1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (824998)
Текст из файла
ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþíîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÀ. Ï. ÓëüÿíîâÊîíñïåêò ëåêöèéïî ëèíåéíîé àëãåáðå è ãåîìåòðèè×àñòü IÓ÷åáíîå ïîñîáèåïî êóðñó ëèíåéíîé àëãåáðû è ãåîìåòðèèÍîâîñèáèðñê2009Ãëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.3Ãëàâà 1. ÂÅÊÒÎÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ1.1.Âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâåÎïðåäåëåíèå âåêòîðà. Çíàêîìÿñü ñ âåêòîðàìè, ìû îïèðàåìñÿ íà èç-âåñòíûå èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè ïîíÿòèÿ: ïðîñòðàíñòâî ñ ñîäåðæàùèìèñÿ â í¼ì òî÷êàìè, ïðÿìûå, ïëîñêîñòè. Åäèíèöó èçìåðåíèÿ äëèíáóäåì ñ÷èòàòü âûáðàííîé ðàç è íàâñåãäà.Îïðåäåëåíèå.Âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà òî÷åê. Ïåðâàÿòî÷êà åñòü íà÷àëî âåêòîðà, à âòîðàÿ åãî êîíåö.
Åñëè íà÷àëî è êîíåöâåêòîðà ñîâïàäàþò, òî ýòî íóëåâîé âåêòîð; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âåêòîðìîæíî ïðåäñòàâèòü íàïðàâëåííûì îòðåçêîì.Ðàññòîÿíèå ìåæäó íà÷àëîì è êîíöîì âåêòîðà íàçûâàþò åãî äëèíîé,ìîäóëåì, ëèáî àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé.Ïðèìåð.Ìíîãèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè: ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå, ñèëà. . .Âåêòîðû îáîçíà÷àþò ñòðåëî÷êàìè íàä áóêâàìè (~a, íà ïèñüìå) ëèáîæèðíûì øðèôòîì (a, â êíèãàõ è ýòîì êîíñïåêòå). Äëèíó âåêòîðà aîáîçíà÷àþò |a|.Íà÷àëî âåêòîðà òàêæå íàçûâàþò åãî òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ. Ðàçëè÷àþòâåêòîðû ïðèëîæåííûå è ñâîáîäíûå. Ñâîáîäíûìè âåêòîðàìè ïîëüçóþòñÿ, êîãäà íàïðàâëåíèå è äëèíà ñóùåñòâåííû, à òî÷êà ïðèëîæåíèÿ áåçðàçëè÷íà.
Ýòî îáû÷íàÿ ñèòóàöèÿ â ìàòåìàòèêå, ãäå ïîýòîìó ïðèíÿòîíàçûâàòü âåêòîðàìè èìåííî ñâîáîäíûå âåêòîðû, à ïðè ðàññìîòðåíèèïðèëîæåííîãî âåêòîðà ââîäèòü óòî÷íåíèå îáîðîòîì ¾âåêòîð, îòëîæåííûé îò òî÷êè¿.  ýòîì êóðñå ìû ñëåäóåì ìàòåìàòè÷åñêîìó óïîòðåáëåíèþ. Èòàê, âåêòîð ìîæíî ñâîáîäíî ïåðåíîñèòü îò îäíîé òî÷êèïðèëîæåíèÿ ê äðóãîé, à.ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ïåðåíîñà âåêòîðñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì èñõîäíîìóÎïåðàöèè ñ âåêòîðàìè. Ñëîæåíèå äâóõ âåêòîðîâ a è b âûïîëíÿåòñÿïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà: îòêëàäûâàåì b îò êîíöà a, è òîãäà íà÷àëîì èêîíöîì a + b áóäóò íà÷àëî a è êîíåö b.
