1611257144-526e7dac3a84d7436687b75ae618ccf2 ([2009] Ермилов - Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов), страница 5

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных иливекторных величин (давлений, скоростей).При использовании этого метода непрерывная область потока вканале или элементе оборудования подразделяется на конечное число подобластей.Рис. 3.5. Двумерная область среды, выделеннаякак комплекс треугольных элементовНа рис. 3.5 показан пример разбиения на треугольные элементынекоторой двумерной области, например полимерного потока в канале произвольного сечения. Каждый элемент может иметь свои собственные размер и форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам исследуемогосечения канала или элемента оборудования.Метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при котором используется сетка с ячейками одинакового размера, описываемыми теми же координатами, что и геометрия сечения.

Точки пересечения кривых, ограничивающих соседние элементы, называютсяузлами. Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомоерешение.38Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треугольную, прямоугольную или четырехугольную форму. При решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменениеопределяемого параметра.Выбранные аппроксимирующие функции называются пробнымифункциями или пространственными изменяемыми моделями. Обычно в качестве таких функций используют усеченные полиномы.

Число членов (коэффициентов) в таком полиноме должно быть по крайней мере равно числу степеней свободы, присущих каждому отдельному элементу.Особенностью метода МКЭ является его гибкость при описаниисистем со сложной геометрией и смешанными граничными условиями. Он не только позволяет разбить область со сложными границамина хорошо укладывающиеся в ее контуры конечные элементы, нотакже и использовать конечные элементы с переменными размерамии изменяющейся формой.39Лекция IVТурбулентное течение полимерных материаловОпределение критерия Рейнольдса.

Разнообразие в реологических свойствах полимерных потоков как неньютоновских жидкостейтребует большого внимания к оценке критерия Рейнольдса. Формазаписи этого параметра зависит от реологического закона.Число Рейнольдса – это средняя скорость (vmid) потока полимерного материала в канале, умноженная на характерный размер канала(L) и деленная на динамический коэффициент вязкости (η):Re =vmid L.η(4.1)В качестве характерного размера можно использовать радиус(диаметр) трубы, если изучается течение в цилиндрической трубе.Если же поперечное сечение канала имеет произвольную геометрию,то за характерный размер может быть принят приведенный (эквивалентный) радиус Requ или гидравлический радиус Rr. Его величинаопределяется как радиус круга, имеющего такую же площадь исследуемого сечения канала.

При этом гидравлический радиус представляет собой отношение площади поперечного сечения канала S к егопериметру P: Rr = S/P. Заметим также, что гидравлический радиускруга в два раза меньше геометрического:Rr =S πR 2 R== .P 2πR 2Если известна функция реологического закона τ = f (τ) для исследуемого полимерного материала, то в знаменателе формулы (4.1)можно записать значение так называемой эффективной средней вязкости (ηeff ) , определяемой как тангенс угла наклона (α) прямой,midсоединяющей точку O с точкой А, соответствующей рассматриваемому градиенту скорости сдвига потока γ A (рис. 4.1). На практикеприходится пользоваться такими формами записи критерия Рей40нольдса, которые бы соответствовали рассматриваемому реологическому закону, например формуле Освальда де Виля.

