1611690516-d99b7463a257f659341e7d5db73ba461 (Задачник Тарг), страница 7

И з подобия треугольниковabc и A B C находим, что ca = a b и Z c a b = a . Следовательно,R a — P>sin (a /2) = Q /2P,®ак как Т — Q = 2 P sin (a/2).И з полученных результатов следует, что при « < 1 8 0 ° равновесие возм ож нотолько, если Q < 2 P . Стержень при этом будет сж ат с силой, равной Р , независи­мо о т значений груза Q и угла а .*Таблицу целесообразно заполнять по столбцам, т. е. сначала вы числитьпроекции на обе оси силы Р , затем силы F и т. д.

П редварительное составление та­ких таблиц уменьш ает вероятность ошибок в уравн ен и ях и особенно полезно иапервых порах, пока не будет приобретен достаточный навы к в проектировании сил,а затем и в вычислении их моментов. П римеры так и х табли ц д л я д р у ги х системсил даются далее в задачах 10, 19 (§ 17) и 40 (§ 30).27С л учай , к о гд а а. = 180°, д о л ж ен бы ть р а сс м о тр е н отд ел ьн о .

Л егко видеть,ч т о в э т о м случае равн о в еси е в о зм о ж н о при л ю б ы х значениях Р и Q. П р иэ т о м , если P > Q , т о стер ж ен ь растяги вается с силой, р а в н о й P —Q; если ж еQ > P , т о стерж ень с ж и м а е тс я с силой, равн ой Q —PО б р а щ а е м в ним ание н а т о , ч т о сила тяж ести 5 непосредственн о в условиера в н о в ес и я (в с и л о в о й тр еу го л ьн и к ) не вош л а, т а к к ак э т а сила при лож енак гр у зу , а не к стерж н ю А В , равн овеси е к о то р о го р ассм ат р и в ал о с ь.З а д а ч а 6 . К р а н , зак р еп л ен н ы й п од ш ип ником А и п од п ятн и к о м В, несетн а гр у зк у ? (рис. 26).

О п р ед е л и т ь реакци и ~КА и И в о п о р , вы зван ны е действиемд а н н о й нагрузк и , если в ы л е т кр ан а равен I и A B = h .ftР е ш е н и е . Рассмотрим равновесий крана, к которому приложены задан­н ая и искомые силы. И зображ аем действующие на кран силу Р и реакцию подшип­н и ка Я д , направленную периендикулярно оси А В . Реакция подпятника R g мо­ж ет иметь любое направление в плоскости чертежа. Н о кран находится в равно­весии под действием трек сил; следовательно, их линии действия должны пересе­к аться в одной точке. Т акой точкой является точка £ , где пересекаются линиидействия сил Р"и 7?д.

Таким образом, реакция R g будет направлена вдоль B E .П рим еняя геометрический способ решения, строим из сил Р , Я д и R g замкну­тый треугольник abc, начиная с заданной силы Р. И з подобия треугольников abcи А В Е нахо/шм:откуд аR A /P = l/h ,R BI P = V W + P l h ,_______R A = P l/h, R B = P y / l + P / h 2.И з т р еу го л ьн и к а abc в и д н о , ч т о н ап равлен и я реакц и й ~RA n~RB показаны н ачер теж е п р а в и л ьн о . С и л ы д а в л ен и я на подш ип ник А и п о д п ятн и к В численноравн ы R j и R b , но направлены противоположно реакциям.

Значения этих давле­ний будут тем больш е, чем больш е отношение llh.Рассм отренная задача дает пример использования теоремы о трех силах.З а д а ч а 7. К ш арниру А коленчатого пресса прилож ена горизонтальная сила"Р (рис. 27, а). П ренебрегая весом стержней и порш ня, определить силу давленияпорш ня н а тело М при данны х углах а и р.Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала равновесие ш арнира А , к которому при­л о ж ен а единственная задан н ая сила 7Г Н а ось ш арнира кроме силы /^действуютреакци и стержнейи R t , направленные вдоль стерж ней. Строим силовой тре­у го льн и к (рис 27, 6).

Углы в нем равны: <f>=90°—a , i j= 9 0 o—Р, у = а + § - Поль­з у я с ь теоремой синусов, получим:R j s i n <р= Я /sin у и R i — P cos а /sm (oc-j-fl).Теперь рассм отрим равновесие порцшя. Н а поршень действуют тоже три силы:си л а давления R i = — R , стерж ня А В , реакция Я ”стенки и реакция Q прессуемоготел а. Т ак к ак сил три , то они при равновесии должны быть сходящимися.28Строя из этих сил силовой треугольних (рис. 27, в), находим из негоQ = /? i cos p.Подставляя вместо R i равную ей R i, получаем окончательно_4Р соз а соэ р ________Рsln (a -)-p ) — t g a - f t g pСила давления порш ня на тело М равна по модулю Q и направлена в противопо­ложную сторону.

И з последней формулы видно, что при одной и той ж е силе Рсила Q возрастает с уменьшением углов а и р .Если длины стержней ОА и А В одинаковы, то а = р и Q = 0 ,5 Р ctg а .Рис. 27Рис. 28Задача 8. Н а цилиндр весом Р , леж ащ ий на гладкой горизонтальной п л о ­скости, действует горизонтальная сила Q, приж имаю щ ая его к выступу В (рис. 28).Определить реакции в точках А и В , если B D = h — R l2 (R — радиус цилиндра).Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие цилиндра, на который действуют за­данные силы Я, 5"и реакции связей Жд и 17д (реакция Wg направлена по нормалик поверхности цилиндра, т.