Èíîãäà óäîáíåå ðàâíîñèëüíîåïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà: a + b åñòü äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ñîñòîðîíàìè a è b.ba+babaaa+bb+cbc4Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÑëîæåíèå âåêòîðîâ îáëàäàåò àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì îáû÷íîãî ñëîæåíèÿ ÷èñåë:(1) (a + b) + c = a + (b + c) äëÿ âñåõ âåêòîðîâ a, b, c;(2) a + b = b + a äëÿ âñåõ âåêòîðîâ a, b;(3) åñòü òàêîé âåêòîð 0, ÷òî a + 0 = a äëÿ êàæäîãî âåêòîðà a;(4) äëÿ êàæäîãî a åñòü òàêîé âåêòîð −a, ÷òî a + (−a) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. (1) Àññîöèàòèâíîñòü ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíà.Óòâåðæäåíèå.(2) Êîììóòàòèâíîñòü ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíà.(3) Ýòî íóëåâîé âåêòîð.(4) Âåêòîð −a ïîëó÷àåòñÿ èç a ïåðåñòàíîâêîé íà÷àëà è êîíöà.Óìíîæåíèå âåêòîðà a íà âåùåñòâåííîå ÷èñëî λ âûïîëíÿåòñÿ óìíîæåíèåì äëèíû a íà |λ|, à òàêæå èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå â ñëó÷àå λ < 0.
Ïîýòîìó 1a = a è (−1)a = −a.Óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà ÷èñëà îáëàäàåò àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì îáû÷íîãî óìíîæåíèÿ÷èñåë, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:(1) 1a = a;(2) (λµ)a = λ(µa);(3) (λ + µ)a = λa + µa;(4) λ(a + b) = λa + λb.Äîêàçàòåëüñòâî. Âñ¼ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.Óòâåðæäåíèå.1.2.Áàçèñ è êîîðäèíàòûÄâà âåêòîðà, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ò.
å. èìåþùèå îäèíàêîâûåèëè ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ, íàçûâàþò êîëëèíåàðíûìè. Òðè âåêòîðà, ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþò êîìïëàíàðíûìè.Åñëè âåêòîðû a, b íå êîëëèíåàðíû, òî êàæäûé âåêòîð d, ëåæàùèé â îäíîé ïëîñêîñòè ñ íèìè, ïðåäñòàâëÿåòñÿ èõ êîìáèíàöèåé: d = αa + βb.Äîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà d ïðîâåä¼ì ïî ïðÿ-Óòâåðæäåíèå.ìîé, ïàðàëëåëüíîé êàæäîìó èç âåêòîðîâ a è b. Ñòîðîíû îáðàçîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû αa è βb, ãäå êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿêàê îòíîøåíèÿ äëèí ñ ó÷¼òîì íàïðàâëåíèÿ.Åñëè âåêòîðû a, b, c íå êîìïëàíàðíû, òî êàæäûéâåêòîð d ïðåäñòàâëÿåòñÿ èõ êîìáèíàöèåé: d = αa + βb + γc.Óòâåðæäåíèå.Ãëàâà 1.
Âåêòîðíàÿ àëãåáðàbâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.5d = 54 b − 34 aaÄîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà d ïðîâåä¼ì ïî ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé êàæäîé ïàðå âåêòîðîâ èç òðîéêè {a, b, c}. Ñòîðîíûîáðàçîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû αa, βb è γc.Èòàê, âûáðàâ òðè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðà, ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòüëþáîé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà èõ êîìáèíàöèåé. Ïîýòîìó òàêóþ óïîðÿäî÷åííóþ òðîéêó {a, b, c} íàçûâàþò áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà. Êîýôôèöèåíòû α, β , γ ðàçëîæåíèÿ d = αa + βb + γc ïî ýòîìó áàçèñó íàçûâàþòêîîðäèíàòàìè âåêòîðà d îòíîñèòåëüíî âûáðàííîãî áàçèñà.Êîìïëàíàðíîñòü è ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü.
