Митрохин В.Н. Электродинамические свойства материальных сред (2006), страница 2

В результате насмену уравнениям Максвелла–Лоренца приходят макроскопиче7ские (усредненные) уравнения Максвелла, а на смену уравненийдвижения (1.10) – дополняющие их материальные уравнения.4. Переход от уравнений Максвелла–Лоренца осуществляетсяпутем усреднения первых по так называемым физически бесконечно малому объему ∆V и физически бесконечно малому интервалу времени ∆t.Важным требованием при выборе физически бесконечно малыхобъема ∆V и интервала времени ∆t являются условия, небольшие ихизменения в которых (например, в пределах порядка величины) неприводят к изменению средних величин. Если выполнить усреднение,отождествляя средние микроскопические поля с макроскопическими,B мк = B, в результате приходим к уравнениямт.

е. E мк = E,rotE =−∂B∂E1; rotB = ε 0µ 0+µ 0 jмк ; divЕ =ρ мк , divB = 0, (1.11)∂t∂tε0представляющим собой наиболее общую форму макроскопическихуравнений Максвелла, получающихся путем усреднения микроскопических уравнений Максвелла–Лоренца. Используя эти уравнения, во многих случаях электродинамические задачи фактическиможно свести к нахождению лишь средней плотности микроскопического тока jмк , поскольку средняя плотность заряда ρ мксвязана с ней уравнением непрерывности∂ ρ мк∂t+ div jмк = 0.(1.12)На основе тех или иных конкретных микроскопических моделейвещества можно вычислить явные зависимости средних значенийjмк и ρ мк от макроскопических полей В и Е, и эти зависимостибудут играть роль материальных уравнений, дополняющих уравнения (1.11) до полной самосогласованной системы.2.

ПРОВОДНИКИПроводниками электрического тока могут быть твердые тела,жидкости, а при соответствующих условиях и газы. Твердыми проводниками являются металлы. К жидким проводникам относятся8расплавленные металлы и различные электролиты. Как правило, температура плавления металлов высока (за исключением ртути, у которой она составляет около –39 ºС). Другие металлы являются жидкимипроводниками при более высоких температурах.2.1.

Электродинамические характеристикипроводящей среды в постоянном полеВ соответствии с классической электронной теорией металловтвердый проводник является системой, состоящей из узлов кристаллической ионной решетки, внутри которой находится электронный газ из свободных электронов.При столкновениях электронов с узлами кристаллической решетки энергия, накопленная при ускорении электронов в электрическом поле, передается металлической основе проводника, вследствие чего он нагревается.Опытом установлено, что теплопроводность металлов пропорциональна их электропроводности. Электронная теория металловобъясняет это так, что при обмене электронов между нагретыми ихолодными частями металла в отсутствие электрического поляосуществляется переход кинетической энергии от нагретых частейпроводника к более холодным.

Такое явление называется теплопроводностью. Так как механизмы электропроводности и теплопроводности обусловливаются плотностью и движением электронного газа, то материалы с высокой электропроводностью будут такжехорошими проводниками теплоты.Вместе с тем электронная теория металлов обладает рядом недостатков. В частности, выявился рядрасхождений с опытными данными. Возникшие трудности удалосьпреодолеть с позиций квантовоймеханики, в соответствии с которой электронный газ в металлахпри обычных температурах находится в состоянии «вырождения».В этом состоянии энергия газа почти не изменяется при измененииТ, Kтемпературы, как это показано нарис. 2.1. Тепловое движение почти Рис.

2.1. Изменение энергии газапри низких температурах:не изменяет энергию электронов.I– область вырожденного газаПоэтому теплота не затрачивается9на нагрев электронного газа, что, в частности, и обнаруживается приизмерениях теплоемкости металлов. В состояние, аналогичное обычным газам, электронный газ приходит при температурах порядка тысяч градусов.Когда потенциал различных областей металла одинаков, свободные электроны находятся в беспорядочном тепловом движении, подобно молекулам идеального газа. Следовательно, к нимприменим закон распределения скоростей Максвелла. Электроныбудут характеризоваться средним свободным пробегом lср. В момент приложения электродвижущей силы (ЭДС) под влияниемвозникшего электрического поля на хаотическое тепловое движение накладывается упорядоченное движение по направлениюэлектрического поля.

Это направленное движение электронов сопровождается множеством их столкновений с ионами металлической решетки. Предполагается, что электроны, ускоренные электрическим полем, движутся как бы между молекулами некоторогогаза. Пренебрегая хаотичностью теплового движения, допустим,что все электроны имеют одну и ту же скорость и один и тот жесвободный пробег lср (т. е. что пути, пройденные между двумястолкновениями, одинаковы).

