1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (Задачник Тарг), страница 8

Длксоставления условий равновесия ( 11) проводим координатные оси (см. рис. 30)и вычисляем предварительно проекции всех сил на эти оси, внося их в таблицу:hьp.5.Р*Х0-p .00R t sin a sin фF kv-P i00R i sin aЯ» sin a cos фFu00Ri— R t cos a— R t cos aRtПроекции силы Я> ка'оси х и у определяем т а к , к ак это было ук азан о в начале$ 5 (см.

рис. 19).Теперь, составляя .уравнения Z F Jkx= 0 , £ / * „ = 0 , 2 f * , = 0 ; получим:—si n a sin ф = 0 ,— Яд-1- /? , »1п о + Я » sin а сое ф = 0 ,R i— R t cos а —Я , сое а = 0 .Решая эти уравн ен ия, найдем:Я , = Я ./sln a sin ® , R t = ( P i — P t ctg <p)/stn a ,* i = ( P i + P « tg ф/2) ctg a .И з полученных результатов видно, что при Р , ctg <p>Pt или tg ф < Р , / Р ,ролучается Д , < 0 н реакция R , долж на иметь направление, противополож)гоепоказанному на рисунке, что невозможно, т ак к ак трос не может работать на сж а­тие.

Следовательно, растяж ку A D надо располагать так , чтобы угод ф удовлетво­рял неравенству tg <р>Я»//>1.ГлаваIIIМОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНОЦЕНТРА. ПАРА СИЛf 8. МОМЕНТ СИЛ Ы ОТНОСИТЕЛЬНО Ц Е Н Т РА (И Л И Т О Ч К И )Введем важное понятие о моменте силы относительно точки.Точку, относительно которой берется момент, называют центроммомента, а момент силы относительно этой точки — моментом от­носительно центра. Если под действием приложенной силы телоSIможет совершать вращение вокруг некоторой точки, то момент силыотносительно этой точки будет характеризовать вращательный эф­фект силы.Рассмотрим силу F, приложенную к телу в точке А (рис. 31).Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действияg силы F\ длину h этого перпендикуляра на­зывают плечом силы V относительно центраО.

Момент силы относительно центра О опреде­ляется: 1) модулем момента, равным произве­дению Fh\ 2) положением в пространствеплоскости ОАВ («плоскости поворота»), про­ходящей через центр О и силу F; 3) направ­лением поворота в этой плоскости.Из геометрии известно, что положение плос­кости в пространстве определяется направле­нием нормали (перпендикуляра) к этой плос­кости.

Таким образом, момент силы относительно центра характери­зуется не только его числовым значением, но и направлением в про­странстве, т. е. является величиной векторной.Введем следующее определение: моментом силы F относительноцентра О называется прилолсенный в центре О вектор m0 (F), мо­дуль которого равен произведению модуля F силы на ее плечо h и ко­торый направлен перпендикулярно плоскости, проходящей черезцентр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейсяповернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рис.31). Согласно этому определению\ mo(F) \ = Fh = 2 пл.

Д О Л Я .(13)Последний результат следует из того, что пл. А О А В = А В -Л/2=*=Fhl2. Измеряется момент силы в ньютон-метрах (Н -м).Найдем формулу, выражающую вектор m 0 (F). Д ля этого рас­смотрим векторное произведение ОA х Т векторов ~0А и F. По оп­ределению *,| О А х F | = 2 пл. Д ОАВ = | то (F) |.Направлен вектор O A x F перпендикулярно плоскости ОАВв ту сторону, откуда кратчайшее совмещение ОА с F (если их отло­жить от одной точки) видно происходящим против хода часовойстрелки,.т. е. так же, как вектор m0 (F). Следовательно, векторыОА X F и т 0 (F) совпадают и по модулю, и по направлению, и, как*Векторным произведением а Х Ь векторов а и Ь называется вектор с, равныйпо модулю площади параллелограмм а, построенного на векторах а и Ь, и направ­ленны й перпендикулярно плоскости этих векторов в ту сторону, откуда кратчайшеесовмещение а с Ь видно происходящ им против хода часовой стрелки.

Модуль оопределяется еще равенством c = a b sin а , где а — угол между векторами а и Ь,Е сли векторы а и Ь параллельны , то аХ~В= 0.32легко видеть, по размерности, т. е. выражают одну и ту ж е величи­ну. Отсюдаmo(F) — O A x F или m0(F) = r x F ,(14)где г= О А — радиус-вектор точки А , проведенный из центра О.Таким образом, момент силы F относительно центра О равенвекторному произведению радиуса-вектора г = О А , проведенного изцентра О в точку А , где приложена сила, на саму силу. Этот резуль­тат может служить другим определением понятия о моменте силыотносительно центра.Отметим следующие свойства момента силы: 1) момент силы от­носительно центра не изменяется при переносе точки приложениясилы вдоль ее линии действия; 2) момент силы относительно центраО равен нулю или когда сила равна нулю, или когда линия действиясилы проходит через центр О (плечо равно нулю).f 9.