Åñëè âåêòîðû a, bè c êîìïëàíàðíû, òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êîìáèíàöèåé äâóõ äðóãèõ: c = αa + βb. Åñëè ñðåäè äàííûõ âåêòîðîâ íåòêîëëèíåàðíûõ, òî êàæäûé èç íèõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé äâóõäðóãèõ.Ñëåäóþùàÿ ðàâíîñèëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà èçáåãàåò óñëîâíîñòåé è èñêëþ÷åíèé: âåêòîðû a, b, c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàíàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà α, β , γ , íå âñå ðàâíûå íóëþ, ÷òî êîìáèíàöèÿαa + βb + γc ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó.
Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâîëüíîå êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ è îêàçûâàåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî óäîáíîé ïðè äàëüíåéøåì èçó÷åíèè ëèíåéíîé àëãåáðû.Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî {u1, . . . , un} âåêòîðîâ íàçûâàþò ëèíåéíî íåçà-âèñèìûì,åñëèα1 u1 + . . . + αn un = 0 =⇒ âñå αi ðàâíû íóëþ.ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàþò â ïðîòèâíîì ñëó÷àå: åñëèñóùåñòâóþò òàêèå êîýôôèöèåíòû α1 , . . . , αn , íå âñå ðàâíûå íóëþ, ÷òîËèíåéíî çàâèñèìûìα1 u1 + . .
. + αn un = 0.Îðèåíòàöèÿ ïðîñòðàíñòâà. Âñå áàçèñû â ïðîñòðàíñòâå äåëÿòñÿ íàäâà êëàññà. ×òîáû óëîâèòü ðàçëè÷èå ìåæäó êëàññàìè, ïðåäñòàâèì,÷òî ïåðâûå äâà âåêòîðà, e1 è e2 , óæå âûáðàíû. Ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåçíèõ ïëîñêîñòü äåëèò ïðîñòðàíñòâî íà äâå ÷àñòè, à òðåòèé âåêòîð e3 ,îòëîæåííûé îò òîé æå òî÷êè, ÷òî è ïåðâûå äâà, äîëæåí ëåæàòü ïîîäíó ñòîðîíó îò ýòîé ïëîñêîñòè. Ïîâåðí¼ì e1 â íàïðàâëåíèè e2 ÷åðåçìåíüøèé èç îáðàçîâàííûõ èìè äâóõ óãëîâ. Ñ êîíöà e3 ýòî âðàùåíèå6Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèe3e2e1e3e2e1áóäåò êàçàòüñÿ èäóùèì ëèáî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ëèáî ïðîòèâ. Áàçèñ{e1 , e2 , e3 } ïðèíÿòî íàçûâàòü ëåâûì â ïåðâîì ñëó÷àå è ïðàâûì âîâòîðîì.Äëÿ íåêîòîðûõ ïîñòðîåíèé íåîáõîäèìî ðåøèòü, áàçèñû êàêîãî èçäâóõ êëàññîâ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, à êàêîãî îòðèöàòåëüíûìè.Ýòîò âûáîð íàçûâàåòñÿ âûáîðîì îðèåíòàöèè ïðîñòðàíñòâà, à êîãäà îíñäåëàí, ïðîñòðàíñòâî íàçûâàþò îðèåíòèðîâàííûì.
Êàê ïðàâèëî, ïîëîæèòåëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ ïðàâûå áàçèñû. îðèåíòèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ïîíÿòèå îáú¼ìà äîïîëíÿþò áîëååòîíêèì ïîíÿòèåì îðèåíòèðîâàííîãî îáú¼ìà. Äîñòàòî÷íî ââåñòè åãî äëÿïàðàëëåëåïèïåäîâ. Åñëè áàçèñ ïîëîæèòåëåí, òî îðèåíòèðîâàííûé îáú¼ì ïîñòðîåííîãî íà í¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîëîæèòåëåí è ðàâåí îáû÷íîìó îáú¼ìó; äëÿ îòðèöàòåëüíûõ áàçèñîâ îðèåíòèðîâàííûé îáú¼ì îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî ñâîèì îòðèöàòåëüíûì çíàêîì.1.3.Ñêàëÿðíîå, ñìåøàííîå è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèÿ ýòîì ðàçäåëå ãåîìåòðè÷åñêè îïðåäåëåíû íàçâàííûå îïåðàöèè èîòìå÷åíû èõ ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà: ïîâåäåíèå ïðè ïåðåñòàíîâêàõ àðãóìåíòîâ, ïðè óìíîæåíèè îäíîãî àðãóìåíòà íà ÷èñëî, à òàêæå äèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, âåäóùàÿ ê ëèíåéíîñòè ïî êàæäîìóàðãóìåíòó.Âî âñåõ òð¼õ ñëó÷àÿõ íåñëîæíî ïðîâåðèòü ãåîìåòðè÷åñêè ïåðâûåäâà ñâîéñòâà.
