1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 7

Êîìïëåêñíûå ÷èñëàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.43Åñòü è äðóãèå, àíàëèòè÷åñêèå ñïîñîáû ââåäåíèÿ ez , àíàëîãè÷íûå ñëó÷àþ âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé: êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êàêñóììà ðÿäà; â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ îäíà è òà æå ôóíêöèÿ.πiz 7→ w = ez−1Îïðåäåëèì òàêæå êîìïëåêñíûå ôóíêöèèeiz + e−izez + e−z,ch z =,22eiz − e−izez − e−zsin z =,sh z =.2i2Ïî ñóòè, íå òîëüêî ãèïåðáîëè÷åñêèå, íî è îáû÷íûå êîñèíóñ è ñèíóñîêàçûâàþòñÿ âñåãî ëèøü òåíÿìè êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòû; å¼ èñïîëüçîâàíèå çðèìî óïðîùàåò âûâîä ìíîãèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ òîæäåñòâ.cos z =4.3.Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâÎáîçíà÷èì ÷åðåç F îäíó èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì Q, R èëè C.

Ìíîãî÷ëåîò áóêâû x ñ êîýôôèöèåíòàìè â F íàçûâàþò âûðàæåíèå âèäàíîìa0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,ãäå âñå ak ∈ F. Åñëè áóêâå x íå ïðèäàâàòü íèêàêîãî ñìûñëà, òî å¼ñòåïåíè ïðîñòî óäîáíî îðãàíèçóþò ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñëîæåíèè è óìíîæåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ïî çíàêîìûì ïðàâèëàì: ñëàãàåìûåñ îäèíàêîâîé ñòåïåíüþ ñîáèðàþòñÿ âìåñòå, à ñòåïåíè ñêëàäûâàþòñÿïðè ïåðåìíîæåíèè. Ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ñ êîýôôèöèåíòàìèâ F îáîçíà÷àþò ÷åðåç F[x]. Èíäåêñ n ïîñëåäíåãî íåíóëåâîãî (ñòàðøåãî)êîýôôèöèåíòà ìíîãî÷ëåíà f íàçûâàþò ñòåïåíüþ f è ïèøóò deg f = n.Îïåðàöèè äåëåíèÿ íà ìíîãî÷ëåíàõ íåò, ïîòîìó ÷òî ÷àñòíûì ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, äðîáü. Îäíàêî èìååòñÿ äåëåíèå ñ îñòàòêîì.Åñëè äàíû ìíîãî÷ëåíû f è g 6= 0, òî îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿòàêèå ìíîãî÷ëåíû q è r, ÷òî deg r < deg g è f = qg + r.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïî àëãîðèòìó äåëåíèÿ ¾ñòîëáèêîì¿.Ëåììà.Âìåñòî x ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ, è â ÷àñòíîñòè,÷èñëà. Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) íàçûâàþò òàêîå ÷èñëî c, ÷òî f (c) = 0.44Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÌíîãèå çàäà÷è ìàòåìàòèêè òðåáóþò îòûñêàòü êîðíè ìíîãî÷ëåíà èëèîïèñàòü èõ ñîâîêóïíîñòü.Ïðèìåð.Ìíîãî÷ëåí x2 + 1 ∈ R[x] íå èìååò êîðíåé â R, íî èìååò äâàêîðíÿ ±i ∈ C.Ðàâíîñèëüíû óòâåðæäåíèÿ:(1) ÷èñëî c ∈ F åñòü êîðåíü f (x) ∈ F[x];(2) ëèíåéíûé ìíîãî÷ëåí (x − c) äåëèò f (x) â F[x].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî äåëåíèþ ñ îñòàòêîì, f (x) = (x − c)q(x) + r(x) èÒåîðåìà (Bezout).deg r(x) < deg(x − c) = 1, ïîýòîìó r(x) = const = r(c) = f (c).Åñëè f (x) äåëèòñÿ íà (x − c)k , íî íå íà (x − c)k+1 , ãäå k ∈ Z>0 , òî cíàçûâàþò êîðíåì f (x) êðàòíîñòè k .Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n èìååò íå áîëåå n êîðíåé,ó÷èòûâàÿ êðàòíîñòè.Òåîðåìà (Gauss, 1799; Argand, 1806).

Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C[x]ñòåïåíè n èìååò â C(1) õîòÿ áû îäèí êîðåíü;(2) â òî÷íîñòè n êîðíåé, ó÷èòûâàÿ êðàòíîñòè.Ñëåäñòâèå.Äî ñèõ ïîð, ò. å. óæå áîëåå 200 ëåò, ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàþò ¾îñÁîëåå òî÷íûì áûëî áû ãîâîðèòü ¾ôóíäàìåíòàëüíàÿ¿ (êàê íà Çàïàäå). Èñòîðè÷åñêè, ïðåäìåò àëãåáðû ñîñòîÿë âîìíîãîì â ðåøåíèè óðàâíåíèé, à çíà÷èò, èìåííî â îòûñêàíèè êîðíåéìíîãî÷ëåíîâ.

 ÷àñòíîñòè, ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ îñîáî ïî÷¼òíûé ñòàòóñîñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ.íîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû¿.Äîêàçàòåëüñòâî. (2) Ïðÿìî ñëåäóåò èç (1) ïî òåîðåìå Áåçó.(1) Äëÿ íàøåãî êóðñà ýòî òðóäíî; ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà âñ¼ åù¼ íåò, è âåðîÿòíî, íåò âîîáùå. Ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâîäà¼òñÿ ñðåäñòâàìè êîìïëåêñíîãî àíàëèçà â êóðñàõ ÒÔÊÏ. Òåì íå ìåíåå, èäåè äîêàçàòåëüñòâà íàãëÿäíî ïðåäñòàâëåíû íèæå.Ñëåäñòâèå. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C[x] ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè:f (x) = an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ),ãäå xi åñòü êîðíè f (x), ïîâòîðÿþùèåñÿ ñîãëàñíî êðàòíîñòÿì.Ãëàâà 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.45Äîêàçàòåëüñòâî. Áåð¼ì èìåþùèéñÿ ïî îñíîâíîé òåîðåìå êîðåíü x1 èïî òåîðåìå Áåçó âûäåëÿåì ìíîæèòåëü x−x1 .

Âòîðîé ìíîæèòåëü èìååòìåíüøóþ ñòåïåíü (n − 1) è êîðåíü x2 . Òàê îäèí çà äðóãèì âûäåëèì âñåìíîæèòåëè.Áîëåå ôîðìàëüíî ýòî ðàññóæäåíèå ìîæíî îôîðìèòü (õîòÿ íóæäûíåò) â âèäå èíäóêöèè ïî ñòåïåíè ðàñêëàäûâàåìîãî ìíîãî÷ëåíà.Íåïðèâîäèìûì íàçûâàþò ìíîãî÷ëåí áåç ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé, ò. å.íå ðàçëîæèìûé íà ìíîæèòåëè ìåíüøèõ ñòåïåíåé.  àëãåáðå ìíîãî÷ëåíîâ ýòî àíàëîã ïðîñòîãî ÷èñëà. Ïîëåçíî èìåòü îïèñàíèå âñåõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ â F[x]. Ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è äëÿ ðàçëè÷íûõ Fâåñüìà îòëè÷àþòñÿ, ïîñêîëüêó íåïðèâîäèìîñòü êîíêðåòíîãî ìíîãî÷ëåíà ñèëüíî çàâèñèò îò òîãî, êàêèå êîýôôèöèåíòû âîîáùå äîïóñêàþòñÿïðè ðàçëîæåíèè; ïîýòîìó ãîâîðÿò î íåïðèâîäèìîñòè, íàïðèìåð, íàä C,íàä R, íàä Q.

Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ, âìåñòå ñ òåîðåìîé Áåçó, ðåøàåò âîïðîñ íàä C è íàä R.Âñå íåïðèâîäèìûå íàä C ìíîãî÷ëåíû â C[x] ëèíåéíûå.Ëåììà. Äëÿ âñÿêîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñâîéñòâî f (z) = f (z̄) âûïîëíåíî äëÿ âñåõ z ∈ C.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñîïðÿæåíèå óâàæàåò îïåðàöèè:Ñëåäñòâèå.f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n= a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n= a0 + a1 z̄ + a2 z 2 + · · · + an z n= a0 + a1 z̄ + a2 z̄ 2 + · · · + an z̄ n= f (z̄).Íà ïîñëåäíåì øàãå ak = ak , èáî ak ∈ R.Âñå íåïðèâîäèìûå íàä R ìíîãî÷ëåíû â R[x] ëèíåéíûåèëè êâàäðàòè÷íûå ñ îòðèöàòåëüíûì äèñêðèìèíàíòîì.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàçëîæèì ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ R[x] íà ëèíåéíûå ìíîÑëåäñòâèå.æèòåëè íàä C. Âåùåñòâåííûå êîðíè ïðèíîñÿò ëèíåéíûå ìíîæèòåëèíàä R. Ïîñêîëüêó f (z) = f (z̄), âñå êîðíè âíå R ïîÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæ¼ííûìè ïàðàìè z , z̄ , òàê ÷òî â êîìïëåêñíîì ðàçëîæåíèè ïðèñóòñòâóåò(x − z)(x − z̄). Îäíàêî äëÿ êàæäîãî z ∈ C r R ìíîãî÷ëåí2(x − z)(x − z̄) = x2 − x(z + z̄) + z z̄ = x2 − 2x Re z + |z|åñòü âåùåñòâåííûé êâàäðàòè÷íûé c äèñêðèìèíàíòîì −(2 Im z)2 .46Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÍå èçâåñòíî íèêàêîãî ïðîñòîãî îïèñàíèÿ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ íàä Q; èìåþòñÿ òàêîâûå ëþáîé ñòåïåíè, íàïðèìåð, xn − 2.4.4.Èçîáðàæåíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîéÆåëàíèå íàðèñîâàòü ãðàôèê äàæå ïðîñòåéøåé êîìïëåêñíîçíà÷íîéôóíêöèè îäíîé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé íàòàëêèâàåòñÿ íà ñåðü¼çíîåïðåïÿòñòâèå: íåîáõîäèìîñòü ðèñîâàòü â ÷åòûð¼õ èçìåðåíèÿõ! Îäíàêîåñòü î÷åíü êðàñèâîå ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû.Äâà èìåþùèõñÿ ó íàñ èçìåðåíèÿ îòäàäèì íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé,à çíà÷åíèÿì ôóíêöèè ñîïîñòàâèì âàðèàöèè öâåòà.

Èìåííî, ïðåäñòàâèì|f (z)| è arg f (z) ñîîòâåòñòâåííî ÿðêîñòüþ è îòòåíêîì òî÷êè z . Èäåþäåìîíñòðèðóåò êàðòèíêà äëÿ f (z) = z ; íà îñòàëüíûõ êàðòèíêàõ ïðèìåíåíî òàêîå æå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó çíà÷åíèåì f (z) è öâåòîì.f (z) = zf (z) = z 2f (z) = z 3f (z) = z 3 + zf (z) = (z +1)(z −1)2f (z) = z 5 − i − 1Ýòîò ïðè¼ì ýôôåêòèâåí è äëÿ äðóãèõ ôóíêöèé, è çäåñü óæå âåëèêñîáëàçí ñîâåðøèòü ïîçíàâàòåëüíûé ýêñêóðñ â êîìïëåêñíûé àíàëèç.

