Митрохин В.Н. Электродинамические свойства материальных сред (2006), страница 16

КИРАЛЬНЫЕ СРЕДЫКиральная среда – это совокупность равномерно распределенных в изотропной диэлектрической среде проводящих зеркальноасимметричных элементов. В диапазоне СВЧ при создании и моделировании композитных киральныхсред используются проводящиепроволочные спирали с право- илевовинтовыми закрутками.Киральная среда обладает существеннойпространственнойдисперсией, если расстояние между соседними элементами d соизмеримо с длиной СВЧ-волны λ,а размеры спиралей l гораздоменьше длины волны, т.

е. l << λРис. 9.1. Схематическое изо(рис. 9.1).бражение киральной среды90Для описания киральной среды недостаточно общепринятыхматериальных параметров σ, ε, µ. Вводится дополнительный параметр K, называемый параметром киральности. Заметим, чтоK > 0 для киральной среды на основе правовинтовых спиралей иK < 0 в случае левовинтовых спиралей.Материальные уравнения для киральной среды связывают векторы электрической и магнитной индукций одновременно как снапряженностью электрического, так и с напряженностью магнитного поля, что является следствием своеобразной формы кирального элемента.9.1.

Материальные уравнения киральной средыКиральная среда создается на основе электромагнитных частиц зеркально-асимметричной формы (например, проводящихправо- и левовинтовых спиралей). Такие электромагнитные частицы одновременно представляют собой электрические и магнитные диполи. Кольцевые витки спирали представляют собойэлементарные магнитные диполи, а криволинейные участки между витками – простейшие рассеивающие электрические диполи.Если на проводник падает электромагнитная волна, то продольная компонента электрического поля Ez возбуждает в нем электрический ток, пропорциональный Ez = Ez0 cosωt. При этом дляэлектрического дипольного момента в соответствии с первойформулой соотношений (1.3) можно записать p э = ε0 χ э1E z z 0 , гдеχ э1 – электрическая поляризуемость (электрическая восприимчивость частицы – элемента объема); z 0 – единичный вектор, направленный вдоль проводника.

Аналогично рассматриваем элементарный магнитный диполь – металлическое проволочноекольцо. При этом магнитный дипольный момент определяетсякомпонентой магнитного поля Hz, пронизывающей плоскостькольца: p м = χм1 Н z z 0 , где χм1 – магнитная поляризуемость (магнитная восприимчивость частицы – элемента объема, см. (1.3)).В рассматриваемых случаях электрический дипольный момент создается только электрическим полем Ez, а магнитный –только магнитным полем Hz. Подобная ситуация возникает, когдаматериальная среда состоит из электромагнитных частиц зеркально-симметричной формы.

Примером такой среды является91изотропный естественный диэлектрик, состоящий из зеркальносимметричных атомов.При падении плоской электромагнитной волны линейнойполяризации на киральный элемент (например, на проводящуюспираль) происходит следующее. В области спирали (как и любой неоднородности) поле волны будет иметь в общем случаеобе продольные компоненты Ez и Hz. Тогда продольная (вдольоси спирали) составляющая электрического дипольного момента рэz образуется как компонентой Ez электрического поля, так икомпонентой Hz магнитного поля, пронизывающего кольца спирали и создающего кольцевой ток, имеющий продольную составляющую:pэz = ε 0 (χ э1 E z + χ эм1ZH z ),(9.1)где χэм1 – параметр, называемый электромагнитной поляризуемостью элемента; Z – импеданс среды.Продольная составляющая магнитного дипольного моментаспирали рмz также образуется кольцевым электрическим током,который создается пронизывающим спираль магнитным полем.

Кэтому току добавляется кольцевой ток, который создается электрическим полем, так как ток вдоль оси спирали может течь, только проходя по ее кольцам:pмz = χм1 Н z + χмэ1Z −1Е z ,(9.2)где χмэ1 – параметр, называемый магнитоэлектрической поляризуемостью элемента.Пусть поля изменяются во времени по гармоническому закону, т. е.векторы Е и Н пропорциональны exp(iωt). Переходя к комплекснымамплитудам Е, Н и рэм, перепишем соотношения (9.1), (9.2) так:pэz = ε 0 (χ э1 E z + χ эм1ZH z );(9.3)−1pмz = χм1 Н z + χ мэ1Z Е z .В случае гармонической зависимости полей от времени дляспирали параметры χэм1 и χмэ1 соответственно равны: χэм1 = ∓ iβ и92χмэ1 = ± iβ, где верхний и нижний знаки соответствуют спиралям справой и левой закрутками; β – вещественная положительная величина.

