1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 4

Èòàê, â ñòðîêå (8) óðàâíåíèÿ ñòàëè åäèíîîáðàçíû.2.3.Ðàññòîÿíèÿ è ïðîåêöèèÐàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ ôèãóðàìè íàçûâàþò êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè íà îäíîé ôèãóðå äî òî÷êè íà äðóãîé. Ðàññòîÿíèÿ ìåæäóòî÷êàìè, ïðÿìûìè è ïëîñêîñòÿìè íàõîäÿò ÷åðåç ðàçëè÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ; ñîáåð¼ì âñå ñëó÷àè â òàáëèöó, à ôîðìóëû äëÿ óêàçàííûõ â íåéâåëè÷èí íàéä¼ì ïîçæå.  ýòîì ðàçäåëå áîëüøèíñòâî ôîðìóë ñîäåðæàòâåêòîð ∆r = r2 − r1 ìåæäó íà÷àëüíûìè òî÷êàìè ôèãóð.Åñëè ôèãóðû ïàðàëëåëüíû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îäíà èçíèõ çàìåíÿåòñÿ ëþáîé ñâîåé òî÷êîé; ïðè ýòîì â ñëó÷àå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå çàìåíÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïîòîìó ÷òî ðàññòîÿíèÿ îòå¼ òî÷åê äî ïëîñêîñòè îäèíàêîâû, íî íå íàîáîðîò.

Áåç ïàðàëëåëüíîñòèíåòðèâèàëåí òîëüêî ñëó÷àé ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ.åñëè k•M♦O• Dp Ds Ds DvM Ds DsDs♦ DsDsO Dv DsDvåñëèM ♦06kO000DtÃëàâà 2. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.23Íàéä¼ì îáåùàííûå ðàññòîÿíèÿ. Ðàâåíñòâî Dp = |∆r| åñòü ïðîñòîîïðåäåëåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè, à ôîðìóëûDs =|n2 · ∆r|,|n2 |Dv =|v2 ×∆r|,|v2 |Dt =|(v1 ×v2 ) · ∆r|.|v1 ×v2 |äëÿ ðàññòîÿíèé Ds , Dv è Dt ñëåäóþò èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî, âåêòîðíîãî è ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèé.(Ds ) Ýòî ðàññòîÿíèå ðàâíî äëèíå (íîðìå) ïðîåêöèè ∆rkn2 .r1n2r2n2r2r1v2(Dv ) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà äåëèòñÿ íà äëèíó åãî îñíîâàíèÿ.r1v2r2(Dt ) Îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà äåëèòñÿ íà ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ.Êàê óçíàòü ïîëîæåíèå ïðîåêöèé òî÷åê, ðåàëèçóþùèõ êðàò÷àéøèåðàññòîÿíèÿ? Ïðèâëåêàåòñÿ ïðîåêòèðîâàíèå íà âåêòîðû, çàäàþùèå äàííóþ ïðÿìóþ èëè ïëîñêîñòü.

Ïîýòîìó åñòåñòâåííî âîçíèêàþò äâà ñëó÷àÿ: ïðè ðàçìåðíîñòè ôèãóðû, ðàâíîé 1, èñïîëüçóåì å¼ íàïðàâëÿþùèéâåêòîð, à ïðè êîðàçìåðíîñòè, ðàâíîé 1 íîðìàëü ê íåé.r1n2r2r1r2n2v2r1r2v224Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÏîëîæåíèå ïðîåêöèè r⊥ òî÷êè r1 íà ïðÿìóþ r = r2 + tv2 êàê (♦)íà ïëîñêîñòè, òàê è (O) â ïðîñòðàíñòâå, äà¼ò ôîðìóëàr2 − r⊥ = (r2 − r1 )kv2 =⇒ r⊥ = r2 − ∆rkv2 = r2 −∆r · v2v2 .v2 · v2Ïîëîæåíèå ïðîåêöèè r⊥ òî÷êè r1 íà ïëîñêîñòü (M) èëè ïðÿìóþ (♦) ñíîðìàëüíûì óðàâíåíèåì n2 · (r − r2 ) = 0 äà¼ò ôîðìóëàr⊥ − r1 = (r2 − r1 )kn2 =⇒ r⊥ = r1 + ∆rkn2 = r1 +∆r · n2n2 .n2 · n2 ñëó÷àå (♦) îíè äàäóò îäèíàêîâûå îòâåòû, èáî ∆r = ∆rkv2 + ∆rkn2ïîòîìó ÷òî v2 è n2 îðòîãîíàëüíû.Íà êàæäîé èç äàííîé ïàðû ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ r = r1 + t1 v1è r = r2 + t2 v2 åñòü òî÷êà, áëèæàéøàÿ ê äðóãîé ïðÿìîé.

