В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (В.С. Гаврилов - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения), страница 8

На отрезке 0 ≤ x ≤ 1~Ф( x) = A sin 2πx~Пусть − 1 ≤ x ≤ 0 . Используя нечетность функции Ф( x) относительно точкиx = 0 , получим~~Ф( x) = −Ф(− x) = − A sin( −2πx) = A sin 2πx .Таким образом, на отрезке − 1 ≤ x ≤ 1~Ф( x) = A sin 2πx .На всю ось x функция продолжается периодически с периодом 2. Поэтому~Ф( x) = A sin 2πx,−∞ < x < ∞ .~Так как ψ ( x) = 0,0 ≤ x ≤ l , то для функции F ( x) получим~F ( x) = 0,−∞ < x < ∞.Подставляя найденные функции в формулу (8.1), найдем решение задачиu ( x, t ) =A[sin 2π ( x − t ) + sin 2π ( x + t )] = A sin 2πx cos 2πt ,2(8.35)которое представляет собой произведение двух функций.

Первая из этихфункций зависит только от переменной x , вторая только от t . Решения такого52типа называются стоячими волнами. Точка x =121остается неподвижной в2процессе движения, u ( , t ) = 0, t ≥ 0 (рис. 8.1). Такие точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых u ( x, t ) достигает максимальных значений, называются пучностями, а минимальные — впадинами стоячей волны. Стоячая волна (8.35) получается в результате суперпозиции двух синусоидальных бегущих волн одинаковой амплитуды, распространяющихся в противоположных направлениях со скоростью a = 1 .Рис.

8.1. График решения задачи 8.5 в фиксированные моменты времени t k =k, k = 0,88Задача 8.6.utt − a 2u xx = 0 , 0 < x < l , t > 0 ,u t = 0 = Ax , 0 ≤ x ≤ l ,ut t = 0 = 0 , 0 ≤ x ≤ l ,= 0, t ≥ 0.3l.Найти решение задачи в момент времени t =2aИспользуя результаты задачи 8.3 функцию Ax , заданную на интервале0 ≤ x ≤ l , сначала продолжим нечетно относительно точки x = 0 , четно относительно точки x = l , а затем периодически с периодом 4l (рис. 8.2).u x =0 = 0 , ux53x =0~Рис. 8.2.

График функции Ф( x ) в задаче 8.6~Выберем отрезок длины 4l , на котором продолженная функция Ф( x) меняетаналитическое выражение только один раз. На этом интервале⎧ Ax, − l ≤ x ≤ l ,~Ф( x) = ⎨⎩ A(2l − x), l < x ≤ 3l.(8.36)Чтобы расписать решение задачи по формуле (8.1), будем использовать фазовую полуплоскость. На оси x фазовой полуплоскости ( x, t ) отметим точки,разбивающие ось на отрезки, в которых продолженную функцию можно записать аналитически одним выражением.

Через точки с координатами− 3l ,−l , l ,3lпроведем характеристики. Прямоугольник 0 < x < l ,0 < t <разбивается этими характеристиками на 5 областей (рис. 8.3).Рис. 8.3. Фазовая полуплоскость для задачи 8.6544la3l. Эта прямая пересекает 3 и 2 области. Абсцисса точ2aки пересечения этой прямой и характеристики x − at = −l имеет значеl3lние x = . В момент времени t =решение будет записываться разными вы22al lражениями в интервалах, 0 < x < и < x < l .2 2Проведем прямую t =Возьмемпроизвольнуюточкувпервоминтервале3ll), 0 < x0 < и построим для нее область зависимости.