Такая формазаписи называется обобщенным критерием Рейнольдса.Рис. 4.1. Определение эффективной вязкостиНа основании зависимостей, приведенных в табл. 3.1 и описывающих течение полимерного материала в цилиндрической трубе,можно определить касательное напряжение у стенки трубы:nR∆P 3n + 1   8vmid τw == K 2L 4n   D n −1,где D – диаметр трубы, K и n – параметры уравнения Освальда деВиля.В этом случае динамический коэффициент вязкости можно определить какnD 3n + 1   8vmid η = τw= K 8vmid 4n   D n −1.(4.2)После подстановки выражения (4.2) в формулу (4.1) и алгебраических преобразований получаем следующую форму записи критерия Рейнольдса для полимерного потока, подчиняющегося реологическому закону Освальда де Виля, если принять L = D:41Re =2−n8vmidD nρ 6n + 2 K n n.(4.3)Потери давления при турбулентном течении полимерных материалов в трубах можно рассчитать, если использовать теорему подобия Букингема, на основании которой из общей зависимости –∆P = f ( L, D, vmid , ρ, K ′, n′ ) – было получено следующее уравнение дляоценки ∆P :∆P =24 L ρvmidf [ Re М , K ′, n′].D 2(4.4)Входящие в формулу (4.4) реологические константы Метцнера и Рида ( K ′, n′) зависят от консистентной постоянной K и индексатечения n, входящих в формулу реологического закона Освальда деВиля:n 3n − 1 K′ = K  ; n′ = 4n 1−n.1dn(3n − 1) d ln τmidПараметры же K и n определяются, как отмечалось ранее в лекции II, физико-химическими свойствами полимерного материала.Наконец, выражение критерия Рейнольдса по Метцнеру (ReM)определяет коэффициент внутреннего трения потока и трения остенку трубы:2 − n′D n′ vmidρReМ =;K′c fr = f (Re М , n′)(4.5)Додж и Метцнер определили вид функции f, входящей в уравнение (4.5), распространив на неньютоновские жидкости логарифмический закон сопротивления потока, предложенный Карманом:421= 4,0log(Re c fr ) − 0, 4.c fr(4.6)Уравнение (4.6) для полимерных (неньютоновских) потоков, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля, имеет вид1c fr= C1 log ( Re М c1fr− n′ / 2 ) + C2 ,(4.7)где С1 и С2 – параметры, зависящие только от n′ :C1 =4,014,0−; C2 =log ( Re М c1fr− n′ / 2 ) ,0,750,75(n′)c fr (n′)(4.8)причем найденный по формуле (4.8) параметр С2 связан с константойn′ :0, 4(4.9)C2 = −.(n′)1,2Учитывая зависимости (4.8) и (4.9), выражение для коэффициента трения полимерного потока можно записать в следующей форме(рис.

4.2):1c fr=4,00, 4log ( Re М c1fr− n′ / 2 ) −.(n′)0,75(n′)1,2(4.10)Формула (4.10) является обобщением логарифмического законаКармана.На рис. 4.3 приведены эпюры скоростей для ламинарногои турбулентного потоков одного из полимеров с индексом теченияn = 0,377 и числом Re = 4875 в цилиндрической трубе. Данные получены Доджем и Метцнером на основе предложенных ими эмпирических формул. Видно, что турбулентный (с образованием вихрей) режим течения приводит к существенному увеличению коэффициентавнутреннего трения и трения о стенку трубы и, как следствие, к росту динамического коэффициента вязкости полимерного потокав сравнении с ламинарным режимом течения.43Рис.

4.2. Определение коэффициента трения как функции критерияРейнольдса по формуле (4.10) при различных значениях константы n′ :экспериментальные результаты;экстраполяцияРис. 4.3. Эпюры скоростей для ламинарного (1) и турбулентного (2)потоков расплава полимера с n = 0,377 (штриховая кривая – n = 1)44Рис. 4.4. Определение критического числа Рейнольдсакак функции параметра SОсновные параметры, характеризующие течение в ламинарном итурбулентном режимах и используемые в инженерной практике, следующие:vmid Dρ; Re = ST ;ηρv 2τD∆P DS=; T = mid ; c fr = 0,5.2ηvmidτL ρvmidRe =На рис. 4.4 показана граница перехода из одного режима в другой в виде зависимости критического числа Рейнольдса (Reкр) от параметра S.В результате исследования кинематических характеристик турбулентного потока в трубе Додж и Метцнер приняли, что для ньютоновских жидкостей, как и для неньютоновских сред, поток можетбыть разделен на три зоны:1) ламинарный подслой толщиной δ у стенки трубы (область0 ≤ y ≤ δ);452) переходная область толщиной δ1 (δ ≤ y ≤ δ1 + δ);3) развитый турбулентный поток (δ1 ≤ y ≤ R).Таблица 4.1Параметры, характеризующие режим течения потокаЛаминарный режимньютоновскиевязкопластичныесредысреды∆P D 2= 32L ηvmidc fr =16ReТурбулентный режимньютоновскиевязкопластичныесредысреды∆P D 2= f (S )L ηvmid2c fr = f (Re)2c fr = f ( S ) Re −12c fr = f (Re, S )2c fr = f (Re, T )lim f ( S ) = 32S →02c fr = f (Re, T )Рис.

