Лекция по термодинамике №6 (Лекции по термодинамике), страница 3

при фиксированных температурах источника Т1ихолодильника Т2) и является рассмотренный цикл Карно. Докажем это.Пусть дан произвольный прямой обратимый цикл А-B-C-D. Опишем вокруг негопрямой обратимый цикл Карно a-b-c-d. Изобразим циклы в Ts-диаграмме (рис. 4.12).Рис. 4.12В точке В касания верхней изотермы (Т1=const) к контуру произвольного цикла АB-C-D будет наивысшая температура цикла - Т1, а в точке D, где касается наинизшаяизотерма c-d (Т2=const), будет наименьшая температура Т2.Следовательно, и цикл Карно a-b-c-d, и взятый произвольный обратимый циклсовершаются в одном и том же интервале температур (Т1-Т2).Для цикла Карно имеемη tк = 1 −q2,q1η tк = 1 −пл . EdcFпл . EabFздесь q1=пл.ЕabF; q2=пл.ЕdcF, отсюдаДля произвольного обратимого цикла А-B-C-D имеемη t A− B −C − D = 1 −q2,q1здесь q1=пл.ЕABСF; q2=пл.ЕADCF.Отсюдаη t A− B −C − D = 1 −Ноизсовместногопл .

EADCF.пл . EABCFрасположенияцикловвТs- диаграмме видно, чтопл.ЕADCF>пл.ЕdcF; пл.ЕABСF<пл.ЕabF, т.е. (q1)A-B-C-D<(q1)к; (q2)A-B-C-D> (q2)к .В цикле А-B-C-D от источника подводится тепла q1 меньше, а в холодильникотдается тепла q2 больше, чем в цикле Карно. Следовательно,ηt > ηtkABCD.Итак, при работе двигателей между двумя заданными температурными уровняминаибольшим термическим КПД будет обладать двигатель, работающий по идеальномуциклу Карно.Следовательно, цикл Карно дает возможность подсчитать тот максимальныйэкономический эффект, который вообще может быть достигнут в тепловом двигателепри заданных температурных условиях (заданных Т1 и Т2).Особенности цикла Карно1.

Цикл Карно - это идеальный цикл, состоящий из обратимых термодинамическихпроцессов, неосуществимых на практике. Следовательно, цикл Карно практическинеосуществим.2. Если бы даже цикл Карно можно было бы осуществить на практике, товследствие его специфики он развивал бы столь малую полезную результирующуюработу, что ее вряд ли хватило бы для преодоления собственного трения в механизмедвигателя.Это объясняется тем, что наклон линий изотермического (n = 1) и адиабатного(n = к )процессов в pυ- диаграмме мало отличаются, поэтому результирующая работацикла Карно получается весьма малой (рис. 4.13).Рис.

4.13Рис. 4.14Обратный цикл КарноПредставим, что цикл Карно с 1 кг идеального газа совершается в обратномнаправлении. Сначала идет адиабатное расширение газа по процессу a-d, в результатечего температура газа понизится от Т1 до Т2, затем изотермическое расширение газа d-cпри Т2= const и т. д. (рис. 4.14).В результате совершения обратного цикла Карно происходит переход тепла отхолодного тела с температурой Т2 к горячему телу с температурой Т1. Это удаетсяосуществить только благодаря затрате работы (результирующая работа обратного циклаотрицательна).Изложенное позволяет сформулировать второй закон термодинамики в следующемвиде: переход теплоты от источника с низшей температурой к источнику с высшейтемпературой невозможен без затраты механической работы. Это и позволило Клаузиусусформулировать второй закон термодинамики в виде следующего положения:«Теплота сама собой никогда не переходит (без компенсации) с холодного тела наболее горячее, тогда как обратный переход протекает самопроизвольно».5.

Энтропия и ее изменение в обратимых циклахПри исследовании условий превращения тепла в работу Клаузиусом была созданаматематическая обработка основных положений второго закона термодинамики путемвведения в термодинамику специальной математической функции, названной имэнтропией.Энтропия помогла вскрыть специфичность теплоты при превращении ее в работу ипозволила представить второй закон термодинамики как глубокий физический закон,указывающий на направление всех естественных процессов. Представление оматематическом выражении для энтропии можно получить на примере цикла Карно.