е. вдоль радиуса ВС). Все силы леж ат в однОй пло­скости и сходятся в точке С. Т ак к ак сил четыре, то удобнее воспользоваться ана­литическими условиями равновесия l F k x = 0 , 2 F * i/= 0 . Проведя координатныеоси так , как показано на рис. 28, получим:Q — AfB c o s a = 0, N л — P + N g sin a = 0.При h = 0,5 R получим s i n a = ( i ? —h ) lR = 0 ,5 и a = 3 0 ° . Тогдй из первого у р а в ­нения находимА’а — Q / c° s a = 2Q V 3/3.П одставляя это значекие N g во второе уравн ен ие, получимN A = P — < H g a = P — Q V 3 /3 .П р и Q = P y / 3 р еак ц и я N A о б р а щ а е тс я в н у л ь , а есл и Q > P s J 'i, т о ц и л и н д роторвется о т п л оскости и п о д дей ств и ем си л ы Q н а ч н ет п о в о р а ч и в а ть ся в о к р у гвы ступа В.З адача 9. Н а крон ш тей н е, со ст о ящ е м и з стер ж н ей А В и В С , с кр еп л ен н ы хдруг с д ругом и со стеной ш ар н и р ам и , укреп лен в то ч к е В б л ок (рис.

29, а).Ч ерез блок перекинута н и ть, оди н конец к о т о р о й п р и в я за н к стене, а н а д р у г о мподвеш ен груз весом Q. О п р ед ел и ть р еак ц и и стерж н ей , п рен еб регая их в ес о ми разм ер ам и б л о к а. У гл ы а и Р зад ан ы .29Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие блока с прилегающим к нему отрезкомD E нити *. Д л я наглядности изобразим блок отдельно (рис. 29, б).

Н а блок с от­резком нити действуют четыре внешние силы: натяж ение правой ветви нити, рав­ное Q, натяж ение левой ветви нити Т , по числовой величине тоже равное Q (T = Q ),и реакции стержней R t vT R it направленные вдоль стержней. Силы, пренебрегаяразмерами блока, считаем сходящ имися. Так как число их больше трех, восполь­зуемся условиями равновесияО,1 F fty= 0 .

Проведя координатные оситак , как показано на рис. 29, б, полу­чим:— Т cos P + /? i sin а —R -i= 0,—Q+ Г sincos a = 0 .И з второго уравнения,T = Q , находамучиты вая, чтоR i = Q (1 —sin P)/cos a .П одставляя это значение R 1 в пер­вое уравнение, после преобразованияполучаем„_ sin a — cos (a — р)«а = v ---------——-------- .И з вы раж ения д л я /?х следует, что при любых острых углах а и р /?t > 0. Этоозначает, что реакция направлена всегда так, как показано на чертеже. Сила ж едавления блока на стерж ень направлена в противоположную сторону (стерженьВ С сжат). Д л я R 2 получаем другой результат.

Б у ­дем считать углы а и р всегда острыми. Т ак к акsin a — cos ( a —P ) = s in a - s m (90°—a + P ) ,то эта разность полож ительна, если a > (90°—a + P )или когда 2 c t> (9 0 °+ P ). Отсюда следует, что приа > ( 4 5 ° + р /2 ) значение Я 2> 0 , т. е. реакцияиме­ет направление, изображ енное на чертеже; если жеа < ( 4 5 ° + р /2 ) , то /?а< 0 , т.

е. реакцияимеетпротивоположное направление (от А к В). При этомстержень А В в первом случае растянут, а во второмсж ат. Когда а = 4 5 ° + р / 2 , получаем R t = 0.Обращаем внимание на следующие выводы: 1)если в систему входят блоки с перекинутыми черезних нитями, то при составлении условий равнове­сия блок целесообразно рассматривать вместе сприлегающим к нем у отрезком нит и к ак одно те­ло. При этом, если трением нити о блок или тре­нием в оси блока пренебречь, то натяжения наобоих концах нит и будут по модулю равны и на­правлены от блока (иначе нить скользила бы в сто­рону большего натяж ения или блок вращ ался бы);2) если при изображ ении реакций связей какая-нибудь из них будет направленаие в ту сторону, куда она фактически действует, то при геометрическом решенииэто непосредственно обнаруж ится из силового многоугольника (правило стрелок),а при аналитическом реш ении числовая величина соответствующей реакции полу­чится отрицательной.Однако во всех с л у ч аях , когда это можно наперед сделать, следует реакциисвязей сразу н ап равлять верно.

Н апример, в задаче 6 направление реакции под-*В подобных сл у ч аях целесообразно рассматривать блок вместе с прилегаю­щим к нему отрезком нити к ак одно тело. Тогда заранее неизвестные силы взаим­ного давления нити и блока д руг на друга будут силами внутренними и в условияравновесия не войдут.30шяпника А устанавливается следующими рассуждениями: если убрать подшип­ник, то кран под действием силы Р начнет падать вправо; следовательно, сила Я д ,чтобы удерж ать кран в равновесии, долж на быть направлена влево.Задача 10. Стоящий на земле вертикальны й столб ОА удерж ивается растяж ­ками А В и A D , образующими со столбом равны е углы а ; угол между плоскостя­ми Л О В и AO D равен ф (рис.

30). К столбу подвешены два горизонтальны х про­вода; один, параллельны й оси Оу, натянут с силой P lt а другой, параллельны йоси Ох, — с силой P t . Найти силу вертикального давления на столб и усилия втросах, пренебрегая их весами.Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие у зл а Л , к которому прикреплены про­вода итросы . Н а него действуют силы натяж ения проводов Р [ и ~РХ, реакции растя­жек /?, и Я» и реакци я столбаСистема сил оказалась пространственной.В этом случае будем пользоваться только аналитическим способом реш ения.