Практический курс физики. Квантовая физика. Элементы физики твёрдого тела и ядерной физики, страница 7

Действие оператора наQ̂Ψ . Например, операторкоординаты равен самой координате: x̂ = x . Его действие сводится кумножению на соответствующую координату. То же для любойrrˆ (r ) = ϕ(r ) . Оператор проекции импульсафункции координат: ϕ෕෕Ψp̂ x = − i h ;p̂ x Ψ = − i h.෕x෕x෕෕p̂ z = − i h .Аналогичноp̂ y = − i h ;෕y෕zОператоры связаны между собой такими же соотношениями, каксоответствующие величины в классической механике. Например,⎛ ෕2෕2෕2 ⎞p̂ 2 = p̂ 2x + p̂ 2y + p̂ 2z = − h 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = − h 2 Δ .෕y෕z ⎠⎝ ෕xфункциюзаписываетсякакумножениеh2p̂ 2Оператор кинетической энергии T̂ = = − Δ .2m2mполной энергии называется гамильтонианом и имеет вид:h2Ĥ = T̂ + Û = −Δ +U2mОператор(2.14)Пусть при действии оператора на функцию получается та жефункция, умноженная на число:Q̂ϕ = q ⋅ ϕ(2.15)40В этом случае φ называют собственной функцией, а q –собственным значением оператора Q̂ .

Совокупность собственныхзначений (спектр) может быть как непрерывной, так и дискретной.При измерении динамической величины Q могут получатьсятолько такие значения, которые являются собственными значениямиоператора Q̂ . Если волновая функция частицы Ψ является одной изсобственных функций оператора Q̂ , то при измерениях физическойвеличины Q всегда будет получаться число q, являющеесясобственным значением оператора Q̂ , соответствующим собственнойфункции Ψ. В этом случае динамическая величина Q являетсяопределенной.Если же волновая функция не является собственной функциейоператора Q̂ , то при измерении величины Q будут получаться разныезначения q из спектра собственных значений оператора.

В состояниис такой волновой функцией величина Q оказывается неопределенной.Среднее значение величины Q находится по формуле:< Q >= ෾Ψ *Q̂ΨdV(2.16)Ĥ Ψ = E ⋅ Ψ(2.17)В (2.16) волновая функция должна быть нормирована к единице;интегрирование проводится по всему пространству.Отметим, что с учетом (2.14) уравнение Шредингера (2.13)является уравнением на собственные функции и собственныезначения оператора энергии:Примеры решения задачЗадача 2.1. Найти длину волны де Бройля: 1) электрона, летящегосо скоростью 106м/с , 2) атома водорода, движущегося со скоростью,равной средней квадратичнойскорости при температуре 300К, 3)-3шарика массой 10 кг, движущегося со скоростью 0,1 м/с. В каком изэтих случаев необходимо учитывать волновые свойства частицы?РешениеДля определения длины волны воспользуемся формулой деhh.Бройля (2.4)λ= =pОценим для электрона (v<< с )mv6,62 ⋅ 10 −34= 7,3 ⋅ 10 −10 м .λе =− 3169,1⋅ 10 ⋅ 1041Для водородаv = vкв,значение vкв найдем из формулыгде3kT,mнформулу:v кв =k=1,38·10-23Дж/К.

Получим следующую расчетнуюhh6,62 ⋅ 10 −34λн ==== 1,45 ⋅ 10 −10 м−23−27mн v3km н T3 ⋅ 1,38 ⋅ 10⋅ 1,67 ⋅ 10⋅ 300Для шарика λ ш = h = 6,62 −⋅ 103m vш10−34⋅ 0,1= 6,62 ⋅ 10 −32 мВолновые свойства частиц можно обнаружить в опытах подифракции. Явление дифракции наблюдается, если длина волнысоизмерима с размерами препятствия. Обнаружить дифракцию волн,связанных с движением шарика, невозможно. Шарик являетсямакрочастицей, и его движение описывается законами классическоймеханики.Задача 2.2. На грань кристалла никеля падает пучок электронов.Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когдаэтот угол становится равным 64º, наблюдается максимальноеотражение электронов, соответствующее максимуму первого порядка.Приняв расстояние между атомными плоскостями равным 0,2 нм,определить длину волны де Бройля электронов и их скорость.РешениеСогласно условию Вульфа–Брегга, появление дифракционныхмаксимумов определяется соотношением 2d ⋅ sin θ = kλ .Отсюда λ = 0,36 нм .

