7. Численные методы решения систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений (8 практических занятий с сайта кафеды 805)
Описание файла
Файл "7. Численные методы решения систем обыкновенных дифферен-циальных уравнений" внутри архива находится в папке "8 практических занятий с сайта кафеды 805". PDF-файл из архива "8 практических занятий с сайта кафеды 805", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория оптимизации и численные методы" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория оптимизации и численные методы" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Занятие 13. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙПример 1. Приближенно решить задачу Кошиy 2 y 3 x 2 , y (0) 0на отрезке [0; 1] с шагом h 0,1 различными методами: Эйлера (явным и неявным),предсказания и коррекции второго порядка, Рунге–Кутты четвертого порядка иметодом трапеций. Поскольку явный метод Эйлера и метод Рунге–Кутты четвертого порядкаотносятся к классу ограниченно устойчивых, то для них требуется определитьвеличины критического шага. Сравнивая данное уравнение с тестовым примером,2заметим, что 2 . Тогда для явного метода Эйлера hкр 1 , а для метода2,78Рунге–Кутты hкр 1,39 .
Следовательно, интегрирование с шагом h 0,1 hкробеспечивает устойчивость этих методов.Явный метод Эйлера. Из общей формулыyˆi 1 yˆi hi 1 f ( x i , yˆi ) ,i 0, n 1 , yˆ0 y 0 ;получаем расчетную формулу явного метода Эйлера:yˆi 1 yˆi 0,1 (2 yˆi 3 x i 2) , ŷ 0 0 , i 0,9 ;Метод предсказания и коррекции второго порядка.Шаг «предиктор»:yˆi(П1) yˆi hi 1 f ( x i , yˆi ) ,Шаг «корректор»:)ˆi yˆ i 1 yˆ i(К1 yhi 1[ f ( x i , yˆ i ) f ( x i hi 1 , yˆ i(П)1 )] .2Отсюда следуют расчетные формулы метода предсказания и коррекции:yˆi(П)1 yˆi 0,1 (2 yˆi 3 x i 2) , ŷ 0 0 , i 0,9 ;0,1yˆi 1 yˆi (2 yˆi 3x i 2 2 yˆi(П)1 3x i 1 2) ; ŷ 0 0 , i 0,9 ;2Метод Рунге–Кутты. Из общей формулыyˆi 1 yˆi hi 16K 1,i 2K 2,i 2K 3,i K 4,i ,249yˆ0 y 0 , i 0, n 1 ,гдеhhK 2,i f x i i 1 , yˆi i 1 K 1,i ,22hh f x i i 1 , yˆi i 1 K 2,i , K 4,i f x i hi 1 , yˆi hi 1 K 3,i ,22K 1,i f i f ( x i , yˆi ),K 3,iследуют формулы метода Рунге–Кутты четвертого порядка:0,1yˆi 1 yˆi (K 1,i 2K 2,i 2K 3,i K 4,i ) ,6K 1,i 2 yˆi 3 x i 2 ,K 2,i 2 ( yˆi 0,05 K 1,i ) 3 ( x i 0,05) 2 ;K 3,i 2 (yˆi 0,05 K 2,i ) 3 (xi 0,05) 2 ; K 4,i 2 ( xi 0,1 K 3,i ) 3 (xi 0,1) 2 ;Неявный метод Эйлера.
Из общей формулыyˆi 1 yˆi hi 1 f ( x i 1 , yˆi 1 ) ( x i , x i 1 , yˆi 1 ) , i 0, n 1 .получаем расчетную формулу неявного метода Эйлера:yˆi 1 yˆi 0,1 (2 yˆi 1 3 x i 1 2) ,yˆi 1 откудаМетод трапеций.yˆi 0,3x i 1 0,2;1,2Из общей формулыyˆi 1 yˆi hi 12 f i f (xi 1 , yˆi 1 ) (xi , xi 1 , yˆi 1 ) , i 0, n 1 ,получаем расчетную формулу метода трапеций:откуда0,1yˆi 1 yˆi (2 yˆi 3x i 2 2 yˆi 1 3x i 1 2) ,2yˆi 1330,9 yˆi 0,1 x i 2 0,1 0,1 x i 122.1,1Очевидно, в данном примере удалось получить явные формулы для нахожденияŷ i 1 неявным методом Эйлера и методом трапеций лишь в силу линейностирешаемого уравнения. В общем случае применяются методы простых итераций илиНьютона.Точное решение рассматриваемой задачи Коши: y( x ) 1,75 1,5x 1,75 e 2 x .Результаты расчетов приведены в табл.