С учетом этих выражений формулы (9.3) принимают следующий вид:pэz = ε 0 (χ э1 E z ∓ iβ ZH z );pмz = χ м1 Н z ± iβ Z −1Е z .(9.4)Векторы поляризации и намагниченности определяются соотношениями (1.2)D = ε0E + P; B = µ0(H + M),где P – комплексная амплитуда вектора поляризации среды; M –комплексная амплитуда вектора намагниченности среды.Полный электрический дипольный момент среды (вектор поляризации) определяется через моменты отдельных электромагнитных частиц, образующих среду:P = рэ N,(9.5)где N – концентрация элементов (число элементов в единице объема).Подставляя в первое соотношение (1.2) выражения (9.5) и (9.4)и усредняя их по объему V, получаемD = ε0 (1 + χ э )Е ∓ iN β Hε 0 ,(9.6)где χ э =< χ э1 N > – электрическая восприимчивость среды.

Поскольку εа = ε0(1 + χэ) = ε0ε, записываемD = ε а E ∓ iK ε 0 ZH,где K = N β – параметр киральности.Полный магнитный дипольный момент среды (вектор намагниченности) определяется через моменты отдельных электромагнитных частиц, образующих среду:M = рмN.(9.7)93Подставляя в выражение B = µ 0 (H + M ) выражения (9.7) и(9.4) и усредняя их по объему V, получаемB = µ 0 (1 + χм )Н ± iN β Eµ 0 Z −1 ,(9.8)где χм =< χм1 N > – магнитная восприимчивость среды. Посколькуµ а = µ 0 (1 + χм ) = µ0µ, можно записать B = µ а H ± iµ 0 Z −1 KE.В результате материальные уравнения для киральной средыимеют видD = ε 0 (εE ∓ iKZH ); B = µ 0 (µH ± iKZ −1E).(9.9)В соотношениях (9.9) верхние знаки соответствуют киральнойсреде на основе спиралей с правой закруткой, а нижние знаки –киральной среде на основе левовинтовых спиралей.Параметр киральности K зависит от числа киральных элементов в единице объема вещества, а именно: чем больше их концентрация, тем больше K.

Физический смысл параметра киральностизаключается в том, что он определяет степень взаимосвязи процессов поляризации и намагничивания в среде. При K = 0 соотношения (9.9) переходят в общеизвестные материальные уравнения длядиэлектрической среды (на основе зеркально-симметричных атомов): D = εаE; B = µаH.9.2.

Распространение электромагнитных волнв киральной средеУравнения Максвелла с учетом материальных уравнений (9.9)для киральной среды из правовинтовых спиралей имеют вид:rotE = ωµ0 (µH + KZ −1E);rotH = ωε0 (εE + KZH ),(9.10)где мнимая единица i вошла в поле Н (Н → i Н).Рассмотрим для простоты случай двумерной киральной средыв предположении отсутствия зависимости полей от координаты z.Расписывая уравнения (9.10) в проекциях на оси декартовой системы координат, получаем с учетом ∂ / ∂z ≡ 094∂H z / ∂y =ωε 0 (εE x + KZH x ); ∂H z / ∂x = − ωε 0 (εE y + KZH y );∂E x / ∂y = ωµ 0 (µH x + KZ −1E x ); ∂E z / ∂x = −ωµ 0 (µH y + KZ −1 E y ).(9.11)Из выражений (9.11) следуют соотношения, устанавливающиесвязь между продольными и поперечными составляющими электромагнитного поля, а с учетом (9.10) для составляющих Еz и Нz получаем связанные дифференциальные уравнения второго порядка:∆ ⊥ Ez + k02 (n 2 + K 2 ) E z + 2 Zk02 K µH z = 0;∆ ⊥ H z + k02 (n 2 + K 2 ) H z + 2Z −1k02 K εE z = 0,(9.12)где ∆ ⊥ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 – оператор Лапласа по поперечным координатам; k0 = ω ε0µ 0 – волновое число вакуума; n = εµ –показатель преломления среды.