Ñîäåðæàùóþýòè äâå òî÷êè ïðÿìóþ íàçûâàþò îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííûìïðÿìûì, à òî÷êè ýòè íàçûâàþò åãî îñíîâàíèÿìè. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèåîáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà ìîæíî íàéòè, íå çíàÿ ñàìèõ îñíîâàíèé:(v1 ×v2 , v1 , r − r1 ) = 0,(v1 ×v2 , v2 , r − r2 ) = 0.Êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé âûðàæàåò ÷åðåç ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèåóñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè è çàäà¼ò ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùóþ îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ è èñêîìûé îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð. Òîìó, êòî çàïîìíèë ýòî ñâîéñòâî, íå ïðèä¼òñÿ çàïîìèíàòü ñàìè ôîðìóëû.Ïîäñòàâëÿÿ â ýòè óðàâíåíèÿ r = r1 + t1 v1 è r = r2 + t2 v2 , ñðàçóíàõîäèì çíà÷åíèÿ tk , îòâå÷àþùèå ïîëîæåíèÿì îñíîâàíèé:t1 =(∆r×v2 ) · (v1 ×v2 )(v1 ×v2 ) · (v1 ×v2 )èt2 = −(v1 ×v2 ) · (v1 ×∆r).(v1 ×v2 ) · (v1 ×v2 )Çäåñü, êàê è ïðåæäå, ∆r = r2 − r1 .

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿèìåííîìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè ãîðàçäî ïðîùå ïîëüçîâàòüñÿ óêàçàííîé âûøå ôîðìóëîé (Dt ), ÷åì èñêàòü îñíîâàíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà.ðàññòîÿíèÿÃëàâà 2. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè2.4.âåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.25Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåéÂçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ/ïëîñêîñòåé, êîãäà ïðÿìûå çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå, à ïëîñêîñòè â íîðìàëüíîì, ìîæíîîïðåäåëèòü ïî èõ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðàì v1 , v2 , íîðìàëÿì n1 , n2 èâåêòîðó ∆r = r2 − r1 ìåæäó èõ íà÷àëüíûìè òî÷êàìè.Äàn1 × n2 = 0?ÍåòÄà∆r · n2 = 0?ÍåòÑîâïàäàþòÏàðàëëåëüíûÏåðåñåêàþòñÿÄàv1 · n2 = 0?ÍåòÄà∆r · n2 = 0?ÍåòÏðÿìàÿ âëîæåíàÏàðàëëåëüíûÄàÄà∆r × v2 = 0?Ïåðåñåêàþòñÿv1 × v2 = 0?ÄàÍåòÑîâïàäàþòÏàðàëëåëüíûÍåò∆r · (v1 × v2 ) = 0?ÍåòÏåðåñåêàþòñÿÑêðåùèâàþòñÿ26Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÃëàâà 3.

ËÈÍÈÈ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ3.1.Ýëëèïñû, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëûÀíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ îáëàñòü ãåîìåòðèè, â êîòîðîé ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû èçó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé àëãåáðû íà îñíîâå ïðèìåíåíèÿ êîîðäèíàò. Ïðèëîæåíèÿ ê ãåîìåòðèè áîëåå ñëîæíîéàëãåáðû îòíîñÿò â îáëàñòü àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè, à ïðèëîæåíèÿìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â îáëàñòü äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè.Ýòè ïðåäìåòû çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿò àíàëèòè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ ïîñâîåé òðóäíîñòè è îáú¼ìó; äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî îáà îíè â ÷èñëå àêòèâíî ðàçâèâàþùèõñÿ îáëàñòåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè.Òðàäèöèîííî âûäåëÿþò äâå çàäà÷è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè:(1) ôèãóðàóðàâíåíèÿ (çàäàíèå ôèãóð);(2) óðàâíåíèÿôèãóðà (èññëåäîâàíèå ôèãóð).Íàøè öåëè ïðè èçó÷åíèè àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè âåñüìà ñêðîìíû:Óðàâíåíèÿëèíåéíûåêâàäðàòè÷íûåÔèãóðûíà ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâåïðÿìûåêîíèêèïëîñêîñòè è ïðÿìûåêâàäðèêèÈòàê, ëèíèè è ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìû èçó÷àëè â ïðåäûäóùåéãëàâå, à â ýòîé çàéì¼ìñÿ ëèíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà, îñòàâèâ ïîâåðõíîñòè íà êîíåö ñåìåñòðà.

Âàæíåéøèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ýëëèïñû(è îêðóæíîñòè êàê èõ ÷àñòíûé èëè ïðåäåëüíûé ñëó÷àé), ïàðàáîëû èãèïåðáîëû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî ñïèñêà ê ýòèì òð¼ì òèïàì íóæíîäîáàâèòü øåñòü ðàçëè÷íûõ òèïîâ ðàñïàäåíèÿ èëè âûðîæäåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèõñÿ êàê ïàðà ïðÿìûõ, ïðÿìàÿ, òî÷êà èëè ïóñòîå ìíîæåñòâî.Çàôèêñèðóåì íà ïëîñêîñòè ïðÿìóþ δ (äèðåêòðèñó) è íå ëåæàùóþ íàíåé òî÷êó F (ôîêóñ). Âûáåðåì ÷èñëî e > 0 (ýêñöåíòðèñèòåò) è ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê X , ðàññòîÿíèÿ îò êàæäîé èç êîòîðûõäî δ è F ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì d(X, F ) = e · d(X, δ).Èç îïðåäåëåíèÿ íåñëîæíî âûâåñòè óðàâíåíèå ýòîé ôèãóðû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (ϕ, ρ), ïîìåùàÿ ïîëþñ â ôîêóñ è íàïðàâëÿÿ îñü ïðî÷üîò äèðåêòðèñû:ep,(b)ρ=1 − e cos ϕãäå p åñòü ðàññòîÿíèå îò ôîêóñà äî äèðåêòðèñû.

Çíà÷åíèå ýêñöåíòðèñèòåòà îïðåäåëÿåò òèï è ôîðìó ïîëó÷åííîé ëèíèè.Ãëàâà 3. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.270.80.91.01.21.31.11.4Ïðèìåð.Èìåííî ýòèìè ôîðìàìè (åñëè ïðåíåáðå÷ü ðàçëè÷íûìè ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè) îáëàäàþò îðáèòû ïëàíåò è òðàåêòîðèè çàðÿæåííûõ÷àñòèö â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ óðàâíåíèå (b) äàñò x2 + y 2 = e2 (x + p)2 , íî ýòî íå òà çàïèñü, êîòîðóþ ïðèíÿòîïðîïàãàíäèðîâàòü.

Äàëüøå îáû÷íî âåäóò àíàëèç îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî òèïà, ñäâèãîì íà÷àëà ïåðåõîäÿ ê êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèÿì.  íèõóäîáíû íîâûå ïàðàìåòðû a è b, êðîìå ñëó÷àÿ ïàðàáîëû. Îñü Oy êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íå ñîâïàäàåò ñ äèðåêòðèñîé.ÔèãóðàÝêñöåíòðèñèòåòÊàíîíè÷åñêîåóðàâíåíèåÝëëèïñÏàðàáîëàe<1e=1e>1y 2 − 2px = 0x2y2− 2 =12abx2y2+ 2 =12abÃèïåðáîëàÏðè ñòðåìëåíèè ýêñöåíòðèñèòåòà ê íóëþ ýëëèïñ ïðåâðàùàåòñÿ âîêðóæíîñòü; òîãäà â êàíîíè÷åñêîì óðàâíåíèè áóäåò a = b.

 ïîëÿðíûõêîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñëóæèò ρ = const.28Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÔîêóñ F ëåæèò íà îñè Ox, à â ñëó÷àÿõ ýëëèïñà è ãèïåðáîëû êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ íåèçìåííû ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíî îáåèõîñåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ôèãóðû èìåþò è ïî âòîðîìó ôîêóñó.Äëÿ êàæäîé òî÷êè P íà ýëëèïñåèëè ãèïåðáîëå ñ ôîêóñàìè F1 è F2 ðàññòîÿíèÿ di = d(P, Fi) äî ôîêóñîâñâÿçàíû ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:(1) äëÿ ýëëèïñà d1 + d2 = 2a, íåçàâèñèìî îò òî÷êè P ;(2) äëÿ ãèïåðáîëû d1 − d2 = ±2a, íåçàâèñèìî îò òî÷êè P , ïðè÷¼ìðàçíûå çíàêè ñîîòâåòñòâóþò äâóì âåòâÿì ãèïåðáîëû.Òåîðåìà (ôîêàëüíûå ñâîéñòâà).Äîêàçàòåëüñòâî.(1) Äèðåêòðèñû ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó, ïîýòîìóñóììà ðàññòîÿíèé îò P äî íèõ ïîñòîÿííà, à ïî èçíà÷àëüíîìó îïðåäåëåíèþ ýëëèïñà îíà ðàâíà (d1 + d2 )/e.

Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî îíà æå ðàâíà2a, ò. å. áîëüøîé îñè, åñëè âûáðàòü P â âåðøèíå ýëëèïñà.(2) Àíàëîãè÷íî. Ðàçíîñòü âîçíèêàåò, ïîòîìó ÷òî îáå äèðåêòðèñûëåæàò ìåæäó äâóìÿ âåòâÿìè ãèïåðáîëû.Ýëëèïñ è ãèïåðáîëà, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò îáà ôîêóñà, ïåðåñåêàþòñÿ îðòîãîíàëüíî.Òåîðåìà (îðòîãîíàëüíîñòü).Äîêàçàòåëüñòâî.Îáîçíà÷èì ÷åðåç di = d(P, Fi ) ðàññòîÿíèÿ îò îáùåéòî÷êè P ýëëèïñà è îäíîé âåòâè ãèïåðáîëû äî èõ îáùèõ ôîêóñîâ Fi .Ðàññìîòðèì â ìèêðîñêîï âáëèçè òî÷êè P ïàðû îêðóæíîñòåé ñ öåíòðàìè â ôîêóñàõ è ðàäèóñàìè di ± ε äëÿ î÷åíü ìàëåíüêîãî ε > 0.Ãëàâà 3.

Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.29Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì óâåëè÷åíèè ýòè îêðóæíîñòè íå îòëè÷èìû îò äâóõ ïàð ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ðàçäåë¼ííûõ ðàññòîÿíèåì 2ε,à òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçóþò êðîøå÷íûé ðîìáèê. Ýëëèïñ æå èãèïåðáîëà, áëàãîäàðÿ ñâîèì ôîêàëüíûì ñâîéñòâàì, ïðè ýòîì íå îòëè÷èìû îò äèàãîíàëåé ðîìáèêà. Ïðè ñòðåìëåíèè ε → 0 äèàãîíàëè äàþòâ ïðåäåëå êàñàòåëüíûå ê ýòèì ëèíèÿì.Ïðèìåð.Ïîìåñòèì ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû q â òî÷êè F1 è F2 .

Ñèëîâûå ëèíèè íàâåä¼ííîãî èìè (â ïëîñêîñòè) ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áóäóòãèïåðáîëàìè ñ ôîêóñàìè Fi , à îðòîãîíàëüíûå èì ýëëèïñû áóäóò ýêâèïîòåíöèàëÿìè.Ïîìåñòèì èñòî÷íèê ñâåòà â ôîêóñýëëèïñà, ïàðàáîëû, èëè ãèïåðáîëû.(1) Îòðàçèâøèñü îò ýëëèïñà, ëó÷è ïðîéäóò ÷åðåç äðóãîé ôîêóñ.(2) Îòðàçèâøèñü îò ïàðàáîëû, ëó÷è ñòàíóò ïàðàëëåëüíû å¼ îñè.(3) Îòðàçèâøèñü îò ãèïåðáîëû, ëó÷è áóäóò êàçàòüñÿ âûïóùåííûìè èç äðóãîãî ôîêóñà.Òåîðåìà (îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà).Äîêàçàòåëüñòâî.