7 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Лекции по теории оптимизации и численным методам), страница 2

Для обеспечения сходимости метода Зейделя требуется преобразовать системуAx  b к виду x  x   с преобладанием диагональных элементов в матрице  (см.метод простых итераций).Например, в системе2 x1  x 2  2 ,x1  2 x 2  2диагональные элементы преобладают, так как 2  1 ,  2  1 .Соотношения метода Зейделя (1.1) принимают видx1(k 1)x 2(k 1)x 2(k )2x1(k 1)2 1, 1.Выберем в качестве начального приближения x (0)  (0 ; 0)T(рис.1,а). Тогдаx 2(0) 1  1 . Так как при этом x 2(0)  0 , то вычислению x1(1) соответствует дви2жение по горизонтали до пересечения с прямой, описываемой первым уравнением.

Далееx1(1)x1(1)3. Вычислению x 2(1) соответствует движение по вертикали до пересече22ния с прямой, описываемой вторым уравнением. Продолжая вычисления, получаемx 2(1)x1(2)1 x 2(1)x1(2)1319( 2) 1    1  , x2 1   1 и т.д. В результате имеем848242T2 6процесс, сходящийся к точке x    ;  .5 580x2x262 x1  x 2  22x1  2 x 2  212x1  2 x 2  2x (0 )0211x120 x (0 )x12 x1  x 2  2абРис.

1Переставим уравнения в системе:x1  2 x 2  2 ,2 x1  x 2  2 .В полученной системе диагональные элементы не преобладают. Уравнения методаЗейделя имеют видx1(k 1)  2 x 2(k )  2 ,x 2(k 1)  2 x1(k 1)  2 .При x (0)  (0 ; 0)T получаем x1(1)  2 , x 2(1)  6 и т.д. В результате имеем расходящийся процесс (рис. 1,б).2. Условие преобладания диагональных элементов является достаточным для сходимости, но не является необходимым.3. Процесс (1.1) называется последовательным итерированием, так как на каждойитерации полученные из предыдущих уравнений значения подставляются в последующие.

Как правило, метод Зейделя обеспечивает лучшую сходимость, чем метод простыхитераций (за счет накопления информации). Метод Зейделя может сходиться, если расходится метод простых итераций, и наоборот.4. При расчетах на компьютере удобнее пользоваться формулой (1.3).5. Преимуществом метода Зейделя, как и метода простых итераций, является егосамоисправляемость.6. Метод Зейделя имеет преимущества перед методом простых итераций, так какон всегда сходится для нормальных систем линейных алгебраических уравнений, т.е.

таких систем, в которых матрица A является симметрической и положительно определенной. Систему линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей A всегдаможно преобразовать к нормальной, если ее умножить слева на матрицу AT . Таким образом, система AT A x  AT b является нормальной, а матрица AT A - симметрической.81.