Скорость электронов v можно определить изформулы де Бройля v = h / me λ = 2 ⋅ 10 6 м / с .Найти связь между длиной волны де Бройля дляэлектрона и длиной круговой электронной орбиты, на которойэлектрон движется в атоме водорода, согласно модели атома Бора.РешениеИз теории Бора известно, что стационарной орбите соответствуетm υn ⋅ rn = n h(1)соотношениегде n = 1, 2, 3…. Волна де Бройля определяется соотношениемЗадача2.3.λ=hh=p mυ(2)Из (2) определяем импульс частицы m υ = h / λ и его значениеnλ,откуда следует, чтоподставляем в (1). Получим, чтоrn =2πна длине стационарной круговой орбиты должно укладываться целоечисло длин волн де Бройля:2 π ⋅ rn = n ⋅ λ .42Задача2.4. Коротковолновая граница сплошного (тормозного)рентгеновского спектра при заданном напряжении на рентгеновскойтрубке λ k = 10 пм .

Найти длину волны де Бройля электронов,подлетающих к антикатоду.РешениеКак известно, тормозное рентгеновское излучение возникает прибомбардировке быстрыми электронами твердых мишеней. При этомкоротковолновая граница сплошного излучения определяется изhcсоотношения:T== h νk ,гдеλkТ– кинетическая энергия электронов.

Оценим ее:h c 6,62 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 10 8T=== 19,86 ⋅ 10 −14 Дж = 1,24 ⋅ 10 5 эВ .−12λk10 ⋅ 10Как видим, кинетическая энергия электрона, подлетающего кантикатоду, сравнима с энергией покоя электрона m0е с 2 = 5,1⋅ 10 5 эВ ,т.е. имеет место релятивистский случай движения. Длина волны деБройля, для этого случая определяется формулойh⋅c.λ=T ⋅ T + 2 ⋅ m0c 2()2Подставляя сюда значения констант и величин Т и m 0е с , найдемдля искомой длины волны де Бройля значение λ = 3,3 пм .Поток электронов падает на экран с двумя щелями.Пусть А1 – амплитуда волны де Бройля, достигшей точки Р, еслиоткрыта только щель 1, а А2 – амплитуда волны в точке Р, еслиоткрыта только щель 2. Отношение А2/А1=3.

Если открыта толькощель 1, счетчик, расположенный в точке Р, регистрирует 100электронов в секунду. Сколько электронов в секунду будетрегистрировать счетчик, если: а) открыта только щель 2? б) Открытыобе щели и в точке Р наблюдается интерференционный максимум? в)в точке Р – интерференционный минимум?РешениеЧисло частиц, регистрируемых счетчиком, пропорциональновероятности для частицы оказаться в окрестности точки Р, что в своюочередь определяется квадратом амплитудыволны: N = C ⋅ A 2 , где N - число частиц,1регистрируемых счетчиком за одну секунду,С- коэффициент пропорциональности, А –амплитуда волны.2PКогда открыта только щель 1,Задача2.5.43N1 = CA 12 = 100 c −1 .Когдаоткрытатолькощель2,−1N2 === 900 cКогда открыты обе щели, в точке Рпроисходит интерференция двух волн.

В случае интерференционногомаксимумарезультирующаяамплитудаАmax = А1+А2 = 4А1.22−1Nmax = CA max = 16CA 1 = 1600 c . В случае интерференционного2= 4CA 12 = 400 c −1минимума Аmin = А2 - А1 = 2А1. Nmin = CA minCA 229CA 12Задача2.6. Электрон находится в одномерной прямоугольнойпотенциальной яме с непроницаемыми стенками. Ширина ямыl = 10-10 м. С помощью соотношения неопределенностей оценитьминимально возможную энергию электрона.РешениеБудем отсчитывать потенциальную энергию электрона от дна ямы.p2Тогда в пределах ямы U=0.