Вобщем случае для любого обратимого цикла Карно с любым рабочим телом справедливоследующее соотношение:η tк = 1 −q2T qqT qq q=1− 2 ; 2 = 2 ; 1 = 2 ; 1 − 2 = 0.q1T1 q1 T1 T1 T2 T1 T 2До сих пор мы обращались с величинами q1 и q2, как с абсолютными величинами, иразличия между подводимым и отводимым теплом не делали. Теперьусловимсясчитать подводимое тепло положительным (+q1), а отводимое - отрицательным (-q2).Тогда с учетом собственного знака у q2 получимq1 q 2+=0T1 T2q∑TилиОтношение=0(5.1)(5.2)qназывается приведенной теплотой. Итак алгебраическая суммаTприведенных теплот в цикле Карно равна нулю. Легко показать, что подобноевыражение будет справедливым и для любого обратимого цикла.Возьмем любой произвольный обратимый цикл и изобразим его в pυ- координатах(рис.

5.1). Условно будем полагать, что точки 1 и 2 являются крайними точками, вкоторых подвод тепла меняется на отвод тепла от рабочего тела.Рис. 5.1Рис. 5.2Рассечем рассматриваемый цикл бесконечно близкими адиабатами на рядэлементарныхциклов.Рассмотримодинизэлементарных циклов (рис. 5.2). Сточностью до бесконечно малых величин заменим участок цикла a-b изотермическимрасширением ( T1/ =const), а участок c-d изотермическим сжатием ( T2/ =const), т.е. сточностью до бесконечно малых величин заменим взятый элементарный циклэлементарным циклом Карно.Для полученного элементарного цикла Карно согласно (5.2) будет справедливоуравнениеΔ q1/ Δ q 2/+ / = 0.T1 /T2Совершенно аналогично для второго элементарного цикла можем написатьΔ q1// Δ q 2//+ // = 0T1 //T2и т.

д.Для z-го элементарного цикла будем иметьΔ q1( z ) Δ q 2( z )+ (z) = 0 .T1 ( z )T2Для суммы этих элементарных циклов, образующих зубчатый контур из zэлементарных циклов, получим следующее уравнение:z∑1z ΔqΔ q12+∑= 0.1T1T2В случае если z→∞, зубчатый контур сольется с контуром взятого произвольногоцикла, и вышеизложенное уравнение примет видdq 1 1 dq 2+∫= 0.∫1 T2 T122(5.3)Полученное выражение справедливо для любого обратимого цикла.Следует обратить внимание на то, что во всех полученных выше соотношенияхзначения Т есть температуры источника и холодильника. Однако для всех обратимыхпроцессов, у которых между рабочим телом и источником тепла существует бесконечномалая разность температур, эти значения температуры определяют и температурурабочего тела в соответствующие моменты цикла.Итак, в целом для всего цикла (для всего контура) может быть полученоследующее выражение:dq∫T= 0.(5.4)Этот интеграл был получен Клаузиусом в 1854 г.

и представляет собойматематическую трактовку второго закона термодинамики, пригодную для любогообратимого цикла.Поскольку интеграл по замкнутому контуру от подынтегральной функции равеннулю, то, следовательно, выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собойфункцию, которая зависит только от данного состояния системы и не зависит от пути, покоторому шел процесс.Следовательно, эта функция есть функция состояния. Обозначим эту новуюфункцию состояния буквой S. Тогдаds =dq,T(5.5)ds - полный дифференциал.Известно, что dq не является полным дифференциалом, так как тепло q являетсяфункцией процесса. Однако при делении неполного дифференциала dq(δq) наабсолютную температуру Т, которая по уравнению состояния является функцией p и υ,получается полный дифференциал ds =dq.TСледовательно, абсолютная температура является интегрирующим делителем,который неполный дифференциал dq(δq) превращает в полный ds.В интегральном виде величина s определится как2dq.1 T2Δs = ∫ ds = ∫1(5.6)Итак, существует некоторая термодинамическая функция состояния системы s,полный дифференциал которой равен отношению бесконечно малого количества теплаdq к температуре Т, при которой это тепло сообщается; s - тепловая координатасостояния, новый термодинамический параметр состояния.

Эта математическая функцияs получила у Клаузиуса название энтропии, что в переводе с греческого означает«превращение в себя». Таким образом, для любого обратимого циклаdq∫T∫ ds = 0 .= 0;Это и есть наиболее краткая математическая формулировка второго законатермодинамики. В любом обратимом цикле изменение энтропии равно нулю.Уравнениеdq∫T= 0 можно трактовать и значительно шире.