1, в последней строке которой указаныфактические погрешности.Анализ результатов показывает, что при решении данной задачи методпредсказания и коррекции точнее явного и неявного методов Эйлера, но уступаетметоду Рунге–Кутты и совсем немного методу трапеций (порядок погрешностиодинаков).250Таблица 1ЯвныйметодЭйлераНеявныйметодЭйлераМетодРунге–КуттыМетодпредсказанияи коррекцииМетодтрапецийy (x )0,00,0000,0000,0000,0000,0000,0000,10,2000,1420,1670,1650,1680,1670,20,3300,2380,2770,2730,2790,2770,30,4040,2870,3400,3350,3420,3400,40,4330,3060,3640,3590,3660,3640,50,4270,2970,3560,3510,3580,3560,60,3910,2640,3230,3180,3250,3230,70,3330,2120,2680,2640,2700,2680,80,2560,1430,1970,1920,1990,1970,90,1650,0610,1110,1070,1120,1111,00,062-0,0330,0130,0090,0150,013max i0,0680,0590,00001040,0050,002xiПример 2. Найти приближенное решение задачи Кошиy z 1 ,y (0) 1 ,z y 2z , z (0) 1на отрезке [0; 1] с шагом h 0,1 методами Эйлера (неявным и модифицированным),Адамса–Бэшфорта третьего порядка и трапеций. Путем прямой подстановки в систему легко убедиться в том, что точноерешение задачи имеет вид y ( x) 2 3 e x x e x ; z ( x) 1 2 e x x e x .Выписываем формулы для нахождения приближенного решения указаннымиметодами (при этом применяется векторная форма записи).Для неявного метода Эйлераyˆi 1 yˆi hi 1 f ( x i 1 , yˆi 1 ) ( x i , x i 1 , yˆi 1 ) , i 0, n 1 .имеем yˆi 1 yˆi zˆ z 0,1 i 1 i zˆi 1 1 yˆi 0,1 zˆi 1 0,1 ,yˆi 1 2zˆi 1 zˆi 0,1 yˆi 1 0,2 zˆi 1 yˆ0 y (0) 1,zˆ0 z (0) 1.Разрешая эту систему относительно ŷi 1 , ẑ i 1 , окончательно получаемyˆi 1 0,1 (zˆi 0,1 yˆi 0,001) 0,1 ;1,21251zˆi 1 zˆi 0,1 yˆi 0,01.1,21Соотношенияyˆi12 yˆi hi 1f ( x i , yˆi ) ,2i 0, n 1 ,hyˆi 1 yˆi hi 1 f x i i 1 , yˆi 1 ,22 i 0, n 1 .для модифицированного метода Эйлера принимают вид0,10,1yˆ i 1 yˆ i ( zˆ i 1); zˆ i 1 z i ( yˆ i 2 zˆ i );2222yˆ i 1 yˆ i 0,1 zˆ i 1 1 ;2zˆ i 1 zˆ i 0,1 yˆ i 1 2 zˆ i 1 .22Для метода Адамса–Бэшфорта третьего порядка изhyˆi 1 yˆi [23 f i 16 f i 1 5 f i 2 ] , i 2, n 1 ;12находим0,1[23 ( zˆ i 1) 16 ( zˆ i 1 1) 5 ( zˆ i 2 1)] ,120,1[23 ( yˆ i 2 zˆ i ) 16 ( yˆ i 1 2 zˆ i 1 ) 5 ( yˆ i 2 2 zˆ i 2 )] . zˆ i 12yˆ i 1 yˆ i zˆ i 1Для определения «разгонных» точек ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ), ( x1 , yˆ1 , zˆ1 ), ( x 2 , yˆ2 , zˆ2 ) воспользуемсямодифицированным методом Эйлера.
Точка ( x 0 , yˆ0 , zˆ0 ) определяется начальнымиусловиями (0; 1; 1) .Выпишем соотношения для метода трапецийyˆi 1 yˆi hi 12 f i f (xi 1 , yˆi 1 ) (xi , xi 1 , yˆi 1 ) , i 0, n 1 ,и разрешим их относительно неизвестных: yˆ i 1 yˆ i 0,1 zˆ i 1 zˆ i 1 1 ˆ ˆ z i 1 z i 2 yˆ i 2 zˆ i yˆ i 1 2 zˆ i 1 yˆ i 0,05 zˆ i 0,05 zˆ i 1 0,1, 0,05 yˆ i 0,05 yˆ i 1 0,9 zˆ i 0,1zˆ i 1 откуда путем разрешения системы относительно yˆi 1 , zˆi 1 получаемyˆ i 1 yˆ i 0,05 zˆ i 0, 05zˆ i 1 0,1 yˆ i 0,8975 zˆ i 0, 051,10250,1 yˆ i 0,8975 zˆ i 0,051,1025 0,1 ;.Результаты проведенных расчетов даны в табл. 2 дляyˆi , y ( x ) и табл. 3 дляzˆi , z ( x ) соответственно.
Из их анализа вытекает, что наиболее точно величину ŷiможно рассчитать методом Адамса–Бэшфорта, а величину ẑ i – методом трапеций. 252Таблица 2xiНеявный методЭйлераМодиф. методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,01,000001,000001,000001,000001,000000,10,809920,805000,804990,804990,805000,20,629600,619970,619910,619910,619940,30,458850,444790,444690,444640,444700,40,297400,279240,279080,2790000,279090,50,145000,123090,122850,122730,122860,60,00131-0,02397-0,02428-0,02444-0,024280,7-0,13397-0,16224-0,16265-0,16284-0,162630,8-0,26119-0,29208-0,29257-0,29279-0,292550,9-0,38072-0,41384-0,41441-0,41465-0,414381,0-0,49287-0,52787-0,52853-0,52879-0,52848max i0,037204150,000672910,000059420,00033550Таблица 3xiНеявный методЭйлераМодиф.
методЭйлераМетод Адамса–БэшфортаМетодтрапецийТочноерешение0,0-1,00000-1,00000-1,00000-1,00000-1,000000,1-0,90083-0,90000-0,90023-0,90023-0,900160,2-0,80316-0,80095-0,80132-0,80132-0,801210,3-0,70753-0,70357-0,70402-0,70401-0,703880,4-0,61440-0,60844-0,60893-0,60890-0,608770,5-0,52408-0,51601-0,51650-0,51645-0,516320,6-0,43684-0,42663-0,42709-0,42702-0,426910,7-0,35287-0,34054-0,34095-0,34087-0,340780,8-0,27229-0,25794-0,25828-0,25818-0,258120,9-0,19518-0,17894-0,17920-0,17908-0179051,0-0,12158-0,10357-0,10378-0,10364-0,10364max i0,019581330,000325860,000121450,00003005-253.