Äîêàçàòåëüñòâà äèñòðèáóòèâíîñòè êàæäîãî ïðîèçâåäåíèÿ îòñðî÷åíû â öåëÿõ ñêîðåéøåãî äîñòèæåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ôîðìóëäëÿ ðàáîòû ñ ýòèìè ïðîèçâåäåíèÿìè.Îïðåäåëåíèå.Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b, óãîë ìåæäóêîòîðûìè ðàâåí ϕ, íàçûâàþò ÷èñëî |a| · |b| cos ϕ. õîäó íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. ×àùåâñåãî ýòî a · b ëèáî (a, b).Êîãäà a = √b, ïîëó÷àåì ñâÿçü ñêàëÿðíîãî êâàäðàòà âåêòîðà ñ åãîäëèíîé: |a| = a · a.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:Óòâåðæäåíèå.Ãëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà(1)(2)(3)(4);âåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.a·b=b·a(λa) · b = λ(a · b)(a1 + a2 ) · b = a1 · b + a2 · b(λ1 a1 + λ2 a2 ) · b = λ1 (a1 · b) + λ2 (a2 · b);;Äîêàçàòåëüñòâî.7.(1) Ôîðìóëà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íå ÷óâñòâèòåëüíà ê ïåðåñòàíîâêå âåêòîðîâ.(2) Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà a íà λ > 0 íà ýòî æå ÷èñëî óìíîæèòñÿåãî äëèíà.
Ïðè óìíîæåíèè íà λ < 0 èçìåíèòñÿ òàêæå íàïðàâëåíèå, òàê÷òî âìåñòî óãëà ϕ áóäåò óãîë π − ϕ. Ïîñêîëüêó cos(π − ϕ) = − cos ϕ,òðåáóåìîå ðàâåíñòâî ñîõðàíèòñÿ.(3) Äîêàçàòåëüñòâî äèñòðèáóòèâíîñòè íåñêîëüêî äëèííåå. Îòëîæèìåãî äî ñëåäóþùåé ëåêöèè.(4) Íóæíî ïðèìåíèòü (3) è (2).Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî â óòâåðæäåíèè óêàçûâàåò íà ïîâåäåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, êîãäà â ïåðâûé åãî àðãóìåíò ïîäñòàâëåíà ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ: îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ îòäåëüíîäëÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî, âûíîñÿ êîýôôèöèåíòû. Ýòî î÷åíü óäîáíîåè âàæíîå ñâîéñòâî íàçûâàþò ëèíåéíîñòüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ(ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó).
