6. Методы приближения функций. Интерполяция и интегральное сглаживание (8 практических занятий с сайта кафеды 805)
Описание файла
Файл "6. Методы приближения функций. Интерполяция и интегральное сглаживание" внутри архива находится в папке "8 практических занятий с сайта кафеды 805". PDF-файл из архива "8 практических занятий с сайта кафеды 805", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория оптимизации и численные методы" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "теория оптимизации и численные методы" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Занятие 6. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯИ ИНТЕГРАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕЧасть I. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИА. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖАПусть на множестве [a, b] задана сетка n x i , i 0, n , определяемаяn 1 точкой x 0 , x1 ,..., x n , а на сетке задана сеточная функция yi f ( x i ), i 0, n :y 0 f ( x 0 ), y1 f ( x1 ),..., y n f ( x n ) ,где x i a, b x 0 , x n - в общем случае неравноотстоящие узлы, определяемые шагами hi 1 x i 1 x i ( hi 1 var ), i 0, n 1 .Требуется найти многочлен n-й степени, проходящий через все заданные точки.Интерполяционный многочлен Лагранжа n-й степени имеет видLn ( x) n( x x ) ( x x )...( x x) (x x)...( x x ) ( xi x0 )0 ( xi x11)...( xi xii11 ) ( xi ixi11 )...( xi n x n ) f i .i 0Многочлен Ln (x ) является многочленом степени n и удовлетворяет условияминтерполяции: Ln ( x i ) f i , i 0, n .Для записи интерполяционного многочлена Лагранжа удобно пользоватьсятабл.1.x x0x 0 x1x0 x2x1 x 0x x1x1 x 2x2 x0x 2 x1x x2xn x0x n x1xn x2.........x0 xnD0x1 x nD1x2 xnD2x xnDnТаблица 1f0f1f2fnDifi... n 1 ( x ) ( x x 0 ) ( x x1 ) ( x x 2 ) ...
( x x n )Здесь Di – произведение элементов i -й строки, n 1 ( x ) – произведение элементов главной диагонали.Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в формеnLn ( x ) n 1 ( x ) i 0241fi.DiБ. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНАИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i f x i f i , i 0, n ,задана на неравномерной сетке n x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , характеризующейся шагамиhi 1 x i 1 x i var .Выбрав внутри неравномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяцииxi , xi 1 , x i , xi 1 , xi 2 ,..., xi , xi 1 ,.., xi k , введем следующие определения разделенных разностей:– разделенная разность нулевого порядка: f ( x i ) f i ;– разделенная разность первого порядка: f ( x i , x i 1 ) f i 1 f ix i 1 x i;– разделенная разность второго порядка:f ( x i 1 , x i 2 ) f ( x i , x i 1 )f ( x i , x i 1 , x i 2 ) ;xi 2 xi– разделенная разность k-го порядка:f ( x i , x i 1 ,..., x i k ) f ( x i 1 , x i 2 ,..., x i k ) f ( x i , x i 1 ,..., x i k 1 )xi k xi;– разделенная разность n-го порядка в узле x 0 :f ( x 0 , x1 ,..., x n ) f ( x1 , x 2 ,..., x n ) f ( x 0 , x1 ,..., x n 1 )xn x0.Интерполяционный многочлен Ньютона n-й степени имеет видN n x f 0 f x 0 , x1 x x 0 f x 0 , x1 , x 2 x x 0 x x1 ...
f x 0 , x1 ,..., x n x x 0 x x1 ... x x n 1 .ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СЕТКИПусть исходная (интерполируемая) сеточная функция y i f x i f i , i 0, n ,задана на равномерной сетке n x 0 , x1 , x 2 ,..., x n , характеризующейся шагамиhi 1 x i 1 x i h const .Выбрав внутри равномерной сетки соответствующие шаблоны интерполяциивведем следующие определения конечных разностей:xi , xi 1 , x i , xi 1 , xi 2 ,..., xi , xi 1 ,.., xi k ,– конечная разность нулевого порядка:fi ;242– конечная разность первого порядка: f i f i 1 f i ;– конечная разность второго порядка: 2 f i (f i ) f i 1 f i f i 2 2 f i 1 f i ;– конечная разность k -го порядка: k f i (k 1 f i ) где Ckj k (1) j C kj f i j ,j 0k!;(k j )! j !– конечная разность n -го порядка в узле x 0 : n f 0 n1 f 1 n 1 f 0 .Интерполяционный многочлен Ньютона n -го порядка имеет видN nI q f 0 где q x x0hf 01!q2 f 02!q q 1 ...