Абсциссы2a2точек Р1 и P2 удовлетворяют неравенствам3l3l− 3l < x0 − < −l , l < x0 + < 3l .22~Учитывая, что функция Ф( x) имеет период 4l , получим3l ⎞ ~⎛3l5l ⎞~⎛⎞ ~⎛Ф⎜ x0 − ⎟ = Ф⎜ x0 − + 4l ⎟ = Ф⎜ x0 + ⎟ ,2⎠22⎠⎝⎝⎠⎝5lпричем l < x0 + < 3l . Тогда, в соответствии с (8.36),23l ⎞5l ⎞ ⎞l⎞⎛~⎛⎛⎛Ф⎜ x0 − ⎟ = A⎜ 2l − ⎜ x0 + ⎟ ⎟ = − A⎜ x0 + ⎟ ,2⎠2 ⎠⎠2⎠⎝⎝⎝⎝3l ⎞3l ⎞ ⎞⎛~⎛⎛⎛l⎞Ф⎜ x0 + ⎟ = A⎜ 2l − ⎜ x0 + ⎟ ⎟ = A⎜ − x0 ⎟ .2⎠2 ⎠⎠⎝⎝⎝2⎠⎝~Подставляя найденные функции в (8.1) и учитывая, что F ( x) = 0 , получим3l ⎞ 1 ⎛ ~⎛3l ⎞ ~⎛3l ⎞ ⎞l⎛u ⎜ x0 , ⎟ = ⎜ Ф⎜ x0 − ⎟ + Ф⎜ x0 + ⎟ ⎟ = −2 Ax0 , 0 < x0 <(8.37)22a ⎠2a ⎠ ⎠⎝ 2a ⎠ 2 ⎝ ⎝⎝l< x < l , возьмем произвольнуюЧтобы найти решение задачи в интервале23l lточку M 1 ( x1 , ), < x1 < l и построим для нее область зависимости.

Абс2a 2циссы точек P3 и P4 удовлетворяют неравенствам3l− l < x1 −< l,2a3ll < x1 +< 3l.2aM 0 ( x0 ,55Используя формулы (8.36), (8.1), будем иметь3l ⎞3l ⎞~⎛⎛Ф⎜ x1 − ⎟ = A⎜ x1 − ⎟ ,2⎠2⎠⎝⎝3l ⎞3l ⎞ ⎞⎛~⎛⎛Ф⎜ x1 + ⎟ = A⎜ 2l − ⎜ x1 + ⎟ ⎟ ,2⎠2 ⎠⎠⎝⎝⎝3llu ( x1 , ) = − Al , < x1 < l .(8.38)2a2Заменяя в формулах (8.37), (8.38) x0 и x1 переменной x , выпишем ответl⎧Axx2,0,−<<⎪3l2u ( x, ) = ⎨2a ⎪ − Al , l < x < l.⎩2Задача 8.7.

Однородная струна длиной l , закрепленная на концах x = 0 иx = l , в начальный момент времени оттянута в точке x =lна малое расстоя3ние h от оси x , затем отпущена без сообщения ее точкам начальной скорости.Найти отклонение u ( x, t ) при всех 0 < t <l.3aЗадача сводится к решению волнового уравненияutt − a 2u xx = 0, 0 < x < l , t > 0,с условиямиl⎧ 3hx≤≤,0x,⎪ l3u t =0 = ⎨3h(l − x) l⎪, < x ≤ l,⎩ 2l3ut t = 0 = 0,0 ≤ x ≤ l ,u x = 0 = 0, t ≥ 0,u x = l = 0, t ≥ 0.В соответствии с задачей 8.1 решение задачи представляется по формуле (8.1),~~в которой F ( x) ≡ 0,−∞ < x < ∞ . Функция Ф( x) получается из функции ϕ (x)нечетным продолжением относительно точек x = 0, x = l , а затем периодиче-~ски с периодом 2l .

