1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (Ульянов 2009 Конспект лекций по алгебре и геометрии), страница 2

À çíàêè ñîâïàäóò, ïîòîìó ÷òî âåêòîðûa × b è c íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé a è b,òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà áàçèñ a, b, c ïîëîæèòåëåí. êîìïëàíàðíîì ñëó÷àå ïîëó÷èì (a × b) · c = 0.Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî a × (b × c) íå îáÿçàíî ðàâíÿòüñÿ (a × b) × c.Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî âûðàçèòü÷åðåç ñêàëÿðíûå ïî ôîðìóëåÓòâåðæäåíèå.a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),èçâåñòíîé êàê ¾áàö ìèíóñ öàá¿.Äîêàçàòåëüñòâî.

Êîãäà ìû âûâåäåì ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðî-èçâåäåíèé â êîîðäèíàòàõ, ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïðîñòî ïðîâåðèòü, â÷¼ì è ñîñòîèò ñòàíäàðòíûé ñïîñîá åãî äîêàçàòåëüñòâà. ×èñòî ãåîìåòðè÷åñêîå ðàññóæäåíèå áóäåò äàíî íèæå.10Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÑëåäñòâèå.Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó ßêîáèa × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.

Øåñòü ñëàãàåìûõ, ïîëó÷àåìûõ ïðè ðàñêðûòèè äâîéíûõ âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé, ïîïàðíî ñîêðàùàþòñÿ.Åñëè |n| = 1, òî a = (n · a)n + (n × a) × n.Äîêàçàòåëüñòâî. (n × a) × n = −n × (n × a) = −n(n · a) + a(n · n).Ñëåäñòâèå.aannÝòèì óêàçàíî ðàçëîæåíèå âñÿêîãî âåêòîðà a â ñóììó a = akn + a⊥n ,ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå, íàçûâàåìîå ïðîåêöèåé a íà n, êîëëèíåàðíî n, àâòîðîå åìó ïåðïåíäèêóëÿðíî. Èç äîêàçàòåëüñòâa ñëåäóåò òàêæå ôîðìóëà ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ëþáîé íåíóëåâîé âåêòîð n, íå îáÿçàòåëüíîåäèíè÷íûé:a·nakn =n.n·n1.4.Âû÷èñëåíèÿ â êîîðäèíàòàõÂûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå áàçèñ {e1 , e2 , e3 } è áóäåì ïðåäñòàâëÿòüêàæäûé âåêòîð a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3 òðîéêîé åãî êîîðäèíàò [a1 , a2 , a3 ],óïîòðåáëÿÿ òó æå áóêâó, íî ¾îáåçæèðåííóþ¿.Ñëîæåíèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëîâûïîëíÿþòñÿ ïîêîîðäèíàòíî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Èìåþòñÿ â âèäó ôîðìóëûÓòâåðæäåíèå.λ[a1 , a2 , a3 ] = [λa1 , λa2 , λa3 ],[a1 , a2 , a3 ] + [b1 , b2 , b3 ] = [a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ],âñåãî ëèøü âûðàæàþùèå ðàâåíñòâàλa = (λa1 )e1 + (λa2 )e2 + (λa3 )e3 ,a + b = (a1 + b1 )e1 + (a2 + b2 )e2 + (a3 + b3 )e3â êîîðäèíàòàõ îòíîñèòåëüíî áàçèñà {e1 , e2 , e3 }.Ãëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.11Ðàññìîòðèì òåïåðü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b.

Ïîëüçóÿñü áèëèíåéíîñòüþ, ðàñêðûâàåì ñêîáêè:a · b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) · (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 )= a1 b1 e1 · e1 + a1 b2 e1 · e2 + a1 b3 e1 · e3+ a2 b1 e2 · e1 + a2 b2 e2 · e2 + a2 b3 e2 · e3+ a3 b1 e3 · e1 + a3 b2 e3 · e2 + a3 b3 e3 · e3 .Âèäíî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèéâ âûáðàííîì áàçèñå äîñòàòî÷íî çíàòü ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ìåæäó ñîáîé. Ïðè ýòîì îñîáåííî óäîáíû áàçèñû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ei · ej = δij , ãäå(1 ïðè i = j,δij =0 ïðè i 6= j,åñòü ñèìâîë Êðîíåêåðà; ïðîùå ãîâîðÿ, â ýòîì ñëó÷àå áàçèñíûå âåêòîðû åäèíè÷íû è ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó.

