В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (В.С. Гаврилов - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения), страница 3

4.4). Най-ны в момент времени t = t0 , t0 >дем координаты точек пересечения этой прямой с характеристиками:A:B:C:D:⎧ x + at = −c, ⎧ x = −c − at0 ,⇒⎨⎨,=tt⎩ t = t0 ,⎩0⎧ x + at = c, ⎧ x = c − at0 ,⇒⎨⎨,=tt⎩ t = t0 ,⎩0⎧ x − at = −c, ⎧ x = −c + at0 ,⇒⎨⎨,=tt⎩ t = t0 ,⎩0⎧ x − at = c, ⎧ x = c + at0 ,⇒⎨⎨,=tt⎩ t = t0 .⎩017Прямая t = t0 пересекает I, II, III, IV, V области задачи 4.2 и разбивается характеристиками на пять частей.

Интервалы изменения x этих частей определяютсяпервыми координатами точек A, B, C , D .Рис. 4.4. Интерпретация задачи 4.4 в фазовой полуплоскости ( x, t )Подставим t = t0 в формулы задачи 4.2 и запишем решение:0, x < −c − at0 ,⎧⎪hx + at0), − c − at0 ≤ x < c − at0 ,⎪ (1 −c2⎪u ( x, t 0 ) = ⎨0, c − at0 ≤ x < −c + at0 ,⎪hx − at0), − c + at0 ≤ x < c + at0 ,⎪ (1 −2c⎪0, x ≥ c + at0 .⎩Точка оси x , разделяющая точки, в которых возмущения еще нет, от точек, вкоторых возмущение уже появилось, называется передним фронтом волны.

Вданной задаче в момент времени t = t0 есть два передних фронта x = −c − at0 ,x = c + at0 . Точка, разделяющая точки, в которых возмущение еще есть от то-чек, в которых возмущение уже исчезло, называется задним фронтом волны. Вмомент времени t = t0 , если t0 >x = c − at0 , x = −c + at0 .c, существует два задних фронта волныaЗадача 4.5. Пусть в задаче о колебаниях бесконечной струны начальноеотклонение ϕ ( x) ≡ 0 , а начальная скорость отлична от нуля только на интерва-ле ( x1 , x2 ) , где принимает постоянное значение V0 ,⎧ 0, x < x1 ,⎪ψ ( x) = ⎨V0 , x1 < x < x2 ,⎪ 0, x > x .2⎩18(4.9)Найти формулы, представляющие закон движения точки струны x = x0 , длявсех t > 0 . Рассмотреть случай, когда x0 > x2 .Так как ϕ ( x) ≡ 0 , решение Даламбера имеет вид1 x + atu ( x, t ) =∫ψ (ζ )dζ .2a x − at(4.10)В задаче требуется расписать формулы для функции1 x0 + atu ( x0 , t ) =∫ψ (ζ )dζ2a x0 − at(4.11)при всех t > 0 .

Будем использовать фазовую полуплоскость ( x, t ) . Так какфункция ψ (x ) меняет свое аналитическое выражение при переходе через точкиx = x , x = x , то на оси x фазовой полуплоскости ( x, t ) отметим эти точки и12построим проходящие через них характеристики. Построим также прямуюx = x0 , на которой нужно найти решение задачи. Прямая x = x0 пересекаетхарактеристики x − at = x1 , x − at = x2 в точках, вторая координата которыхx −xx −x01принимает значенияи 0 2 соответственно (рис.

4.5).aaРис. 4.5. Интерпретация задачи 4.5 в фазовой полуплоскости ( x, t )u ( x0 , t ) будут различными в интервалахx −xx − x2x −xx −x0<t < 0 2 , 0< t < 0 1 , t > 0 1 . Распишем формулу вaaaaтретьем интервале. Для этого возьмем любую точку ( x0 , t0 ) на прямой x = x0 ,x − x1. Для точки ( x0 , t0 ) построим область зависимости. Областьгде t0 > 0aзависимости в этом случае разбивается точками x1 и x2 на три части, в которых функция ψ (x ) записывается различными аналитическими выражениями.Формулыдляфункции19x − x1Поэтому в момент времени t = t0 , t0 > 0интеграл (4.11) представим вaвиде суммы трех интегралов. В результате получимx0 + at 0x2⎫⎪1 ⎧⎪ x1u ( x0 , t0 ) =⎨ ∫ ψ (ζ )dζ + ∫ ψ (ζ )dζ + ∫ψ (ζ )dζ ⎬ =2a ⎪⎩ x0 − at 0⎪⎭x1x2x0 + at 0 ⎫x21 ⎧⎪ x1⎪=⎨ ∫ 0dζ + ∫ V0 dζ + ∫ 0dζ ⎬ =2a ⎪⎩ x0 − at 0⎪⎭x1x2x0 − x1.(4.12)ax − x2x −x< t < 0 1 .

