (x) имеет разрыв первого рода. Указать нафазовой полуплоскости ( x, t ) множество точек разрыва функцииu ( x, t ) = f ( x − at ) + f ( x + at ) .62. Решение задачи Коши для однородного волновогоуравнения. Формула ДаламбераЗадача Коши для однородного волнового уравнения формулируется следующим образом:найти решение однородного волнового уравненияutt − a 2u xx = 0(2.1)в области − ∞ < x < ∞ , t > 0 , удовлетворяющее в начальный момент времени t = 0 условиямu t = 0 = ϕ ( x ) , − ∞ < x < ∞,(2.2)ut t = 0 = ψ ( x) , − ∞ < x < ∞.(2.3)Здесь ϕ (x), ψ (x) — заданные функции. Эту задачу часто называют начальнойзадачей, условия (2.2), (2.3) — начальными условиями (или условиями Коши), афункции ϕ (x), ψ (x) — начальными данными.Классическим решением задачи (2.1)–(2.3) называется функцияu ( x, t ) , дважды непрерывно дифференцируемая по переменным x и t в области − ∞ < x < ∞ , t > 0 , и один раз дифференцируемая в области− ∞ < x < ∞, t ≥ 0 , удовлетворяющая уравнению (2.1) и начальным условиям(2.2), (2.3).Чтобы решить начальную задачу, следует общее решение однородноговолнового уравнения (1.7) подставить в начальные условия и определить функции f (x), g (x) .

В условие (2.3) входит производная, поэтому сначала продифференцируем (1.7) по t как сложную функцию:∂ ( x − at )∂ ( x + at )+ g ′( x + at )=∂t∂t= − af ′( x − at ) + ag ′( x + at ) ,ut = f ′( x − at )(2.4)где штрихом обозначена обыкновенная производная функции f (x) . Послеподстановки (1.7), (2.4) в условия (2.2), (2.3) получим систему уравнений дляфункций f (x), g (x) :⎧ f ( x) + g ( x) = ϕ ( x),(2.5)⎨′′af(x)ag(x)ψ(x).−+=⎩Второе уравнение системы разделим на a и проинтегрируем. В результате система примет вид:f ( x) + g ( x) = ϕ ( x),⎧⎪x⎨− f ( x) + g ( x) = ψ (ζ )dζ + C.∫⎪x0⎩Складывая и вычитая уравнения системы, получим7C11 xf ( x) = ϕ ( x) −dψ(ζ)ζ−,∫22a x02(2.6)C11 xg ( x) = ϕ ( x) +∫ ψ (ζ )dζ + .22a x02(2.7)Таким образом, прямая и обратная волны формулы (1.7) для начальной задачи(2.1)–(2.3) с точностью до постоянного слагаемого определяются начальнымифункциями ϕ (x), ψ (x) :C11 x − atf ( x − at ) = ϕ ( x − at ) −dψ(ζ)ζ−,∫22a x02(2.8)C11 x + atg ( x + at ) = ϕ ( x + at ) +d()ψζζ+.∫22a x02(2.9)После подстановки функций (2.7), (2.8) в (1.7) будем иметьx − at1 x + at1u ( x, t ) = (ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )) +( ∫ ψ (ζ )dζ − ∫ψ (ζ )dζ ) .22ax0x0Меняя местами верхний и нижний пределы интегрирования в последнем интеграле, на основании свойств определенного интеграла получим11 x + atu ( x, t ) = (ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )) +∫ψ (ζ )dζ .22a x − at(2.10)Формула (2.10) называется формулой Даламбера.

Она получена в предположении существования решения задачи Коши (2.1)–(2.3). Если функцияϕ (x) имеет производные до 2–го порядка включительно: ϕ ( x) ∈ C 2 ( R1 ) , аψ (x) производную 1–го порядка: ψ ( x) ∈ C1 ( R1 ) , то функция u ( x, t ) , определяемая формулой (2.10), дважды дифференцируема по переменным x и t :u ( x, t ) ∈ C 2 ( R 2 ) . В том, что функция u ( x, t ) является решением задачи (2.1)–(2.3), можно убедиться непосредственной подстановкой u ( x, t ) в уравнение(2.1) и начальные условия (2.2)–(2.3).При решении конкретных физических задач может оказаться, что функции ϕ (x) и ψ (x) не удовлетворяют указанным условиям.

Понятие решения вэтом случае следует расширить и ввести обобщенные решения, так как классического решения не существует. Класс обобщенных решений должен быть шире класса классических решений. Если классическое решение существует, тооно должно быть и обобщенным решением задачи. Поскольку формула (2.10)имеет смысл для любых локально-интегрируемых функций ϕ (x) и ψ (x) , тофункцию u ( x, t ) , определяемую формулой (2.10) называют обобщенным ре8шением задачи (2.1)–(2.3). С общим понятием обобщенного уравнения для широкого класса уравнений можно познакомиться в [5].Задание 2.1. Используя формулу Даламбера, найдите решения задач:21.1. utt − a u xx = 0, u t = 0 = e− x2, ut t = 0 = 0;− x22;1.2.