2 Необходимые и достаточные условия условного экстремума (Лекции по теории оптимизации и численным методам), страница 3

Еслив этой точке d 2 L( x  ,   )  0 ( d 2 L( x  ,   )  0 ) для всех ненулевых dx  R n таких, чтоdg j ( x*)  0 , j  1,  , m и j  J a , j  0 ( j  0 );dg j ( x*)  0 , j  J a , j  0 ,то точка x  является точкой локального минимума (максимума) в задаче (3.16).24Пример 3. Найти условный экстремум в задачеf ( x)  x12  x 22  extr ,g1 ( x)  x1  1  0 ,g 2 ( x)  x1  x 2  2  0 . 1. Составим обобщенную функцию Лагранжа:L  x,  0 ,     0 ( x12  x 22 )   1 ( x1  1)   2 ( x1  x 2  2) .2. Выпишем необходимые условия экстремума первого порядка:а) L x ,  0 ,   x1 2 0 x1  1   2  0 , L x ,  0 ,   x2 2 0 x 2   2  0 ;б) x1  1  0, x1  x 2  2  0 ;в)  2  0 (для минимума),  2  0 (для максимума);г)  2 ( x1  x 2  2)  0 .3.

Решим систему для двух случаев.Первый случай:  0  0 , тогда 1  0 и  2  0 , что противоречит утверждению3.8.Второй случай:  0  0 . Поделив уравнения приведенной в п. 2 системы на  0 изаменив 1 на 1 и 2 на  2 , условие «a» запишем в виде00 L x ,   2 x1  1   2  0 , x1 L x ,   2x 2   2  0 . x2Остальные соотношения сохранят свой вид.Рассмотрим 2 p  m  2 варианта удовлетворения условия «г» дополняющей нежесткости:1)  2  0 , тогда x 2  0 .

Из ограничения следует, что x1  1 , а из условия «a»1  2 . Имеем условно-стационарную точку A : x1  1, x 2  0, 1  2, 2  0 ,вкоторой удовлетворяются необходимые условия и минимума, и максимума;2)  2  0 , тогда x1  x 2  2  0, 2 x1   1   2  0, 2 x 2   2  0, x1  1  0 .

По-лучаем условно-стационарную точку B: x1  1, x 2  1, 1  0, 2  2  0 , в которойудовлетворяются необходимые условия максимума.254. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.Исследуем точку A . Ограничение-неравенство не является активным. Поэтомуl  1  n  2 и достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим условия второго порядка: d 2 L A   2dx12  2dx 22 .

Так как ограничение g 2  x   0 в точке Aпассивно, то dg1  A   dx1  0 и d 2 L  A   2dx 22  0 при dx 2  0 . Следовательно, в точкеA – условный локальный минимум.x2g1 ( x)  02f ( x)  1B21 Ax1g 2 ( x)  0f ( x)  2XРис. 4Исследуем точку B. Ограничениеg 2 ( x)  0является активным, поэтомуl  2  n  2 . Так как  2  2  0 , то в точке B выполняются достаточные условия максимума первого порядка и она является точкой локального максимума. Из методическихсоображений проверим достаточные условия второго порядка: d 2 L B   2dx12  2dx 22 . Вточке B ограничение g 2 ( x)  0 активно: dg1 B   dx1  0 , dg 2 B   dx1  dx 2  0 .

Отсюда dx1  dx 2  0 и d 2 L B   0 . Поэтому требуется дополнительное исследование. Нарис. 4 видно, что в точке B – условный локальный максимум, поскольку при приближении к этой точке вдоль множества X функция возрастает, а при движении от нее – убывает.

Это подтверждает сделанный ранее вывод.5. Значения функции в точках экстремума: f  A   1, f B   2 . 26.