Заметим, что при K = 0 уравнения(9.12) перестают быть связанными и переходят в однородныеуравнения Гельмгольца для диэлектрической среды.Для решения системы уравнений (9.12) используется замена видаE z = ER + EL ;H z = ε a / µ a ( ER − EL ).(9.13)В результате замены для неизвестных функций ER и EL получаем путем подстановки (9.13) в (9.12) следующие однородныеуравнения:∆ 2⊥ ER + k02 (n + K ) 2 ER = 0;∆ ⊥2 EL + k02 (n − K ) 2 EL = 0. (9.14)Уравнения (9.14) описывают распространение двух плоскихэлектромагнитных волн с право- и левокруговыми поляризациямии с постоянными распространенияk R = k0 (n + K );k L = k0 (n − K ).(9.15)Для случая диэлектрической среды при K = 0 из соотношений(9.15) следует k R = k L = k0 n, что соответствует распространениюодной плоской волны в безграничной диэлектрической среде сволновым числом k = k0 εµ .95Таким образом, нормальными волнами в киральной среде являются волны с право- и левокруговыми поляризациями, обладающими различными фазовыми скоростями.

Плоские электромагнитные волны линейной поляризации в киральной средераспространяться не могут.Из выражений (9.15) следует, что фазовая скорость волны слевокруговой поляризацией в неограниченной киральной среде,созданной на основе правовинтовых спиралей, всегда больше фазовой скорости волны с правокруговой поляризацией. Если подставить соотношения (9.13) в уравнения Максвелла для киральной среды (9.10), то векторные функции E R = ERx , ERy , ERz и{{}}E L = ELx , ELy , ELz окажутся решениями векторных волновыхуравнений первого порядка∇⊥ E R , L − k R , L E R , L = 0.(9.16)Таким образом, представление электромагнитного поля в киральной среде в виде суперпозиции полей двух волн ER и EL сводит исходную задачу к решению двух векторных дифференциальных уравнений первого порядка. Представляя любое поле Е, Н вкиральной среде в виде суммы двух полей с противоположнымикруговыми поляризациями, т.

е.Е = ER + EL; Н = НR + НL,(9.17)где E R , L = (E ∓ ZH ) / 2; H R , L = (H ± Z −1E) / 2; Z = µ a / ε a , и подставляя (9.17) в материальные уравнения (9.9), получаемD R, L = ε R, L E R, L , B R, L = µ R, L H R , L ,где ε R , L = ε a (1 ± K / n);(9.18)µ R , L = µ a (1 ± K / n).Из соотношений (9.18) следует вывод, что киральная среда дляволны с правокруговой поляризацией обладает материальнымипараметрами εR и µR, а для волны с левокруговой поляризацией –параметрами εL и µL. То есть для волн с право- и с левокруговойполяризацией среда имеет различные показатели преломления.96При падении плоской электромагнитной волны на киральныйслой возникает явление деполяризации (кросс-поляризации).

Этозначит, что при падении на киральный слой плоской электромагнитной волны, например, с перпендикулярной поляризацией, вструктуре поля отраженной волны возникают составляющие поляортогональной (параллельной) поляризации. На рис. 9.2 показанопадение плоской электромагнитной волны на границу раздела«диэлектрик – киральная среда».Рис.

9.2. Падение плоской волны на границу раздела «диэлектрик–киральнаясреда»:ПКП – правокруговая поляризация; ЛКП – левокруговая поляризация9.3. Понятие биизотропной средыМатериальные уравнения (9.9) для киральной среды могутбыть записаны в общем видеD = ε0 (εE + ξ* ZH);B = µ 0 (µH + ξZ −1E),(9.19)где ξ∗ = η ± iK – комплексный параметр, индекс «*» означаеткомплексное сопряжение, η = Re ξ называется параметром невзаимности среды (параметром Теллегена), K = Imξ – параметркиральности.97Среда, моделируемая материальными уравнениями (9.19), состоит из зеркально-несимметричных частиц и, кроме того, является невзаимной.