Время τ между двумя столкновениями задается соотношением τ = lср/vt, где vt – модуль скороститеплового движения электронов. Это соотношение справедливо дотех пор, пока скорость движения электронов под действием электрического поля Е очень мала по сравнению с vt.Под действием постоянного электрического поля Е в интервале времени τ электроны получают ускорение eE/m, гдеm ≈ 9,1⋅10–31кг – масса электрона; следовательно, к скорости vtдобавляется скорость vс, задаваемая соотношением vс = eEt/m.Средняя величина vс равна:vc =eEeEτ=l ср.mvt m(2.1)Так как при обычной температуре эта скорость мала по сравнению с vt ( vc « vt), допускают, что она не меняет закон распределения скоростей. В то же время именно скорость vc , обусловленная действием поля, определяет перенос электрических зарядов.Предположим, что число свободных электронов в единицеобъема металла равно N, и найдем следующее выражение длясредней плотности электрического тока:10j = Nev c =e 2 Nlср Emvt.(2.2)Сравнивая выражение (2.2) с законом Ома в дифференциальной форме j = σE, для удельной проводимости σ0 записываемσ0 =e 2 Nlсрmvt=e2Nτ.m(2.3)Применяя к электронному газу закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы из кинетической теории1 2 3mvt = kT , где m – масса электрона,газов, получаем22k = 1,38·10–23 Дж/град – постоянная Больцмана.

Тогда выражение для σ0 можно записать в виде:σ0 =e 2 Nlср3kmT,(2.4)откуда следует закон изменения удельной проводимости в зависимости от температуры.Удельное сопротивление металлического проводникаρ0 =13kmT= 2.σ 0 e Nlср(2.5)Для разных проводников концентрации свободных электронов N различаются незначительно. Так, для меди и никеля этаразница составляет менее 10 %. Поэтому значение удельного сопротивления в основном зависит от средней длины свободногопробега электрона в данном проводнике, которая, в свою очередь, зависит от строения проводника и его структуры.

Все чистые металлы с наиболее правильной кристаллической решеткойхарактеризуются наименьшими значениями удельного сопротивления; примеси, искажая кристаллическую решетку, приводят к11его увеличению. С повышением температуры концентрация свободных носителей остается неизменной, однако средняя длинасвободного пробега растет.Типичная кривая измененияудельного сопротивления металлическогопроводника(меди) в зависимости оттемпературы представлена нарис. 2.2.

Скачок кривой наэтом рисунке соответствуеттемпературе плавления меди(1083 ºС).Как указывалось выше,примесии нарушения праРис. 2.2. Зависимость удельногосопротивления меди от температуры вильной структуры кристаллической решетки металловведут к увеличению удельного сопротивления проводников. Возрастание ρ0 наблюдается не только при введении в металл неметаллических примесей, но и при сплавлении двух металлов, еслиони образуют друг с другом твердый раствор, т. е.

создают приотвердевании совместную кристаллизацию, при которой атомыодного металла входят в кристаллическую решетку другого.При соприкосновении двух различных металлов между нимивозникает разность потенциалов. Причина этого явления заключается в различных значениях работы выхода электронов из металлов, а также в том, что число свободных электронов, а следовательно, и давление электронного газа у разных металлов и сплавовмогут быть неодинаковыми.Контактная разность потенциалов для различных пар металловколеблется от десятых долей вольта до нескольких вольт. Еслизначения температуры спаев одинаковы, то сумма разности потенциалов в замкнутой цепи равна нулю. Иначе обстоит дело, когдаодин из спаев имеет температуру Т1, а другой – Т2.

В этом случаевозникает термоЭДС U = C(T1– T2), т. е. термоЭДС является функцией разности температур.Подобрав два образца, имеющих большую термоЭДС и обладающих линейной зависимостью термоЭДС от температуры,можно воспользоваться устройством (термопара) для измерениятемператур.122.2. Проводники в переменных электромагнитных полях2.2.1. Комплексные удельная проводимостьи диэлектрическая проницаемость проводникаРассмотрим проводящую среду в переменном электрическомполе Е = Е0ехр(iωt), где ω – круговая частота.

Будем считать этусреду немагнитной (т. е. µ = 1, М = 0).Для получения материального уравнения удобно среднююплотность тока jмк представить в виде двух слагаемых: плотности тока проводимости (см. (1.11)) jпров = σЕ и плотности тока поляризации (см.

(1.6)) jпол = ∂P/∂t = iωε0χэЕ. Тогда уравнение дляполной плотности тока примет формуjмк = jпров + jпол = (σ + iωε0χэ)Е.(2.6)Согласно выражению (2.6) вместо величин σ и χэ можно ввестиодну комплексную функцию – комплексную удельную электрическую проводимостьσ = σ + iωε 0χ э .(2.7)Можно поступить иначе, включив формально ток проводимости в ток поляризации путем введения комплексной диэлектрической восприимчивости χ э , такой, что〈 jмк 〉 = iωε 0 χ э Е.(2.8)Сравнивая (2.6) и (2.8), получаемχ э = χ э − iσ.ε 0ω(2.9)Комплексная диэлектрическая проницаемость при этом запишется в видеε = 1 + χ э = 1 + χ э − iσ= ε′ − iε ′′,ε 0ω(2.10)13с действительной и мнимой частямиε′ = 1 + χ э ;ε′′ =σ.ε 0ω(2.11)Перейдем к выводу комплексной удельной проводимости, учитывая основную особенность проводящей среды – существованиесвободных электронов проводимости.Пренебрегая вкладом связанных электронов и квантовыми эффектами, ограничимся вычислением средней плотности тока наоснове классической электронной теории.