17 Вариационные задачи поиска условного экстремума (Лекции по теории оптимизации и численным методам), страница 2

Найдем общее решение системы. Из первых двух уравнений получаем1 (t )   2 x 2,Из третьего уравненияx 2 x 2  0 .1 (t )   2 x 2,x1  x 2 ,2 x1   1 (t )  2 x 2 .x1  x 2 . Тогда2 x1  2 x 2  2 x 2 , или3    (2  1)  0Характеристическоеуравнение1  1,  2  1,  3  0 . Поэтомуx 2 (t )  C1e t  C 2e t  C 3 ,x1 (t ) x 2 (t ) dt  C1e t  C 2e t  C 3t  C 4 ,1 (t )   2 x 2(t ) .4. Определим постоянные C1 ,...,C 4 из граничных условий:x1 (0)  C1  C 2  C 4  2 ,x 2 (0)  C1  C 2  C 3  0 ,x1 (1)  C1e  C 2e 1  C 3  C 4  2 ch1  2 x 2 (1)  C1e  C 2e1e  e 1,2e  e 1 C 3  2 sh1  2 .2Отсюда C1  1, C 2  1, C 3  C 4  0 .В результате получаем экстремаль x * (t )  ( x1* (t ), x 2 * (t ))T :x1* (t )  e t  e t ,x 2 * (t )  e t  e t .При этом 1 (t )   2 x 2(t )   2e t  2e t .8имееткорни3.3.

ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИСВЯЗЯМИ. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотриммножествоMдопустимыхвектор-функцийx (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T , удовлетворяющих следующим условиям:а) функции x i (t ) определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке t 0 ,T  ,где t 0 ,T заданы, т.е. x i (t )  C 1 ( [t 0 ,T ] ) , i  1,..., n ;б) функции x i (t ) удовлетворяют граничным условиямx i (t 0 )  x i 0 , x i (T )  x iT ,i  1,..., n ,(1)где x i 0 , x iT , i  1,..., n , заданы, т.е. каждая из кривых x i (t ) проходит через две закрепленные граничные точки;в) функции x i (t ) удовлетворяют интегральным связямT F j (t, x1(t ),..., xn (t ), x1 (t ),..., xn (t )) dt  L j ,j  1,..., m ,(2)t0где функции F j (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) непрерывно дифференцируемы по всемпере-менным, L j – заданные числа. Количество интегральных связей m может быть меньше,равно или больше n .

Функции x (t ) не являются экстремалями интегралов в (2).На множестве M задан функционалI x1 (t ),..., x n (t ) TF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt ,(3)t0где функция F (t , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.Среди допустимых вектор-функций x (t ) , принадлежащих множеству M , требуется найти вектор-функцию x  (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T , на которой функционал (3) достигает экстремума, т.е.Ix1 (t ),..., x n (t )Textrx (t ) MF (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt .(***)t09НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 3 (необходимые условия экстремума в задаче (***)).Если на вектор-функции x  (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T , где x i (t )  C 1 ([t 0 ,T ]) , удовлетворяющей граничным условиям (1) и интегральным связям (2), функционал (3) достигает экстремума, то функции x1 (t ),..., x n (t ) удовлетворяют системе уравнений ЭйлераF xi d F   0, i  1,..., n ,dt xiсоставленной для функционалаI x1 (t ),..., x n (t ) TF  (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt t0T[ F (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) t0m  j  F j (t, x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t ))  dt .j 1З а м е ч а н и я.1.

Интегральные связи (2) не накладывают столь жестких ограничений, как дифференциальные или конечные связи. Например, из условий типа (2), вообще говоря, нельзявыразить некоторые из функций x1 (t ),..., x n (t ) через остальные. Поэтому число интегральных связей не обязательно должно быть меньше n .2. Изопериметрическими задачами в узком смысле называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.

В настоящее время к изопериметрическим относят значительно более общий класс задач (3).3. В общем случае применяется обобщенная функция Лагранжа.АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (***)1. Составить функцию ЛагранжаF (t , x, x  )  F (t , x, x  ) m  j  F j (t, x, x  ),j 1где  j , j  1,..., m , – множители Лагранжа (постоянные).2. Записать систему уравнений Эйлера и уравнения связи (3.31):F xi Tt010d F   0,dt xii  1,..., n ,F j (t , x1 (t ),..., x n (t ), x1 (t ),..., x n (t )) dt  L j ,j  1,..., m .3. Найти общее решение системы x i  x i (t ,C1 ,...,C 2n ) , i  1,..., n , и выражениядля множителей Лагранжа 1 ,...,  m .4.

Определить постоянные C1 ,...,C 2n из граничных условий:x i (t 0 ,C1 ,...,C 2n )  x i 0 , i  1,..., n ,x i (T ,C1 ,...,C 2n )  x iT , i  1,..., n .Выписать выражение для экстремали x  (t )  ( x1 (t ),..., x n (t ))T .Пример. Найти экстремаль функционалаI x (t ) 1x  2 (t ) dt ,0удовлетворяющую граничным условиям x (0)  1, x (1)  6 и интегральной связи1x (t ) dt  3 .0 1. Составим функцию Лагранжа. Так как F (t , x , x )  x  2 , количество интегральных связей m  1 , F1 (t , x , x )  x , тоF  (t , x, x  )  x  2    x ,где индекс «1» у множителя 1 для упрощения записи здесь и далее в задачах с однойинтегральной связью опущен.2.

Запишем уравнение Эйлера и уравнение связи. Поскольку F x  , F x  2x ,d F   2x , тоdt x1dF x  F x    2 x   0,  x (t ) dt  3 .dt03. Найдем общее решение уравнения и выражение для  . Имеемx (t )  ,210t2x (t )  t  C1 , x (t )  C1t  C 2 ,24 t 2t3t2 C1t  C 2  dt  C1 C 2t122 410 C1 C 2  3.1224. Определим C1 ,C 2 ,  из граничных условий и уравнения связи:x (0)  C 2  1,x (1)  C1  C 2  6,411 C1 C 2  3.122Отсюда 6  C1  C 2  5  C1 ,4C 2  1,5  C1,1235  C13C12 1  3, C1  2,В результате получаем экстремаль x  (t )  3 t 2  2 t  1. 12  12 ..