Функция Ф( x) изображена на рис. 8.4.56~Рис. 8.4. График функции Ф( x ) в задаче 8.7~Запишем явный вид функции Ф( x) на промежутке длиной 2l :l⎧ 3hx l,,x−≤≤⎪ l~33(8.36)Ф( x) = ⎨3h(l − x) l5l⎪, ≤x≤ .33⎩ 2lБудем использовать фазовую полуплоскость ( x, t ) . На фазовой полуплоскостивыделим прямоугольник, в котором нужно найти решение0 < x < l, 0 < t <l.3a~На оси x (рис. 8.5) отметим точки, при переходе через которые функция Ф( x)меняет свое аналитическое выражение. Через эти точки проведем характеристики. На видно, что только две характеристики пересекают прямоугольник.Этими характеристиками прямоугольник разбивается на три части. В каждойчасти решение (8.1) будет иметь свое аналитическое выражение.Рассмотрим первую область,⎧⎪ x > 0,⎪⎨ t > 0,l⎪+<.xat⎪⎩3Возьмем произвольную точку M 0 ( x0 , t0 ) в этой области и проведем через неехарактеристики.

Эти характеристики отсекают на оси x отрезок[ x0 − at0 , x0 + at0 ] — область зависимости решения в точке M 0 . Отрезок⎛ l l⎞[ x0 − at0 , x0 + at0 ] ⊂ ⎜ − , ⎟ , поэтому в соответствии с формулой (8.36),⎝ 3 3⎠57Рис. 8.5. Фазовая полуплоскость для задачи 8.7Тогда по формуле (8.1)3h( x0 − at0 )~Ф( x0 − at0 ) =,l3h( x0 + at0 )~Ф( x0 + at0 ) =.l3hx01 3h( x0 − at0 ) 3h( x0 + at0u ( x0,t0 ) = (+.)=lll2После переобозначений получимu ( x, t ) =3hx.lХарактеристики, проведенные через произвольную точку M 1 ( x1 , t1 ) из второйобласти,l⎧+>,xat⎪3⎪⎪l⎨ x − at < ,3⎪l⎪ t< ,⎪⎩358пересекают ось x в точках P3 и P4 .

Абсциссы точек P3 и P4 удовлетворяютнеравенствамll− < x1 − at1 < ,335ll< x1 + at1 < .33По формулам (8.36), (8.1) будем иметь3h( x1 − at1 )~,Ф( x1 − at1 ) =l3h(l − x1 − at1 )~,Ф( x1 + at1 ) =2l1 3h( x1 − at1 ) 3h(l − x1 − at1 ) 3h( x1 − 3at1 + l )+.u ( x1 , t1 ) = ()=l4l2l2Меняя x1 на x и t1 на t , запишем3h( x − 3at + l ).u ( x, t ) =4lРассмотрим третью область,l⎧x−at>,⎪3⎪⎨ x < l,⎪ t > 0.⎪⎩Область зависимости любой точки из этой области целиком лежит в интервалеl 5l( , ) . Поэтому3 33h(l − x + at )~Ф( x − at ) =,2l3h(l − x − at )~Ф( x + at ) =,2l1 3h(l − x + at ) 3h(l − x − at ) 3h(l − x)u ( x, t ) = ()=+.22l2l2lВыпишем ответ задачи:593hxl⎧>>+<,x0,t0,xat,⎪l3⎪⎪ 3h( x − 3at + l )lllu ( x, t ) = ⎨, x + at > , x − at < , t < ,4l333a⎪−3()hlxl⎪, x − at > , x < l , t > 0.⎪⎩2l3Задание 81.

Решить задачу о колебаниях струны, конец x = 0 которой закреплен жестко, а x = π свободен. Начальное отклонение и начальнаяскорость имеют видxxu t = 0 = sin , ut t = 0 = sin , 0 ≤ x ≤ π .222. Однородная струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l , имеет вначальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра к середине струны. Найти отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени t =l, ес4aли начальные скорости струны равны нулю.3. Рассмотреть задачу о колебаниях ограниченной струны ( a = 1,l = 6) , закрепленной на концах x = 0 и x = l , если в начальныймомент времени скорости всех точек струны равны нулю, а начальное отклонение изображено на рис.