Òàêèå áàçèñû íàçûâàþòîðòîíîðìèðîâàííûìè, ñîêðàù¼ííî ÎÍÁ.  îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñåêîîðäèíàòíîå âû÷èñëåíèå ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé óïðîùàåòñÿ äîa · b = a 1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàñêðîåì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå:a × b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) × (b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 )= a1 b1 e1 × e1 + a1 b2 e1 × e2 + a1 b3 e1 × e3+ a2 b1 e2 × e1 + a2 b2 e2 × e2 + a2 b3 e2 × e3+ a3 b1 e3 × e1 + a3 b2 e3 × e2 + a3 b3 e3 × e3 .Çäåñü ïî ñâîéñòâó a × b = −b × a òðè ñëàãàåìûõ ðàâíû íóëþ, à îñòàâøèåñÿ ìîæíî ñãðóïïèðîâàòü ïîïàðíî:a × b = (a1 b2 − a2 b1 ) e1 × e2+ (a3 b1 − a1 b3 ) e3 × e1+ (a2 b3 − a3 b2 ) e2 × e3 .Îáû÷íî âû÷èñëåíèå âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé âåä¼òñÿ â ïðàâîì ÎÍÁ. ýòîì ñëó÷àåe1 × e2 = e3 ,e3 × e1 = e2 ,e2 × e3 = e1 .Âçÿâ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¼õ âåêòîðîâ, ðàçëîæåííûõ ïî áàçèñó, ïðè ðàñêðûòèè âñåõ ñêîáîê ìû ïîëó÷àåì 27 ñëàãàåìûõ ñî ñìåøàííûìè ïðîèçâåäåíèÿìè áàçèñíûõ âåêòîðîâ, íî èç íèõ 21 ñîäåðæàò12Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèïîâòîðåíèÿ àðãóìåíòîâ è ïîòîìó ðàâíû íóëþ.

 îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõïåðåñòàâèì àðãóìåíòû, ïðèâîäÿ èõ ¾â ïîðÿäîê¿ (e1 , e2 , e3 ) ñ ó÷¼òîìèçìåíåíèÿ çíàêîâ:(a, b, c) = a1 b2 c3 (e1 , e2 , e3 ) + a2 b1 c3 (e2 , e1 , e3 )+ a3 b1 c2 (e3 , e1 , e2 ) + a1 b3 c2 (e1 , e3 , e2 )+ a2 b3 c1 (e2 , e3 , e1 ) + a3 b2 c1 (e3 , e2 , e1 )= D (e1 , e2 , e3 ),ãäåD = a1 b2 c3 − a2 b1 c3 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 + a2 b3 c1 − a3 b2 c1 .Äëÿ ïðàâîãî ÎÍÁ èìååì (e1 , e2 , e3 ) = 1 è ïîëó÷àåì (a, b, c) = D.1.5.Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ öåëÿõ áîëåå êîìïàêòíîé çàïèñè êîîðäèíàòíûõ âûðàæåíèé âåêòîðíîãî è ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèé ââåä¼ì ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ.

Ïîçæå îïðåäåëèòåëè áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ âî ìíîãèõ äðóãèõ ñèòóàöèÿõ. Äëÿíåïîñðåäñòâåííûõ öåëåé íóæíû îïðåäåëèòåëè âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ, ãäå ïîðÿäîê îçíà÷àåò ðàçìåð ìàòðèöû. Âòîðîé ïîðÿäîê: a1 b1 a2 b2 = a1 b2 − a2 b1 ;òðåòèé ïîðÿäîê: a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 − a2 b1 c3 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 + a2 b3 c1 − a3 b2 c1 , a3 b3 c3 èëè â òî÷íîñòè ÷èñëî D, âîçíèêøåå â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà.

Ýòîôîðìóëû ïîëíîãî ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëÿ, ñ êîòîðûìè âûðàæåíèÿäëÿ ñìåøàííîãî è âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèé â ïðàâîì ÎÍÁ {e1 , e2 , e3 }ïðèíèìàþò âèä a1 b1 c1 a1 b1 e1 (a, b, c) = a2 b2 c2 ;a × b = a2 b2 e2 . a3 b3 c3 a3 b3 e3 Åñòü ÷¼òêèå ïðàâèëà, ïî êîòîðûì ñîñòàâëåíû ôîðìóëû ïîëíîãî ðàñêðûòèÿ. Íå òîëüêî â óêàçàííûõ ñëó÷àÿõ, íî è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà n, ðàñêðûòèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñî çíàêàìè âñåâîçìîæíûõ ñëàãàåìûõ, ðàâíûõ ïðîèçâåäåíèþ n êîìïîíåíò ìàòðèöû, âçÿòûõ ïî îäíîìóÃëàâà 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.13èç êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà. Âñåãî ñëàãàåìûõ n!. Äåòàëè îáùåãî ïðàâèëà âûáîðà çíàêîâ ìû ðàçáåð¼ì çíà÷èòåëüíî ïîçæå, íî äëÿòðåòüåãî ïîðÿäêà îòìåòèì ïðîñòóþ êàðòèíêó:(+) :a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3(−) :a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3Îòìåòèì åù¼ âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ÷åðåç îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà, ãðóïïèðóÿ ñëàãàåìûå ñ îäèíàêîâûìè ci : a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a2 b2 c1 − a1 b1 c2 + a1 b1 c3 .

