16 Вариационные задачи поиска безусловного экстремума. Задачи с подвижными концами (Лекции по теории оптимизации и численным методам), страница 2

(*)x (t )M t0З а м е ч а н и я.1. Функционал называется функционалом Больца. Кроме интегрального члена,он содержит терминальный член G T , x1 T ,..., x n T  .2. В рассматриваемой задаче для простоты изложения полагается, что левый конецдопустимых кривых закреплен. В качестве обобщений могут быть изучены вариационныезадачисподвижнымлевымконцом,удовлетворяющимусловию j t 0 , x10 ,..., x n 0   0 , j  1,..., m , а также функционалом с терминальным членомG T , x1 T ,..., x n T   Q t 0 , x1 t 0 ,..., x n t 0  или G T , x1 T ,..., x n T , t 0 , x1 t 0 ,.., x n t 0  .9НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМАТеорема 8 (необходимые условия экстремума функционала в задаче (*)).TЕсли на вектор-функции x * t   x1* t ,..., x n* t  , где x i  t   C 1   , удовлетво-ряющей граничным условиям x  t 0   x 0 ,  j T  , x1 (T  ),..., x n (T  )  0 ,j  1,..., p ,функционал достигает слабого экстремума, то функции x1* t ,..., x n* t  удовлетворяют:а) системе уравнений ЭйлераdF xi  F x   0 , i  1,..., n ;dt iб) условиям трансверсальностиni 1G F xi  xi  j nGx iT  F   x i F x  i t i 1T * , x * T * jt** T ,x T*nji 1 xiT  ** T ,x Tx iT  0 ,** T ,x TT  0 ,*j  1,..., p .*З а м е ч а н и я.1.

Если значение Т задано, а правый конец допустимых кривых скользит по прямойс уравнением t  T , то вариация T  0 . В силу произвольности вариаций x iT ,i  1,..., n , из получаемFx iG xiT , x * T  0 , i  1,..., n .2. Если правый конец допустимых кривых удовлетворяет соотношениямx i  i t  , i  1,..., n , то из i (t , x1 ,..., x n )  x i  i t   0 в силу произвольности TполучаемF n G  Gi   i  x i  F x  i xi t i 1 ** T ,x T 0.*АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЙ ЭКСТРЕМУМАВ ЗАДАЧЕ (*)1. Записать систему уравнений Эйлера.2. Найти общее решение системы x i  x i t ,C1 ,C 2 ,...,C 2n  , i  1,..., n .3. Записать условия трансверсальности (в зависимости от вида граничных условий)и граничные условия.T4.

Определить C1 ,...,C 2n ,T * и выписать экстремаль x * t   x1* t ,..., x n* t  .10Пример. Найти экстремаль функционалаI x1 t , x 2 t  1  x1 t  x 2 t   x1 t  x 2 t  dt  x1 1  x 2 1 ,0удовлетворяющую граничным условиям: x1 0   x 2 0   0 . 1. Запишем систему уравнений Эйлера.

Так как F  x1 x 2  x1 x 2 ,F x1  x 2 , F x   x 2 ,1ddF x   x 2 , F x2  x1 , F x   x1 ,F   x1 , то12dtdt x2F x1 dF   x 2  x 2  0 ,dt x1F x2 dF   x1  x1  0 .dt x22. Найдем общее решение системы x1  x1  0 , x 2  x 2  0 :x1 t   C1e t  C 2e t ,x 2 t   C 3e t  C 4 e t .3. Запишем условия трансверсальности, учитывая, что значение T  1 задано, аx1 1 и x 2 1 произвольны. Поскольку G t , x1 , x 2   x1  x 2 , тоFx G x1F x G x212 x 2 1  1  0 ,T 1 x1 1  1  0 .T 1Используем граничные условия:x1 0   C1  C 2  0 ,x 2 0   C 3  C 4  0 .4. Определим C1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 .

Имеем C1   C 2 , C 3   C 4 , x1 (t )  C1e t  C 2e t ,x 2 (t )  C 3e t  C 4 e t , а такжеx 2 1  1  C 3e  C 4 e 1  1  0 ,x1 1  1  C1e  C 2e 1  1  0 .Отсюда C 2 1e e1e2e 1, C1  e2Te, C3  e. В результатеe 1eeet e  t .: x1* t   x 2* t   22e 1e 1e 1получаем экстремаль x * t   x1* t , x 2* t , C4 2e 1211.