В.С. Гаврилов - Учебно-методическое пособие - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения (В.С. Гаврилов - Метод характеристик для одномерного волнового уравнения), страница 7

Решить задачи о распространении краевого режима:1. utt − u xx = 0, x > 0, t > 0,u t = 0 = 0, ut t = 0 = 0, x ≥ 0,1u x x = 0 = sin 3t , t ≥ 0 .32. utt − u xx = 0, x > 0, t > 0,u t = 0 = 0, ut t = 0 = 0, x ≥ 0,(u x − u ) x = 0 = sin 3t , t ≥ 0 .8. Задачи для ограниченной струны с однороднымиграничными условиямиДля описания колебаний ограниченной струны ставится следующая начально-краевая задача:найти решение уравненияutt − a 2u xx = f ( x, t ),0 < x < l , t > 0,удовлетворяющее начальнымu t = 0 = ϕ ( x),0 ≤ x ≤ l ,ut t = 0 = ψ ( x),0 ≤ x ≤ l ,и граничным условиям(α1u x − β1u ) x = 0 = μ (t ), t ≥ 0,(α 2u x + β 2u ) x = l = μ (t ), t ≥ 0.(8.1)(8.2)(8.3)(8.4)(8.5)Граничные условия задачи определяются физической постановкой задачи. Различные варианты граничных условий для левого конца струны приведены в таблице 1.

Формально граничные условия для правого конца могут бытьполучены из граничных условий для левого конца, если сделать замену переменных ξ = l − x , при этом левый и правый концы меняются местами. Например, граничное условие упруго закрепленного левого конца имеет вид(u x − hu ) x = 0 = 0 .После замены получим(−uξ − hu )46ξ =l= 0.Заменивξ переменной x , граничное условие, перепишем в виде(u x + hu ) x = l = 0 .Ниже приведена таблица различных типов граничных условий для правогоконца струны.Таблица 2Типы граничных условий для правого конца струныNГраничное условиеОписание1аu x = l = μ (t )1бu x =l = 0Конец x = l движется впоперечном направлении по заданному законуКонец x = l жестко закрепленК концу x = l приложена заданная внешняя2аux2б3аx =lux= μ (t )x =l~=0[u x + h(u − μ (t ) )] x =l = 0или(u x + hu ) x =l = hμ (t )3б(u x + hu ) x =l = 0Примечаниеμ (t ) =сила f (t ) , параллельная оси u .Конец x = l свободенЗадан закон движенияупругозакрепленногоконца x = lh=1 ~f (t )T0kT0Со стороны заделки наконец действует упругаясила, пропорциональнаясмещению и направленная в противоположнуюсторону~f (t ) = − ku (l , t )Конец xкреплен=lупруго за-Продемонстрируем возможности метода характеристик на решении примеровначально–краевых задач для однородного волнового уравнения.В этом параграфе будем рассматривать начально–краевые задачи для однородного волнового уравнения с простейшими граничными условиями.

Простейшими граничными условиями называют однородные граничные условия 1го и 2-го рода. Решение таких задач можно искать в виде формулы Даламбера1 ~1 x + at~~u ( x, t ) = [Ф( x − at ) + Ф( x + at )] +(8.1)∫ F (ζ )dζ .22a x − at~~Для любых Ф( x ), F ( x ) функция (8.1) удовлетворяет однородному волновому~~уравнению. Конкретный вид функций Ф( x), F ( x) находится из начальных и47граничных условий. Можно сформулировать четыре различных начально–краевых задач для однородного волнового уравнения с простейшими граничными условиями на концах x = 0, x = l .Задача 8.1utt − a 2u xx = 0, 0 < x < l , t > 0,u t = 0 = ϕ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,ut t = 0 = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,u x = 0 = 0, t ≥ 0,u x = l = 0, t ≥ 0 .(8.2)(8.3)(8.4)(8.5)(8.6)Подстановка функции (8.1) в условия (8.3)–(8.6) приводит к системе~⎧Ф( x) = ϕ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,⎪~( x) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,F⎪1 at ~⎪ 1 ~~(Ф(at ) + Ф(−at )) +(8.7)⎨∫ F (ζ )dζ = 0, t ≥ 0,2a − at⎪ 2⎪1 ~1 l + at~~⎪ 2 [Ф(l − at ) + Ф(l + at )] + 2a ∫ F (ζ )dζ = 0, t ≥ 0.⎩l − at~~Согласно первым двум уравнениям системы, функции Ф( x ) и F ( x) совпадают с функциями ϕ (x) и ψ (x) на отрезке 0 ≤ x ≤ l .