Íîïðåæäå ñòîèò ïîÿñíèòü íà êàðòèíêàõ èäåþ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òîâñÿêèé êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n èìååò ðîâíî n êîìïëåêñíûõêîðíåé, ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòåé. êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ èçîáðàæåíèåì ìíîãî÷ëåíà f (z) âîçüì¼ìêîíòóð è îáðàòèì âíèìàíèå íà èçìåíåíèå arg f (z) ïðè îáõîäå êîíòóðà,÷òî ëåãêî îòñëåäèòü ïî èçìåíåíèþ îòòåíêà. Ïðèíÿòî âñåãäà îáõîäèòüÃëàâà 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.47êîíòóð òàê, ÷òîáû îõâàòûâàåìàÿ èì îáëàñòü áûëà ñëåâà ïî õîäó. Ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðèðàùåíèå arg f (z) ïðè îäíîêðàòíîì îáõîäåðàâíî 2πi · N , ãäå N åñòü ñóììà êðàòíîñòåé êîðíåé f (z) âíóòðè êîíòóðà.

Ïîñêîëüêó ÷èñëî êîðíåé êîíå÷íî, â êà÷åñòâå êîíòóðà ìîæíî âçÿòüîêðóæíîñòü íàñòîëüêî áîëüøîãî ðàäèóñà, ÷òî ïî ñðàâíåíèþ ñ íèì âñåêîðíè áóäóò î÷åíü áëèçêè ê íóëþ. Êàðòèíêà f (z), âìåùàþùàÿ êîíòóð,áóäåò íå îòëè÷èìà îò êàðòèíêè ôóíêöèè z n , ãäå n = deg f (z), à ïðèðàùåíèå arg f (z) áóäåò ðàâíî 2πi · n. Çíà÷èò, ñóììà êðàòíîñòåé âñåõêîìïëåêñíûõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà âñåãäà ðàâíà åãî ñòåïåíè.f (z) = e3zf (z) =z3 − 1z3 + 1f (z) = cos 3zf (z) = zz3 − 1z3 + 1f (z) = tg 3zòåòðàýäðè÷åñêàÿäðîáü Êëåéíà48Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÃëàâà 5.

ÍÀ×ÀËÀ ËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ5.1.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÇàéì¼ìñÿ îáùèìè ñèñòåìàìè m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,...................................(F)am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,ñ n íåèçâåñòíûìè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ m, n ∈ Z>1 . Êîýôôèöèåíòû aijè ñâîáîäíûå ÷ëåíû bj ÷àùå âñåãî ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè.Âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è, ãäå îíè êîìïëåêñíûå, ðàöèîíàëüíûå, ëèáî åù¼áîëåå õèòðûå, íî ïîíà÷àëó ýòî íå ñóùåñòâåííî äëÿ íàøåé áóäóùåéòåîðèè. Ïîýòîìó áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç F îñíîâíóþ ÷èñëîâóþ ñèñòåìó,â êîòîðîé ëåæàò çíà÷åíèÿ âñåõ èçâåñòíûõ è íåèçâåñòíûõ áóêâ.Èçó÷àÿ ëèíåéíûå ñèñòåìû, óäîáíî îñòàâëÿòü â òåíè íåèçâåñòíûå èâûïèñûâàòü ëèøü îñíîâíóþ è ðàñøèðåííóþ ìàòðèöû ñèñòåìû:a11 a12 .

