Митрохин В.Н. Электродинамические свойства материальных сред (2006), страница 3

С этой целью запишемуравнение движения свободного электрона в проводнике с учетомего рассеяния на препятствиях. Как отмечалось выше, такими препятствиями, тормозящими движение свободного электрона, являются различные дефекты кристаллической решетки, включая хаотические тепловые колебания ее атомов, примеси и т.д.

Всепроцессы торможения электрона будем учитывать путем введениянекоторой действующей на него «силы трения», пропорциональной его скорости. В результате уравнение движения с учетом действия электрического поля запишется в видеmd 2rdt2+ mγdr= eE,dtгде m, е – масса и заряд электрона; t – время; γ – феноменологический параметр, характеризующий «трение».Из этого уравнения с учетом d/dt ≡ iω можно найти скоростьэлектронаv=dr e 1=E.dt m γ + iωСледует напомнить, что это есть фактически средняя скоростьдвижения электрона в материальной среде в направлении поля(так называемая дрейфовая скорость с учетом «силы трения»).Подставляя ее в формулу (2.2), вместо vc получаем искомую среднюю плотность токаjмк = Nev =14Ne 2 1E.mγ 1 + i ωγКоэффициент при напряженности электрического поля Е естькомплексная удельная проводимостьσ =Ne 2 1.mγ 1 + i ωγ(2.12)Для выяснения физического смысла параметра γ рассмотримчастный случай напряженности постоянного поля Е при ω = 0,тогдаσ ≡ σ 0 =Ne 2.mγС другой стороны, из электронной теории нам известно, чтостатическая удельная проводимость в соответствии с выражением (2.3)σ0 =e2Nτ,mгде τ – время между двумя последовательными соударениямиэлектрона, или время свободного пробега, т.

е. γ = 1/τ – частотатаких соударений.Таким образом, комплексная проводимость с учетом значенияσ0 принимает видσ =σ0σ0≡.1 + iωτ 1 + i ωγ(2.13)Выделяя действительную и мнимую части в (2.13), получаем сучетом (2.7)σ=σ01+ (ωτ)2≡σ0 ω1+  γ2, χ э =−σ0τσ1≡− 02ε 0 1+ (ωτ)ε0γ1 ω1+  γ2. (2.14)15С помощью соотношений (2.11) для величин ε′ и ε′′ можно теперь записать действительную и мнимую части диэлектрическойпроницаемости:ε′ = 1 −σ0γ1;2ε 0 γ + ω2ε′′ =σ0γγ.2ε 0ω γ + ω 2(2.15)Формулы (2.15) представляют собой вклад в диэлектрическуюпроницаемость, обусловленный свободными носителями заряда –электронами проводимости. В случае полупроводников дополнительно к этому следует учитывать вклад, обусловленный связанными зарядами – упругими или жесткими электрическими диполями. То есть необходимо добавить к величине χэ эффективнуюдиэлектрическую восприимчивость χ ээф , соответствующую связанным зарядам, или мы должны заменить в первом уравнении(2.15) единицу на эффективную диэлектрическую проницаемостьεэф = 1 + χ ээф , обусловленную связанными зарядами.

При этом мыпредполагаем, что вклад в поглощение, обусловленный связанными зарядами, пренебрежимо мал по сравнению с вкладом, которыйвносят свободные электроны, вследствие чего вторая формула в(2.15) остается неизменной. В результате первая формула в (2.15)приобретает более общий вид:ε ′ = ε эф −σ0γ1.2ε 0 γ + ω2(2.16)Что касается полупроводников, то их удельная проводимость(даже для одного и того же полупроводника при различной концентрации примесей) может изменяться в широких пределах. К тому жеоказывается, что с понижением температуры величина σ0 очень резко(экспоненциально) уменьшается.

Последнее связано с тем, что с понижением температуры обычно в полупроводнике экспоненциальноуменьшается число свободных носителей заряда – электронов илидырок. Поэтому для полупроводников наряду с проводимостью σ0широко используется другая характеристика носителей тока – подвижность.По определению подвижность электронов (дырок) u есть ихсредняя дрейфовая скорость (по абсолютной величине), приобре16таемая в поле, т. е. u = |v| / |E|, где v – скорость, входящая в плотность тока jмк = Nev = σ0E.

Отсюда получаем следующее соотношение между проводимостью и подвижностью: σ0 = N|e|u, а сама подвижность с учетом ранее полученной формулы для σ0 равнаu = |e|τ/m.2.2.2. Плоская однородная монохроматическая волнав неограниченной проводящей средеРассмотрим распространение плоской однородной монохроматической волны в безграничной однородной линейной проводящейсреде. Если совместить направление распространения волны с одной из осей декартовой системы координат (например, с осью z),то векторы Е и Н будут зависеть от одной пространственной коор )], здесьдинаты и времени, в частности E = E 0 exp[i (ω − kzk = β − iα – постоянная распространения плоской волны; где β –фазовая постоянная, характеризующая скорость изменения фазыпри распространении волны; α – постоянная затухания, характеризующая скорость убывания амплитуды плоской волны.Определим постоянную затухания α и фазовую постояннуюβ через параметры среды: k = ω ε a µ a = ω (ε′a − iε′′a )(µ′a − iµ′′a ) == k (ε′ − iε′′)(µ′ − iµ′′).

Левую и правую части этих выражений воз-ведем в квадрат. Приравняем действительные и мнимые части иполучимβ 2 − α 2 = k 2 (ε ′µ ′ − ε ′′µ ′′); 2βα = k 2 (ε ′µ ′′ + ε ′′µ ′).(2.17)Здесь k = ω ε 0µ 0 – волновое число свободного пространства спараметрами ε0, µ0. Решая уравнения (2.17) относительно α и β(при условии, что для металлов µ ′ = 1, µ ′′ = 0 ), получаем()()β = k 0,5 ε′ + ε′ 2 + ε′′ 2 ; α = k 0,5 −ε′ + ε′ 2 + ε′′ 2 .