Третье и четвертое соотношения системы (8.7) будут выполняться при всех t ≥ 0 , если функции~~Ф( x), F ( x) нечетны относительно точек x = 0, x = l :~~~~Ф(− x) = −Ф( x), Ф(l − x) = −Ф(l + x),(8.8)~~~~F (− x) = − F ( x), F (l − x) = − F (l + x) .(8.9)~~Покажем, что из равенств (8.8), (8.9) следует, что функции Ф( x ), F ( x ) являются периодическими с периодом 2l .

Действительно,~~~~~Ф(2l + x) = Ф(l + (l + x)) = −Ф(l − (l + x)) = −Ф(− x) = Ф( x)Аналогично получается, что~~F (2l + x) = F ( x) .~~Таким образом, функции Ф( x) и F ( x) совпадают с функциями ϕ (x) иψ (x) на промежутке [0, l ] и являются 2l – периодическими нечетными продолжениями начальных функций на всю ось x . В этом случае функция (8.1)удовлетворяет уравнению (8.2) и условиям (8.3)–(8.6).Покажем, что решение задачи 8.1 является функцией, периодической попеременной t с периодом2l.

В соответствии с формулой (8.1),a482l1 ~1 x + at +~2l~u ( x, t + ) = [Ф( x − at − 2l ) + Ф( x + at + 2l )] +∫ F (ζ )dζ .a22a x − at − 2l(8.10)В интеграле формулы (8.10) сделаем замену переменной ξ = ζ + 2l , воспользуемся условием периодичности подынтегральной функции и представимполучившийся интеграл в виде суммы двух интегралов:x + at + 2l∫x − at − 2lx + at + 4lx + at + 4l~~~F (ζ )dζ = ∫ F (ξ − 2l )dξ = ∫ F (ξ )dξ =x − atx − atx + atx + at + 4l~~= ∫ F (ξ )dξ + ∫ F (ξ )dξ .x − at(8.11)x + atТак как интеграл от периодической функции по любому промежутку с длиной,кратной периоду, имеет одно и то же значение, тоx + at + 4l∫x + at2l~~F (ξ )dξ = ∫ F (ξ )dξ .− 2lПоследний интеграл равен нулю в силу нечетности подынтегральной функциии симметричности промежутка интегрирования.

Поэтомуx + at + 2l∫x − at − 2lx + at~~F (ξ )dξ = ∫ F (ξ )dξ .(8.12)x − at~Учитывая (8.12) и периодичность функции Ф( x) , формулу (8.10) приведем квиду2l1 ~1 x + at~~u ( x, t + ) = [Ф( x − at ) + Ф( x + at )] +∫ F (ξ )dξ = u ( x, t ).a22a x − atЗадача 8.2.utt − a 2u xx = 0, 0 < x < l , t > 0,u t = 0 = ϕ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,(8.10)(8.11)ut t = 0 = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,(8.12)ux(8.13)x =0= 0, t ≥ 0,u x = l = 0, t ≥ 0 .(8.14)Задача 8.2 отличается от задачи 8.1 только граничным условием на концеx = 0 .

Поэтому часть результатов задачи 8.1 справедлива и в этой задаче:~Ф( x) = ϕ ( x), 0 ≤ x ≤ l.~F ( x) = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,~~~~Ф(l − x) = −Ф(l + x), F (l − x) = − F (l + x) .49(8.15)Чтобы воспользоваться условием (8.13), вычислим производную от функции (8.1):1 ~1 ~~~u x ( x, t ) = [Ф′( x − at ) + Ф′( x + at )] + [ F ( x + at ) − F ( x − at )]22a(8.16)Подставляя (8.16) в (8.13), получим1 ~1 ~~~(8.17)[Ф′(− at ) + Ф′(at )] + [ F (at ) − F (−at )] = 0 .22aСоотношение (8.17) будет выполняться при всех t ≥ 0 для четных относитель~~но точки x = 0 функций F ( x) и Ф( x) ,~~~~F (− x) = F ( x), Ф(− x) = Ф( x) ,(8.18)~т.к. производная от четной функции Ф( x ) относительно точки x = 0 являетсяфункцией нечетной относительно этой точки~~− Ф′(− x) = Ф′( x).Функции, удовлетворяющие условиям (8.15), (8.18) при всех x , перио~дичны с периодом 4l .