n f 0n!q q 1 ... q n 1 ,- фаза интерполяции относительно точки x 0 .Пример 1. Требуется:а) найти интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени для сеточнойфункции, заданной табл. 2. Вычислить значение функции в точке x 2,5 ;б) найти интерполяционный многочлен Ньютона третьей степени для сеточнойфункции, заданной табл. 2.Таблица 20123i2345xi7587f (xi ) f i 1. Составим многочлен Лагранжа. Для этого заполним табл. 3, соответствующую табл.
1.x2123–1–2–3–1–2x 31–1x421x5 4 ( x ) ( x 2) ( x 3) ( x 4) ( x 5) 6 ( x 2)2 ( x 3) 2 ( x 4)6 ( x 5)DiТаблица 37587fiПолучаем:3fi( x 2) ( x 3) ( x 4) ( x 5) 7 ( x 2) ( x 3) ( x 4) ( x 5) 5 6 ( x 2)2 ( x 3)i 0 DiL3 ( x ) 4 ( x ) ( x 2) ( x 3) ( x 4) ( x 5) 8 ( x 2) ( x 3) ( x 4) ( x 5) 7 2 ( x 4)6 ( x 5)24375 ( x 3) ( x 4) ( x 5) ( x 2) ( x 4) ( x 5) 4 ( x 2) ( x 3) ( x 5) 6273107 ( x 2) ( x 3) ( x 4) x 3 16 x 2 x 62 .6222. Вычислим значение функции в заданной точке: L3 (2,5) 4,8125 .
Составим многочлен Ньютона, справедливый для произвольного расположенияузлов. Для этого сформируем табл. 4.xifi27354857f ( x 0 , x1 ) f ( x j , x j 1 )f ( x j , x j 1 , x j 2 )Таблица 4f ( x j , x j 1 , x j 2 , x j 3 )5223232157 2 ;32f ( x1 , x 2 ) 85 3;4 3f (x 2 , x3 ) 78 1 ;543 (2) 51 3 ; f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 ;42253522 3 .f ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) 522f ( x 0 , x1 , x 2 ) Для n 3 имеемN 3 ( x ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f ( x 0 , x1 ) ( x x 0 ) ( x x1 ) f ( x 0 , x1 , x 2 ) ( x x 0 ) ( x x1 ) ( x x 2 ) f ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) 7 ( x 2) (2) ( x 2) ( x 3) 5210733x 62 . ( x 2) ( x 3) ( x 4) ( ) x 3 16 x 2 222Поскольку в данной задаче заданы равностоящие узлы, воспользуемся такжеформулой для первого интерполяционного многочлена Ньютона:N 3(I ) (q )где q f (x0 ) f 01!q2 f 02!q (q 1) x x0 x 2 x 2.h1Составим табл.
5.2443 f 03!q (q 1) (q 2) ,Таблица 5xif i f (xi )27354857f j22 f j3 f j53491Имеем: f 0 5 7 2 ; f1 8 5 3 ; f 2 7 8 1 ;2 f 0 3 (2) 5 ;2 f1 1 3 4 ; 3 f 0 4 5 9 . ПоэтомуN 3(I ) (x ) 7 (9)15(2)35q q (q 1) q (q 1) (q 2) q 3 7q 2 q 7223!1!2!qx 213153107 ( x 3 6x 2 12x 8) 7 ( x 2 4 x 4) ( x 2) 7 x 3 16x 2 x 62.2222Часть II. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВМетодика решения задачи сглаживанияШаг 1. Записать систему:s 0 a0 s1a1 ...