Для люРассмотрим точки прямой x = x0 в интервале 0aaбой точки ( x0 , t0 ) этого отрезка прямой левый конец области зависимости попадает в интервал ( x1 , x2 ) , а правый конец — в область x0 + at0 > x2 . Поэто=( x2 − x1 )V0 ,2at0 ≥му интеграл (4.11) разбиваем на сумму двух интегралов,x0 + at 0⎫⎪1 ⎧⎪ x2u ( x0 , t0 ) =⎨ ∫ ψ (ζ )dζ + ∫ψ (ζ )dζ ⎬ =2a ⎪⎩ x0 − at 0⎪⎭x2x0 + at 0 ⎫1 ⎧⎪ x2⎪=⎨ ∫ V0 dζ + ∫ 0dζ ⎬ =2a ⎪⎩ x0 − at 0⎪⎭x2x − x2x −xV0≤ t0 < 0 1 .( x2 − x0 + at0 ) , 0(4.13)2aaax − x2Для всех точек прямой x = x0 , у которых 0 < t0 < 0область зависимоaсти располагается правее точки x2 . Так как функция ψ ( x ) ≡ 0 , x > x2 , тоx −xu ( x0 , t0 ) ≡ 0 ,(4.14)0 ≤ t0 < 0 2 .aЗаменяя в формулах (4.12)–(4.14) t0 на t , выпишем ответ задачиx0 − x2⎧t0,0≤<,⎪a⎪⎪Vx − x2x −xu ( x0 , t ) = ⎨ 0 ( x2 − x0 + at ), 0≤t < 0 1,aa⎪ 2aV0x −x⎪( x2 − x1 ), t ≥ 0 1 .⎪⎩2aa=20Точка струны x = x0 смещается не сразу, затем смещение в этой точке линейноx − x1растет по времени, достигая максимума в момент времени t = 0.

Начинаяaс этого момента времени, смещение точки не меняется и остается постоянным.Задача 4.6. В условиях задачи 4.5 построить профиль струны для момен-x − x1тов времени t k = 2k , k = 0,4.8aВведем функциюx1F ( x) == ∫ψ (ζ )dζ .2a x1(4.15)Используя (4.15), формулу Даламбера (4.10) запишем в виде1 x11 x + atu ( x, t ) =∫ ψ (ζ )dζ +∫ψ (ζ )dζ =2a x − at2a x1= F ( x + at ) − F ( x − at ).Вычислим интеграл (4.15) при всех значениях x⎧⎪⎪0, x < x1 ,⎪⎪V01 xF ( x) = ⎨∫ V0 dζ = ( x − x1 ), x1 ≤ x < x2 ,2a x12a⎪⎪ 1 x2V01 x⎪∫ V0 dζ +∫ 0dζ = ( x2 − x1 ), x ≥ x2 .2a x 22a⎪⎩ 2a x1На рисунке 4.6 изображены графики функций ψ (x) и F (x).Рис. 4.6.

Графики функций ψ (x ) и F (x )21(4.16)(4.17)Согласно формуле (4.16), профиль струны в момент времени t k получается сложением графиков функций F ( x + atk ) и − F ( x − at k ) . Профили струны в моменты времени t k , k = 0,4 приведены на рис. 4.7.x − x1Рис. 4.7. Последовательные положения струны через промежутки времени Δt = 24ax − x1Для моментов времени t > 2профиль струны имеет форму трапеции по2aстоянной высоты, равномерно расширяющейся с течением времени.Задача 4.7. В условиях задачи 4.5 найти формулы, описывающие про-x − x1филь струны в момент времени t0 , t0 > 2.2aПри выполнении задания можно использовать либо формулу (4.10), либоформулу (4.16). Продемонстрируем способ использования формулы (4.16). Нафазовой полуплоскости (рис.

4.8) проведем горизонтальную прямую t = t0 ,Рис. 4.8. Интерпретация задачи 4.7 в фазовой полуплоскости ( x, t )22пересекающую характеристики в точках с координатами( x1 − at0 , t0 ) ,( x2 − at0 , t0 ) , ( x1 + at0 , t0 ) , ( x2 + at0 , t0 ) . Эти четыре точки делят прямуюt = t0 на пять интервалов, в которых решение u ( x, t0 ) записывается разнымиформулами. Рассмотрим, например, точку ( x0 , t0 ) этой прямой из интервалаx1 − at0 ≤ x0 < x2 − at0 и построим для нее область зависимости. Левый конецобласти зависимости лежит левее точки x1 , поэтому, в соответствии с форму-лой (4.17),F ( x0 − at0 ) = 0 .Правый конец попадает в интервал ( x1 , x2 ) , поэтому, в соответствии с (4.17),VF ( x0 + at0 ) = 0 ( x0 + at0 − x1 ),2aПо формуле (4.16) получимV0( x0 + at0 − x1 ), x1 − at0 ≤ x0 < x2 − at0 .2aПереобозначим x0 через x и перепишем формулу:Vu ( x, t0 ) = 0 ( x + at0 − x1 ), x1 − at0 ≤ x < x2 − at0 .2aДля остальных значений x формулы получаются аналогично.

Ниже приводитсяu ( x0 , t0 ) =ответ задачи:0, x < x1 − at0 ,⎧⎪ V0( x + at0 − x1 ), x1 − at0 ≤ x < x2 − at0 ,⎪2a⎪⎪ V0u ( x, t 0 ) = ⎨( x2 − x1 ), x2 − at0 ≤ x < x1 + at0 ,2a⎪⎪− V0 ( x − at − x ), x + at ≤ x < x + at ,021020⎪ 2a⎪⎩0, x ≥ x2 + at0 .В задаче есть два передних фронта волны, и отсутствует задний фронт волны.Замечание. Задача о построении профиля струны в фиксированные моменты времени в случае одновременно ненулевых функций ϕ (x ) и ψ (x ) , согласно (1.7), сводится к сложению графиков функций (2.7), (2.8). Для решениязадачи функции (2.5), (2.6) нужно найти в явном виде, при этом константу cследует взять равной нулю, а нижний предел интегрирования в интеграле —любое число.

Чаще всего выбирают x0 = −∞ для сходящихся несобственныхинтегралов от функции ψ (x ) , либо первое значение аргумента x , при переходечерез которое функция ψ (x) меняет свое аналитическое выражение.23Задание 4.1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным отнуля лишь на интервалах ( −3c, c) и (c,3c) , и имеющим на плоскости( x, u ) форму ломаной с вершинами в точках (−3c,0), (−2c, h) , (−c,0),(c,0), (2c, h), (3c,0) .