Это уравнениехарактеризует изменение данной функции s не только у рабочего тела, но иодновременно у источника тепла и холодильника.Представим выражение (5.4) в виде суммы двух интегралов:∫dq 2 dq 1 1 dq 2=∫+∫= 0.1 T2 TT12(5.7)Первый интеграл представляет собой изменение энтропии источника, так каксодержит тепловые характеристики источника (отданное тепло q1 и температуру Т1):2Δ s ист .

= ∫1dq 1.T1(5.8)Эта функция для прямого цикла - убывающая.Второй интеграл представляет собой изменение энтропии холодильника, т.к.содержит тепловые характеристики холодильника (полученное тепло q2 и температуруТ2):1Δ s хол . = ∫2dq 2.T2(5.9)Эта функция - возрастающая для прямого цикла.Изменение энтропии рабочего тела в цикле равно нулю ΔsTPT=0, т.к.

энтропия функция состояния, а ТРТ в цикле возвращается в исходное состояние.Таким образом, на основании всего вышеизложенного можно утверждать, что дляобратимого цикла не только изменение энтропии рабочего тела равно нулю, но такжеимеется полная компенсация изменений энтропии у всех частей системы, принимавшихучастие в процессе, т.е. у источника тепла и холодильника.Δsист+Δsхол. =0.Энтропия обладает свойствами аддитивности, т.е. изменение энтропии всейсистемыравна суммеизменений энтропии отдельных ее частей (источника,холодильника, ТРТ).Δsсист = ΔsТРТ + Δsист + Δs хол = 0 .6. Изменение энтропии в незамкнутом обратимом процессеПусть точка 1определяет начальное состояние системы с начальным значениемэнтропии S1, а точка 2 - конечное состояние системы с конечным значением энтропии S2.Между этими состояниями протекают незамкнутые обратимые процессы (рис. 5.3).Рис.

5.3Изменение энтропии в процессе a будет равно⎛ dq ⎞∫ ⎜ ⎟ = Δs a .1 ⎝ T ⎠a2Изменение энтропии в процессе b будет⎛ dq ⎞∫ ⎜ ⎟ = Δsb .1 ⎝ T ⎠b2Для всего цикла 1-a-2-b изменение энтропии равно нулю. Согласно (5.4)dq∫ T =0или∫1dq 2 ⎛ dq ⎞⎛ dq ⎞= ∫⎜⎟ = 0,⎟ + ∫⎜1 ⎝ T ⎠a2 ⎝ T ⎠bTили, меняя пределы, получаем∫2dq 2 ⎛ dq ⎞⎛ dq ⎞−= ∫⎜⎟ = Δ s a − Δ s b = 0 ; Δsа =Δsb.⎟∫⎜1 ⎝ T ⎠a1 ⎝ T ⎠bTОбобщаяполученныйрезультат,мыможемутверждать,чтовлюбомнезамкнутом обратимом термодинамическом процессеdq 2= ∫ ds = s 2 − s1 .∫1 T12Для элементарного обратимого термодинамического процессаds =dq.T(5.10)Для элементарного обратимого процесса температура одновременно являетсяоценкой как теплового состояния рабочего тела, так и источника тепла; +dq элементарное тепло, воспринимаемое рабочим телом; -dq - элементарное тепло,отдаваемое источником рабочему телу.Относя в рассматриваемом примере dq и Т к рабочему телу, будем иметьвыражение2Δ s TPT = ∫(+ dq ) = sT12− s1 ,представляющее собой увеличение энтропии ТРТ.Понимая dq и Т, отнесенными к источнику тепла, получаем интеграл2Δ s ист = ∫(− dq ) = − (sT12− s1 ) ,представляющий собой уменьшение энтропии источника.Итак, при протекании незамкнутых обратимых процессов изменение энтропиитеплового источника равно изменению энтропии рабочего тела, но противоположно познаку.ИзменениеэнтропиивсейсистемывданномслучаебудетравноΔsсист = ΔsТРТ + Δsист = 0 .7.

Изменение энтропии в необратимых процессахМатематическая обработка положений второго закона термодинамики дляобратимыхпроцессовприводиткзаключениюосуществованиинекоторойматематической функции, энтропии s, которая является функцией состояния, т.е.изменение которой зависит только от начального и конечного состояния системы и независит от тех процессов, которые происходили в этой системе2∫1dq= s 2 − s1 .TРассмотрим теперь случай, когда в системе совершаются необратимые процессы.Пусть термодинамическая система перешла из состояния 1 в состояние 2 реальнымнеобратимым процессом (рис.