Ââèäó âîçìîæíîñòè ïåðåñòàâëÿòü àðãóìåíòû, èìååòñÿ ëèíåéíîñòü è ïî âòîðîìó àðãóìåíòó. Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå áèëèíåéíî.Îïðåäåëåíèå. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì òð¼õ âåêòîðîâ a, b, c íàçûâà-þò ÷èñëåííîå çíà÷åíèå îðèåíòèðîâàííîãî îáú¼ìà ïàðàëëåëåïèïåäà íàýòèõ âåêòîðàõ.  êîìïëàíàðíîì ñëó÷àå îíî ðàâíî íóëþ.Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àþò ÷åðåç (a, b, c).Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:(1) ïðè ïåðåñòàíîâêàõ ìåíÿåòñÿ çíàê, òî åñòüÓòâåðæäåíèå.(a, b, c) = −(b, a, c) = (b, c, a) = −(c, b, a) = (c, a, b) = −(a, c, b);;(2) (λa, b, c) = λ(a, b, c)(3) (a1 + a2 , b, c) = (a1 , b, c) + (a2 , b, c)(4) (λ1 a1 + λ2 a2 , b, c) = λ1 (a1 , b, c) + λ2 (a2 , b, c);.8Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÄîêàçàòåëüñòâî.(1) Òàêèå ïåðåñòàíîâêè íå ìåíÿþò ïàðàëëåëåïèïåä,íî ïîðÿäîê âåêòîðîâ îïðåäåëÿåò ¾ïðàâîñòü¿ èëè ¾ëåâîñòü¿ ñîñòàâëåííîãî èç íèõ áàçèñà.(2) Ïðè óìíîæåíèè îäíîé ñòîðîíû íà λ, îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäàóìíîæàåòñÿ íà |λ|.
Åñëè λ < 0, òî îðèåíòàöèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ.(3) Îòëîæèì äîêàçàòåëüñòâî è ýòîé äèñòðèáóòèâíîñòè.(4) Íóæíî ïðèìåíèòü (3) è (2).Ââèäó âîçìîæíîñòè ïåðåñòàâëÿòü àðãóìåíòû, ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì (òðèëèíåéíî).a×babÎïðåäåëåíèå.Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàþò âåêòîð, îáîçíà÷àåìûé ÷åðåç a × b ëèáî [a, b], äëèíà è íàïðàâëåíèå êîòîðîãî îïðåäåëåíû ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè: åñëè a è b êîëëèíåàðíû, òîa × b = 0; èíà÷å äëèíà ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ñîñòîðîíàìè a, b, òî åñòü |a × b| = |a| · |b| sin ϕ, à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî îáîèì âåêòîðàì a è b è òàêîâî, ÷òî a, b, a × b ÿâëÿåòñÿïîëîæèòåëüíûì áàçèñîì.Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, ãäå âñå âåêòîðû è ÷èñëà ïðîèçâîëüíû:(1) a × b = −b × a;(2) (λa) × b = λ(a × b);(3) (a1 + a2 ) × b = a1 × b + a2 × b;(4) (λ1 a1 + λ2 a2 ) × b = λ1 (a1 × b) + λ2 (a2 × b).Äîêàçàòåëüñòâî.
(1) Âåêòîð a × b îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè, õàðàêÓòâåðæäåíèå.òåðèçóþùèìè ïðîèçâåäåíèå b × a, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî b, a, a × ba×bab− 23 a × b− 23 aÃëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.c9a×babîáðàçóþò îòðèöàòåëüíûé áàçèñ. Ïîýòîìó äëÿ b × a íå îñòà¼òñÿ äðóãîéâîçìîæíîñòè, êðîìå êàê ðàâíÿòüñÿ −a × b.(2) Ïðè λ > 0 íàáëþäàþòñÿ ëèøü èçìåíåíèå äëèíû è ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèå ïëîùàäè, à ïðè λ < 0 íàáëþäàåòñÿ òàêæå èçìåíåíèåíàïðàâëåíèé ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ è âñåãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå.(3) Îòëîæèì.(4) Íóæíî ïðèìåíèòü (3) è (2).Óòâåðæäåíèå.íîå è âåêòîðíîå:Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñêàëÿð(a, b, c) = a · (b × c) = (a × b) · c.Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ òåðìèí ¾ñìåøàííîå¿.Äîêàçàòåëüñòâî.  íåêîìïëàíàðíîì ñëó÷àå, ïðåäñòàâèâ îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà êàê ïðîèçâåäåíèå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó:|a × b| · |c| cos θ,ãäå θ åñòü óãîë ìåæäó a × b è c, ïîëó÷àåì ñîâïàäåíèå àáñîëþòíûõâåëè÷èí |(a, b, c)| = |(a × b) · c|.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