(2.18)Дальнейшее рассмотрение проведем отдельно по различнымобластям изменения частоты, т. е. для низких и высоких частот.17Низкие частоты – область классического поглощения: ωτ << 1.В этой области частотε′ = ε эф −σ0σ; ε′′ = 0 .ε0γε 0ω(2.19)Для металлов вклад электронов в диэлектрическую проницаемость обычно велик по сравнению с εэф, т. е.σ0>> ε эф .ε0γ(2.20)В этом случае ε′ < 0, а ε′ << ε ′′ , тогда приближенные значения для β и α будут равны:β=α=ωµ 0 σ 0.2(2.21)Комплексная постоянная распространения имеет видωµ 0 σ 01k =(1 − i) = (1 − i),2d(2.22)2.µ 0 ωσ 0Таким образом, напряженность электрического поля, распространяющегося на расстоянии порядка d, равна: Е = y0E0 exp(–z/d),где y0 – орт по координате y.

Это означает, что при паденииэлектромагнитного поля на поверхность проводника оно проникает в него лишь на глубину d. Величина d называется эффективной глубиной проникновения поля, или толщиной скин-слоя,а само явление – скин-эффектом.Заметим, что соотношение (2.20) и все последующие формулыдля полупроводников справедливы только при достаточно высокойпроводимости (достаточно высокой концентрации носителей тока).Для полупроводников со средней и низкой проводимостью вобласти частот ωτ << 1 может иметь место другой случай, когдагде d =18ε′′ =σ0σ0<< ε эф .

Тогда, согласно< ε эф , а следовательно,ε0γε 0ω(2.18), фазовая постоянная β ≈ k ε эф , может быть обусловленатолько связанными электронами, а коэффициент затуханияε′′ 2   60πσ 0α = k 0,5  −ε′ + ε′  1 +– только свободными элек2  = εэф 2ε′  тронами. Эффективная глубина проникновения поля при этомε эфи не зависит от частоты, но сильно зависит от темпеd′ =60πσ 0ратуры (через проводимость σ0).Рассмотрим случай высоких частот: ω >> γ.Если совсем пренебречь величиной γ, то, полагая в (2.17) γ = 0, с уче ω∗р2 том (2.16) получаем β 2 − α 2 = k 2 ε′ = k 2 ε эф 1− 2 , 2βα = k 2 ε′′ = 0, где ω ω∗р =σ0 γε 0 ε эф(2.23)представляет собой важную граничную частоту, при которой диэлектрическая проницаемость меняет знак: ε = −α 2 k 2 < 0 при ω < ω∗p ;ε = β 2 /k 2 > 0 при ω > ω∗p .

Ниже этой граничной частоты комплекснаяпостоянная распространения является чисто мнимой величиной (таккак β = 0), и, таким образом, волны не распространяются в глубь проводника. Наоборот, выше граничной частоты постоянная распространения – чисто вещественная величина, так как α = 0, и проводник(даже металл!) становится прозрачным для электромагнитных волн.Граничная частота ω∗р носит название плазменной частоты.Следует заметить, что оценка плазменной частоты (2.23) дляметаллов дает значение ω∗р ≈ 1015…1016 Гц, что соответствуетультрафиолетовому и мягкому рентгеновскому излучениям. В частности, для меди ω∗р = 2⋅1016 Гц.19Для металлов иногда выделяют так называемую промежуточнуюобласть частот, которая определяется неравенствами γ << ω << ω∗р .В этом случае формулу (2.17) можно переписать в виде222β − α ≈ − k ε эфω∗р2∗2γ ωрα≈;2βε.kэфω ω2ω22Решение этих уравнений даетα = k ε эфω*p*1 k ε эф γ ω p; β=.2 ωωωСледовательно, волна затухает на расстоянии rl = ω/(k ε эф ω*p ) == c /( ε эф ω*p ), где c =1/ ε 0µ 0 – скорость света в вакууме.

Длинаrl носит название радиуса ленгмюровской экранировки. Соответственно плазменную частоту ωр иногда называют ленгмюровскойчастотой.2.2.3. Аномальный скин-эффектДо сих пор мы предполагали, что в проводящей среде существует локальная связь между током и полемj(r) = σE(r),(2.24)т. е. мы пренебрегали пространственной дисперсией. В связи сэтим необходимо установить, соотношением каких характерныхпараметров (относящихся к среде и к электромагнитному полю)определяется роль пространственной дисперсии. Для проводящейсреды таким характерным параметром является средняя длинасвободного пробега электрона lср = τv , где v – средняя скоростьдвижения электрона за время свободного пробега τ.

Параметром,характеризующим неоднородность поля, является эффективнаяглубина его проникновения d, которая в области классическогопоглощения определяется формулой (2.22).20Нетрудно понять, что приближение локальной связи (2.24) оправдано тогда, когда на длине свободного пробега lср электрическое поле можно считать однородным. Последнее имеет место приусловииd >> lср.(2.25)Это есть условие так называемого нормального скин-эффекта, которое фактически неявно принималось нами ранее. Для металловсредняя скорость электронов v ≈ 108 см/с, и поэтому, например длямеди, при комнатных температурах в области СВЧ-поля (ω ≈ 1011 Гц),когда d ≈ 5⋅10–5см и lср = 108⋅2⋅10–14 = 2⋅10–6см, условие (2.25) действительно выполняется.