1 Общая постановка задачи оптимизации и основные положения. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума (Лекции по теории оптимизации и численным методам), страница 2

Для того чтобы матрица Гессе H ( x ) была положительно полуопределенной( H ( x )  0 ) и точка x  может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.2. Для того чтобы матрица Гессе H ( x ) была отрицательно полуопределенной( H ( x )  0 ) и точка x  может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны,а все главные миноры нечетного порядка – неположительны.111п/пf ( x ) H ( x )Первый способТаблица 1Тип стационарной точки x Локальный минимум1001  0,  2  0,...,  n  02003001  0,  2  0,...,  1  n  0Все главные миноры определителяматрицы H ( x ) неотрицательны400Все главные миноры четногопорядка неотрицательны, а нечетного порядка неположительныМожет быть локальныйминимум, требуется дополнительное исследованиеМожет быть локальныймаксимум, требуется дополнительное исследование500Матрица Гессе состоит из нулевыхэлементовТребуется дополнительноеисследование600Не выполняются условия п.

1–5Нет экстремумаnЛокальный максимумВторой способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе – табл. 2).Определение 2.3. Собственные значения  i , i  1,..., n , матрицы H ( x ) размеровn  nнаходятся как корни характеристического уравнения (алгебраического уравненияn -й степени):h11  h12h1nh21h22   h2 n(2.10)H ( x )   E  0. hnn  hn1hn 2З а м е ч а н и е. Собственные значения вещественной симметрической матрицыH ( x ) вещественные.Таблица 21Второй способТип стационарной точки x п/п1Локальный минимум1  0,...,  n  0*21  0,...,  n  0Локальный максимум31  0,...,  n  041  0,...,  n  051  0,...,  n  0Может быть локальный минимум, требуетсядополнительное исследованиеМожет быть локальный максимум, требуетсядополнительное исследованиеТребуется дополнительное исследование6 i имеют разныезнакиНет экстремума12Алгоритм решения задачиШаг 1.

Записать необходимые условия экстремума первого порядка в виде (2.3) инайти стационарные точки x  в результате решения системы n в общем случае нелинейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Для численного решения системы могут использоваться методы простой итерации, Зейделя, Ньютона.Шаг 2. В найденных стационарных точках x  проверить выполнение достаточных,а если они не выполняются, то необходимых условий второго порядка с помощью одного из двух способов (см.

табл. 1 и 2).Шаг 3. Вычислить значения f ( x* ) в точках экстремума.Описанный алгоритм отображен на рис. 1, где показана последовательность действий в случаях выполнения и невыполнения соответствующих условий экстремума приприменении первого способа.З а м е ч а н и я.1. Продолжение исследований, которое требуется в ряде случаев, разобранных втабл. 1 и 2, при решении практических задач, как правило, не проводится, за исключением небольшого числа модельных примеров.2. Часто на практике, особенно при применении численных методов поиска экстремума, рассматриваемых в последующих разделах, требуется проверить, выполняютсяли необходимые и достаточные условия экстремума в некоторой точке. Такой анализ необходим, так как многие численные методы позволяют найти лишь стационарную точку,тип которой требует уточнения.Необходимые условия экстремумапервого порядкаДостаточные условияэкстремумаВычислить значения функциив точках экстремумаНет экстремумаНеобходимые условия экстремумавторого порядкаПродолжениеисследованийРис.

113Нет экстремума.