ПАРА СИЛ. МОМЕНТ П А РЫПарой сил* называется система двух равных по модулю, па­раллельных и направленных в противоположные стороны сил, дей­ствующих на абсолютно твердое тело (рис. 32, а). Система сил F,7 ', образующих пару, очевидно, не находится в равновесии (этисилы не направлены вдоль одной прямой). В то же время пара силне имеет равнодействующей, поскольку, как будет доказано, рав­нодействующая любой системы сил равна_ее главному вектору /?,т. е. сумме этих сил, а для пары R = T + F ' = 0. Поэтому свойствапары сил, как особой меры механического взаимодействия тел,должны быть рассмотрены отдельно.Плоскость, проходящая через линии действия сил пары , назы ­вается плоскостью действия пары.

Р асстоян ие d м еж д у л иниямидействия сил пары называется плечом пары. Действие п ары сил натвердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, кото­рый характеризуется величиной, называемой моментом пары. Этотмомент определяется: 1) его модулем, равным произведению Fd\2) положением в пространстве плоскости действия пары; 3) направ­лением поворота пары в этой плоскости.

Таким образом, как имомент силы относительно центра, это величина векторная.Введем следующее определение: моментом пары сил называетсявектор т (илр М ), модуль которого равен произведению модуля однойиз сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плос­кости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейсяповернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 32, б).Заметим еще, что так как плечо силы F относительно точки Аравно d, а плоскость, проходящая через точку А и силу F, совпадает*Теорию пар разработал известный ф ранцузский у ч е н ы й ^ - м ехани к и гео­метр Л . П уансо (1777— 1859).3 -1 8 7 033с плоскостью действия пары, то однов£еменно т = т л (F) = А B x F .Но в отличие от момента силы вектор т, как будет показано ниже,может быть приложен в любой точке (такой вектор называется сво­бодным).

Измеряется момент пары, как и момент силы, в ньютонметрах.Покажем, что моменту пары можно дать другое выражение:момент пары равен сумме моментов относительно любого центра Осил, образующих пару, т. е.m==m0 (F) + m0 (F ).(15)Д ля доказательства проведем из произвольной точки О (рис. 33)радиусы-векторы rA—~OA и гв —ОВ. Тогда согласно формуле (14),у«п'я_еще1 что F ' —— F, получим m 0(F)—rBx F , т 0 (F') = r AX F' == —rA x F и, следовательно,т 0 (F) + т0 (? ') = (гв — 7 л) x F = 7 i B x F .Так как Х В x F —m, то справедливость равенства (15) доказана.Отсюда, в частности, следует уже отмеченный выше результат:m = A B x F = m A (F) или m — mB(F'),(15')т.

е. что момент пары равен моменту одной из ее сил относительноточки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль моментапарыm=Fd.(15*)Если принять, что действие пары сил на твердое тело (ее вра­щательный эффект) полностью определяется значением суммы мо­ментов сил пары относительно любого центра О, то из формулы(15) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, экви­валентны, т. е. оказывают на тело одинаковое механическое дейст­вие. Иначе это означает, что две пары сил, независимо от того, гдекаж дая из них расположена в данной плоскости (или в параллель­ных плоскостях) и чему равны в отдельности модули их сил и ихплечи, если их моменты имеют одно и то же значение т, будут экви­валентны. Так как выбор центра О произволен, то вектор т можносчитать приложенным в любой точке, т.

е. это вектор свободный.34В дальнейшем будем обычно на чертеже вместо пары изображатьполностью ее характеризующий вектор т. При этом модуль топределяет модуль момента пары [формула (15*)], а направление отопределяет плоскость действия пары и направление поворота вэтой плоскости.Из формулы (15) следует еще, что если на тело действует нес­колько пар с моментами т г, т г, .

. ., т п, то сумма моментов всехсил, образующих эти пары, относительно любого центра будет рав­на Irit+mt-}-. .а следовательно^ вся совокупность этих парэквивалентна одной паре с моментом М —1>тк. Этот результат вы­ражает теорему о сложении пар.$ 10*. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИИ О СЛ О Ж ЕН И И ПАРСправедливость выводов, сделанных в конце § 9, можно дока­зать непосредственно._ _Рассмотрим действующую на твердое тело пару сил F, F'.

Про­ведем в плоскости действия этой пары через произвольные точки Dи Е две параллельные прямые до пересечения их с линиями действиясил F, F' в точках А и В (рис. 34)и приложим силы F, F' в этихточках (первоначально F и F' мог­ли быть приложены в любых дру­гих точках на их линиях дейст­1f/ врвия).