8.6. Нарисовать форму струны вмоменты времени t = 1,2,...,12 .Рис. 8.6. Начальный профиль струны9. Начально-краевые задачи с неоднороднымиграничными условиямиЗадача 9.1. Рассмотреть задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на конце x = 0 и подверженной на конце x = l действию возмущаю60щей силы, которая вызывает смещение, равное A sin ωt . В момент времениt = 0 смещения и скорости точек струны равны нулю. Найти смещения точекструны при всех t > 0 .Сформулируем соответствующую начально–краевую задачу:utt − a 2u xx = 0, 0 < x < l , t > 0,u t = 0 = 0, 0 ≤ x ≤ l ,ut t = 0 = 0, 0 ≤ x ≤ l ,u x = 0 = 0, t ≥ 0,u x = l = A sin ωt , t ≥ 0.(9.1)(9.2)(9.3)(9.4)Для решения задачи будем использовать общее решение однородного волнового уравненияu ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at ).(9.5)Здесь f (x ) и g (x ) — неизвестные функции, которые будем определять, используя условия (9.1)–(9.4). Прежде всего, воспользуемся условиями (9.1),(9.2). Подставляя (9.5) в (9.1), (9.2) будем иметь⎧ f ( x) + g ( x) = 0, 0 ≤ x ≤ l ,⎨⎩− af ′( x) + ag ′( x) = 0, 0 ≤ x ≤ l.Интегрируя второе уравнение системы, получим− f ( x ) + g ( x ) = C0 , 0 ≤ x ≤ l .Отсюда, учитывая первое уравнение системы, найдемf ( x) = −C0C, g ( x ) = 0 , 0 ≤ x ≤ l.22Константу C0 можно выбрать нулевой, так как на решение (9.5) этот выбор невлияет.

Итак,f ( x) = 0, g ( x) = 0, 0 ≤ x ≤ l.(9.6)Подставляя (9.5) в граничные условия (9.3), (9.4), получим соотношенияf (− at ) + g (at ) = 0, t ≥ 0,(9.7)f (l − at ) + g (l + at ) = A sin ω t , t ≥ 0 ,(9.8)которые позволяют продолжить функцию f (x) на отрицательную ось x , аg (x) — на бесконечный интервал x > l . В формуле (9.7) сделаем замену− at = x , а в (9.8) — замену l + at = x . В результате получимf ( x) = − g (− x), x ≤ 0,(9.9)g ( x) = A sinω(x − l)a− f (2l − x), x ≥ l.Будем поочередно пользоваться формулами (9.9), (9.10).61(9.10)Если − l ≤ x ≤ 0 , то 0 ≤ − x ≤ l и, согласно (9.6), g ( −x) = 0 . Используяформулу (9.9), найдем, что при всех − l ≤ x ≤ 0f ( x) = 0 .(9.11)Объединяя (9.6), (911), можно записатьf ( x) = 0, − l ≤ x ≤ l.(9.12)Теперь используем соотношение (9.10). Пусть l ≤ x ≤ 3l .

В этом случае− l ≤ 2l − x ≤ l и поэтому f (2l − x) = 0 . Тогда, в соответствии с (9.10),g ( x) = A sinω(x − l)a, l ≤ x ≤ 3l .(9.13)Рассмотрим интервал − 3l ≤ x ≤ −l . Тогда l ≤ − x ≤ 3l и, согласно (9.13),g (− x) = − A sinПодставляя (9.14) в (9.9), найдемf ( x) = A sinω(x + l)a, l ≤ − x ≤ 3l .(9.14)ω(x + l), − 3l ≤ x ≤ −l .(9.15)aЕсли 3l ≤ x ≤ 5l , то − 3l ≤ 2l − x ≤ −l . Поэтому, учитывая (9.15), запишемf (2l − x) = A sinω (3l − x)a, 3l ≤ x ≤ 5l .(9.16)Используя (9.16), из соотношения (9.10) получимω ( x − 3l ) ⎞⎛ ω(x − l)(9.17)g ( x) = A⎜ sin+ sin⎟, 3l ≤ x ≤ 5l .aa⎝⎠Пусть − 5l ≤ x ≤ −3l .