. . a1na11 a12 . . . a1n b1 ............. , ................ .am1 am2 . . . amnam1 am2 . . . amn bmÐåøåíèåì ñèñòåìû (F) íàçûâàþò ñïèñîê x̂1 , x̂2 , . . . , x̂n ýëåìåíòîâ F,ïîäñòàíîâêà êîòîðûõ âìåñòî xi ïðåâðàùàåò âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (F)â òîæäåñòâà. Ïî êîëè÷åñòâó ðåøåíèé ñèñòåìû äåëÿòñÿ íà ñîâìåñòíûåè íåñîâìåñòíûå, íà îïðåäåë¼ííûå è íåîïðåäåë¼ííûå:ÐåøåíèÿíåòîäíîìíîãîñèñòåìàíåñîâìåñòíàñîâìåñòíàîïðåäåëåíàíåîïðåäåëåíàÄâå ëèíåéíûå ñèñòåìû îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ ýêâèâàëåíòíû, åñëè ìíîæåñòâà èõ ðåøåíèé îäèíàêîâû. Äâà ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò ñèñòåìó â åé ýêâèâàëåíòíóþ:(R1) óìíîæåíèå îäíîãî óðàâíåíèÿ íà íåíóëåâîé ýëåìåíò α ∈ F;(R2) ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî.Êîìáèíàöèÿìè ýòèõ ïðèìèòèâîâ ïðåäñòàâèìû ïðåîáðàçîâàíèÿ:(R20 ) ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, ïîìíîæåííîãî íàëþáîé ýëåìåíò èç F;(R3) ïåðåñòàíîâêà ïàðû óðàâíåíèé ìåñòàìè.Ãëàâà 5.

Íà÷àëà ëèíåéíîé àëãåáðûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.49×àñòî ñïèñîê ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîñòàâëÿþò èç ïðåîáðàçîâàíèé (R1), (R20 ) è (R3): ýòî óäîáíåå äëÿ ïðèìåíåíèé íà ïðàêòèêå, â òîâðåìÿ êàê ïðîñòîòà (R1) è (R2) óäîáíà â äîêàçàòåëüñòâàõ.Äâå ëèíåéíûå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè îäíà ïîëó÷àåòñÿèç äðóãîé êîíå÷íîé öåïî÷êîé ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Ëåììà.5.2.Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ×òîáû ïåðåéòè îò äàííîé ñèñòåìû ê áîëåå ïðîñòîé, ïóò¼ì ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìåòîäè÷íî çàíóëÿþò êîýôôèöèåíòû.Ïðèìåð.Äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé âûïèñàíà ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà:−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 = 3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6,−1 210 1 −3 20 −1 5 −10 −2 4 −5Ýòà ñèñòåìà ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.

. .−1 0 1−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1, 0 0 10x1 + x3 − x4 + 3x5 = 5,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6,1 0 −2−1 0 1−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1, 0 0 10x1 + x3 − x4 + 3x5 = 5,0x1 − x3 + x4 − 3x5 = −5,0 0 −1−1 0 0−x1 + 0x3 − 2x4 − x5 = −4, 0 0 10x1 + x3 − x4 + 3x5 = 5,0x1 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0,0 0 0ïðèâîäèòñÿ ê âèäó1 0 0 x1 + 0x3 + 2x4 + x5 = 4, 0 0 10x1 + x3 − x4 + 3x5 = 5,0x1 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0,0 0 0Îáùåå ðåøåíèå−3 2−1 34 −5−3 2−1 31 −3−2 −1−1 30 02−1013013 .−615 ,−615 ,−5−45 ,045 .0èñõîäíîé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäåx1 = 4 − 2x4 − x5 ,x3 = 5 + x4 − 3x5 ,x2 , x4 , x5 ∈ R ïðîèçâîëüíûå.Çíà÷èò, ñèñòåìà ñîâìåñòíà è íåîïðåäåëåíà; ïðè êàæäîì íàáîðå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ x2 , x4 , x5 èìååòñÿ îäíî ðåøåíèå.Ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ íàçîâ¼ìñòóïåí÷àòîé,êîãäà:50Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè(1) ïåðâûé ñëåâà íåíóëåâîé ýëåìåíò êàæäîé ñòðîêè åñòü åäèíèöà,íàçûâàåìàÿ ãëàâíîé;(2) ñòîëáåö, ñîäåðæàùèé ãëàâíóþ åäèíèöó, â îñòàëüíîì íóëåâîé;(3) ãëàâíûå åäèíèöû óõîäÿò íàïðàâî è âíèç:...