Обоснование проведем для функции F ( x) :~~~~F (4l + x) = F (l + (3l + x)) = − F (l − (3l + x)) = − F (−2l − x) =~~~~~− F (2l + x) = − F (l + (l + x)) = F (l − (l + x)) = F (− x) = F ( x).Таким образом, решение задачи 8.2 определяется по формуле (8.1), в которой~~функции Ф( x) и F ( x) получаются из функций ϕ (x) и ψ (x) , 0 ≤ x ≤ l , четным продолжением относительно точки x = 0 , нечетным — относительно точки x = l , а затем — периодическим продолжением с периодом 4l на всю ось.Можно показать, что решение задачи 8.2 имеет период по переменной t ,равный4l. Действительно, аналогично задаче 8.1, получимa4l1 ~~u ( x, t + ) = [Ф( x − at − 4l ) + Ф( x + at + 4l )] +a2x + atx + at + 8l~~+ ∫ F (ξ )dξ + ∫ F (ξ )dξ .x − atx + at~Так как функция F ( x) периодична с периодом 4l , тоx + at + 8l∫x + at5l~~F (ξ )dξ = ∫ F (ξ )dξ .− 3lИнтеграл по симметричному промежутку относительно точки x = l от нечетной относительно этой точки функции равен нулю.

Поэтому, учитывая перио~дичность Ф( x) , получим50u ( x, t +Задача 8.3.4l) = u ( x, t ) .autt − a 2u xx = 0, 0 < x < l , t > 0,u t = 0 = ϕ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,ut t = 0 = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,(8.19)(8.20)(8.21)u x = 0 = 0, t ≥ 0,(8.22)ux(8.23)x =l= 0, t ≥ 0 .Задача решается аналогично задачам 8.1, 8.2.

Приведем ответ задачи. Ре~~шение задачи имеет вид (8.1). Функции F ( x) и Ф( x) совпадают на отрезке0 ≤ x ≤ l с функциями ϕ (x) и ψ (x) , а вне этого отрезка с продолжением этихфункций на всю ось x . Способ продолжения зависит от типа граничного условия. В точке x = 0 задано граничное условие 1-го рода, поэтому функции ϕ (x)и ψ (x ) продолжаются на отрицательную ось нечетно относительно точкиx = 0 .

В точке x = l задано граничное условие 2-го рода, и продолжение на~~полуось x ≥ l будет четным относительно точки x = l . Функции F ( x) и Ф( x)имеют период 4l . Решение задачи периодично по переменной t с периодом4l.aЗадача 8.4.utt − a 2u xx = 0, 0 < x < l , t > 0,u t = 0 = ϕ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,(8.24)(8.25)ut t = 0 = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ,(8.26)ux(8.27)x =0= 0, t ≥ 0,= 0, t ≥ 0 .(8.28)Граничные условия и в точке x = 0 и в точке x = l — однородные 2-го рода.Функции ϕ (x ) и ψ (x ) продолжаются относительно точек x = 0, x = l четно.~~Получившиеся функции F ( x) и Ф( x) буду периодическими с периодом 2l .uxx =lРешение (8.1) в общем случае не является функцией периодической по переменной t . Преобразования, аналогичные (8.10)–(8.12) приводят к результату2l2lu ( x, t + ) = u ( x, t ) + ∫ψ (ξ )dξ ,aa051(8.29)2ll~так как ∫ F (ξ ) dξ = 4 ∫ψ (ξ ) dξ .− 2l0Из соотношения (8.29) следует, чтоltи ( x, t ) = u~ ( x, t ) + ∫ψ (ξ )dξ ,l0~ ( x, t ) является периодической по переменной t с периодом 2l .где функция uaЗадача 8.5.

Решить задачу о колебании струны 0 < x < 1 с жестко закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму синусоиды ϕ ( x) = sin πx .Соответствующая начально-краевая задача имеет вид:utt − u xx = 0, 0 < x < 1, t > 0,u t = 0 = A sin 2πx, 0 ≤ x ≤ 1,(8.30)(8.31)ut t = 0 = 0, 0 ≤ x ≤ 1,(8.32)u x = 0 = 0, t ≥ 0,(8.33)u x =1 = 0, t ≥ 0 .~(8.34)Это частный случай задачи 8.1. Для нахождения функции Ф( x) будем использовать ее свойства, приведенные в задаче 8.1.