s m am t 0 ,s1a0 s 2a1 ... s m 1am t1 ,s m a0 s m 1a1 ... s 2m am t m .гдеs 0 n 1 , t 0 f 0 f1 ... f n ,s k x 0k x1k ... x nk , k 1,...,2m ;t k x 0k f 0 x1k f1 ... x nk f n , k 1,..., m .Шаг 2. Решить полученную систему одним из методов решения СЛАУ и найтикоэффициенты a0 , a1 ,..., am .Шаг 3. Записать искомую сглаживающую функциюf m ( x, a ) a 0 a1 x ... a m x m .245(*)Пример 2.
Решить задачу аппроксимации сеточной функции, заданной табл. 6,при m 1 и m 2 .ixif (xi ) f i027135248Таблица 6357 Пусть степень многочлена m 1 , тогда решение ищется в видеf 1 ( x, a ) a 0 a1 x .1. Для составления системы (*):s 0 a0 s1a1 t 0 ,s1a0 s 2a1 t1найдем ее коэффициенты s 0 , s1 , s 2 .
Расчеты поместим в табл. 7, где в последней числовой строке находятся коэффициенты системы.Таблица 7xifi1xi2xi f i234514s1758727t011114s049162554s21415323596t1В результате получаем4a0 14a1 27 ,14a0 54a1 96 .2. Решение системы: a0 5,7 ; a1 0,3 .3. Искомая сглаживающая функция имеет видквадратичная погрешность 1 (a ) 1,0368 .f 1 ( x, a ) 5, 7 0,3x , а средне-Пусть m 2 , тогда решение ищется в видеf 2 ( x, a ) a 0 a1 x a 2 x 2 .1. Составим систему (*):s 0 a0 s1a1 s 2a2 t 0 ,s1a0 s 2a1 s 3a2 t1 ,s 2a0 s 3a1 s 4 a2 t 2 .246Расчеты коэффициентов системы приведены в табл.
8.Таблица 8xifi1xi2xi3xi4xi f ix i2 f i234514s1758727t011114s049162554s282764125224s31681256625978s41415323596t12845128175376t2В результате получаем систему4a0 14a1 54a2 27 ,14a0 54a1 224a2 96 ,54a0 224a1 978a2 376 .yf 2 ( x, a ) 10169 291x x220 2049f 1 ( x, a ) 5, 7 0,3x87654N 3 ( x ) L3 ( x )321012345Рис. 12476789x2. Решаем полученную систему методом Гаусса.Прямой ход:2727 1 71 7 4 14 54 27 224214542249605351,501 54 224 978 376 0 35 249 11,5 0 0272741 720,3 0 11 0 0274272710,3 .1 4 274Обратный ход:1 720 10 0Отсюда27 2 a0 274 7 a1 0,3 или 1 a2 14 a0 72 a1 272a2 27 ,4a1 7a2 0,3 ,a2 14.a2 1,4a0 27 27727 27 1 729169a2 a1 ( ) .44244 4 22020a1 31297 ,104203.
Искомая сглаживающая функция f 2 ( x, a ) тичная погрешность 2 (a ) 1,0062 .169 291x x 2 , а среднеквадра20 204На рис. 1 изображены заданная сеточная функция, сглаживающие многочленыпри m 1 и m 2 , а также интерполяционный многочлен (при этом m 3 ).Заметим, что если степень многочлена m 0 , то решение ищется в видеf 0 ( x, a ) a 0 .Для составления уравнения s 0a0 t 0 , следующего из (*), используем коэффи27 6,75 . Искомаяциенты s 0 , t 0 (табл. 8).
В результате получим 4a0 27 , или a0 4сглаживающая функция имеет вид f 0 ( x, a ) 6, 75 , а среднеквадратическая погрешность 0 (a ) 1, 0897 . При увеличении числа m среднеквадратичная погрешностьуменьшается: 0 (a ) 1 (a ) 2 (a ) . При m 3 среднеквадратичная погрешность 3 (a ) равна нулю, так как многочлен проходит через все заданные точки. 248.