Полная энергия в этом случае E =,2m eгде mе – масса электрона. Для оценки минимальной энергии запишемсоотношение неопределенностей (2.5) в виде Δx ⋅ Δp x ≈ h / 2 .Неопределенность координаты примем порядка ширины ямы: Δх ≈ l.ТогдаΔp x ≈ h / 2l .С учетом(2.6)(Δp x )2= (p x − p xэлектрон не может покинуть область ямы,(Δp x )2 =px2= p 2 .

Получаем p 2 ≈h24l 2иE≈)2.Посколькуpx = 0 .Отсюдаh2≈ 10 −19 Дж = 1эВ .28l m eЗадача 2.7. Исходя из соотношения неопределенностей, оценитьнаименьшую энергию гармонического осциллятора.РешениеПолная энергия гармонического осциллятора равна:p 2x kx 2+,2m2где m – масса осциллятора, k – коэффициент квазиупругой силы.Частота колебаний ω = k . Таким образом, энергия осциллятораmp 2 mω2 x 2E= x +.2m2Для оценки минимальной энергии запишем соотношение (2.6) вh222виде(x − x ) ⋅ (p x − p x ) ≈ .4E=44Поскольку движение осциллятора симметрично относительноположения равновесия х = 0, имеем x = 0 , p x = 0 . Получаемx2 ปx 2 ⋅ p 2x ≈ h 2 / 4 ;h2.4 p 2xУсредним энергию осциллятора и подставим туда полученноезначение x 2 :E =Найдемp 2x ,d p 2xp 2x =+2mпри которомdEоткудаp2xmω2 x 22≈p2x2m+ω2m h 22 ⋅ 4 p2x.будет минимальноEh 2m ω 21=−= 0,2m 8 p 2 2xhmω2иEmin =hω hω hω+=.442Задача 2.8.

Частица с массойm и энергией E находится в полепотенциального барьера: U = 0 (х ≤ 0), U = U0 (х > 0), причем U0 > Е.С помощью соотношения неопределенностей оценить среднююкинетическую энергию частицы внутри барьера (х > 0). Использоватьзначение эффективной глубины проникновения lэфф, полученное взадаче 2.13.РешениеОбласть х > 0 в случае Е < U0 недоступна для частицы,подчиняющейся классическим законам. В этой области еекинетическая энергия T = E - U0 была бы отрицательна, что лишеносмысла. По квантовой механике Т не является точно определеннойвеличиной; при ее определении будут получаться различныезначения.Для оценки среднего значения кинетической энергии Tвоспользуемсясоотношениемнеопределенностей(x − x )2 ⋅ (p x − p x )2 ุ h 2 / 4 .

В случае Е < U0 происходит полноеотражение от барьера, поэтому в области x > 0 p x = 0 . Примемдля оценки, что неопределенность координаты порядка эффективнойглубины проникновения в область x > 0: (x − x )2 ป l 2 . Тогда изсоотношения неопределенностей получимp 2x ≥h24l 2иT =p 2x2m≥h28ml 2.45Подставив сюда значение эффективной глубины проникновения lэфф,hполученное в задаче 2.13, lэфф =, получимT ุ U0 − E .2 2m(U0 − E )Задача2.9. Найти волновую функцию для свободной частицы,движущейся в положительном направлении оси Х с импульсом р.РешениеПоложим потенциальную энергию частицы U = 0.

Тогда уравнениеШредингера (2.13) запишется в виде:d2 Ψ 2m+EΨ = 0dx 2 h 2Общее решение этого уравнения имеет вид:Ψ = A ⋅ e i k x + B ⋅ e −i k x ,где k = 2mE = p - волновое число. В соответствии с (2.12) волноваяhhфункция частицы равна:Ψ (x, t ) = A ⋅ e−Ψ (x, t ) = A ⋅ e−i(E t − p x )h+B⋅e−i(E t + p x )hПервое слагаемое представляет собой волну де Бройля,распространяющуюся в положительном направлении оси Х, второе –в отрицательном.