4.5. Зависимость коэффициента трения (cfr) отвеличины критерия Рейнольдса (Re) для полимерныхсуспензий при различных скоростях потока (vmid)В табл. 4.5 обобщены данные, с помощью которых можно определить коэффициент трения (cfr) (рис. 4.5) при турбулентном теченииньютоновских (пластификаторы) и неньютоновских (полимерныерасплавы) жидкостей в трубах.46Лекция VТеплообмен при течении полимерных материаловК уравнениям, описывающим процесс теплообмена в потокежидкости или полимерного материала, относятся уравнения сохранения количества движения, неразрывности и теплообмена. В записиэтих формул следует учитывать изменение реологических характеристик потока от температуры.Уравнение теплообмена в обобщенном виде записывается так:∂T∂T∂T∂T+ vx+ vy+ vz=∂t∂x∂y∂z1  ∂qx ∂q y ∂qz G,=−+++ρc p  ∂x∂y∂z  ρc p A(5.1)где qx, qy, qz – удельные тепловые потоки вдоль осей x, y, z; ρ – плотность полимерного материала; сp – теплоемкость потока; А – механический эквивалент теплоты; G – диссипативная функция, равная:22 ∂vx   ∂v y   ∂vzG = 2 KI [ + + ∂x   ∂y   ∂z22 ∂vx ∂v y   ∂vx ∂vz   ∂vz+++ + + ∂y ∂x   ∂z ∂x   ∂yn −122 +2∂v y + ].∂z (5.2)Величина G характеризует ту часть механической энергии, которая переходит в тепловую и способствует нагреву полимерного потока.Например, во время экструзии высоковязкого полимерного материала через формующий канал слои потока у стенки нагреваютсяза счет больших скоростей сдвига в этом месте, изменяя при этомдинамический коэффициент вязкости, а следовательно, и величинупотерь – диссипации – энергии.Помимо функционального параметра G в уравнение притока теплоты (5.1) входят величины удельных (на единицу площади) тепловых потоков qx, qy, qz.

Согласно закону Фурье указанные потоки для47ньютоновских сред можно вычислить по формуле q = −λ gradT , гдеλ – коэффициент теплопроводности полимерного материала.Входящие в уравнение (5.2) параметры K, n – константы законаОсвальда де Виля, зависящие от физико-химических свойств полимерного материала и температуры. Поэтому необходимо учитыватьи температурную зависимость динамического коэффициента вязкости, например, с помощью эмпирической формулы Вильямса – Ланделя – Ферри.Функциональный параметр I2 – квадратичный (второго ранга)инвариант тензора скоростей деформаций, который записываетсяв виде2 ∂v  ∂v  ∂v I 2 = [2  x  + 2  y  + 2  z  + ∂x  ∂z  ∂y 222 ∂v ∂v   ∂v ∂v   ∂v ∂v +  x + y  +  y + z  +  x + z  ]1/ 2 . ∂y ∂x   ∂z ∂y   ∂z ∂x 22Для неньютоновских сред, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля, существуют и другие формы записи законаФурье:q = − B (2 I 2 )( n−1) / 2 gradT ;q = − N [gradT ]n−1 gradT ,где B и N – некоторые постоянные величины, зависящие от физикохимических свойств полимерных материалов.Теплообмен при ламинарном течении в канале.