a3 b3 a2 b2 a3 b3 a3 b3 c3 Çäåñü ñòîèò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ìèíóñ â ïðàâîé ÷àñòè. Ýòî ôîðìóëà ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî òðåòüåìó ñòîëáöó.Îñîáåííî óïîòðåáèòåëüíî å¼ ïðèëîæåíèå ê âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ: a2 b2 a 1 b1 a1 b1 e .a×b=e −e +a3 b3 1 a3 b3 2 a2 b2 3Ãðóïïèðóÿ ñëàãàåìûå èíà÷å, ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû ðàñêðûòèÿ ïîäðóãèì ñòîëáöàì, à òàêæå ïî ñòðîêàì.1.6.Îòëîæåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâàÅñëè n 6= 0, òî a · n = akn · n è a × n = a⊥n × n äëÿ êàæäîãîâåêòîðà a.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíû |a| |n| cos ϕ. ÂåêòîðËåììà.íûå ïðîèçâåäåíèÿ äàþò ðàâíûå è îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà è ïðÿìîóãîëüíèêà.aËåììà.ϕannÅñëè n 6= 0, òî(a + b)kn = akn + bkn ,äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a è b.(a + b)⊥n = a⊥n + b⊥n14Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÄîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíóþ ïðèçìó. Êîëëèíåàðíûå nñîñòàâëÿþùèå ñêëàäûâàþòñÿ âäîëü å¼ áîêîâûõ ð¼áåð, à ïåðïåíäèêóëÿðíûå â ïëîñêîñòÿõ å¼ îñíîâàíèé.Óñòàíîâèì ôîðìóëó (a + b) · c = a · c + b · c. Åñëè c = 0, òî îáå÷àñòè íóëåâûå. Èíà÷å, ëåììû ïîçâîëÿþò çàìåíèòü âåêòîðû a è b íàèõ ñîñòàâëÿþùèå êîëëèíåàðíûå c è ñâåñòè òðåáóåìîå ê ðàâåíñòâó?(a + b)kc · c = (akc + bkc ) · c = akc · c + bkc · c,ïðîâåðÿåìîìó íåïîñðåäñòâåííî, íà îäíîé ïðÿìîé.Óñòàíîâèì ôîðìóëó (a + b) × c = a × c + b × c. Åñëè c = 0, òî îáå÷àñòè íóëåâûå.

Èíà÷å, ëåììû ïîçâîëÿþò çàìåíèòü âåêòîðû a è b íàèõ ñîñòàâëÿþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíûå c è ñâåñòè òðåáóåìîå ê ðàâåíñòâó?(a + b)⊥c × c = (a⊥c + b⊥c ) × c = a⊥c × c + b⊥c × c.Ïàðàëëåëîãðàìì íà âåêòîðàõ a⊥c è b⊥c ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé c. Ïðè âåêòîðíîì óìíîæåíèè íà c âñÿ ýòà ïëîñêîñòü ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà ïðÿìîé óãîë è ìàñøòàáèðóåòñÿ ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ |c|.ca⊥c × c⊥cb⊥caÄèñòðèáóòèâíîñòü ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî êàæäîìó èç àðãóìåíòîâ ñâîäèòñÿ ê äèñòðèáóòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèé. Íàïðèìåð, ïî âòîðîìó àðãóìåíòó:(a, b1 + b2 , c) = (a × (b1 + b2 )) · c= (a × b1 + a × b2 ) · c= (a × b1 ) · c + (a × b2 ) · c= (a, b1 , c) + (a, b2 , c).Ãëàâà 1.

Âåêòîðíàÿ àëãåáðàâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.a15b×ca2a1bcÓñòàíîâèì òåïåðü ôîðìóëó a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) ïîäîáíûìîáðàçîì: ðàçëîæèì âåêòîð a íà óäîáíûå ñîñòàâëÿþùèå è, ïîëüçóÿñüäèñòðèáóòèâíîñòüþ âñåõ ñëàãàåìûõ, ïðîâåðèì ðàâåíñòâî îòäåëüíî äëÿêàæäîé ñîñòàâëÿþùåé. Ïðåäâàðèòåëüíî ïðèä¼òñÿ ñäåëàòü ïàðó îãîâîðîê.

Åñëè õîòÿ áû îäèí èç òð¼õ ó÷àñòâóþùèõ âåêòîðîâ íóëåâîé, òî îáå÷àñòè ðàâíû íóëþ, ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî b 6= 0 è c 6= 0. Òîãäàåñëè b è c êîëëèíåàðíû, òî b = αc è îáå ÷àñòè äîêàçûâàåìîé ôîðìóëûîïÿòü ðàâíû íóëþ. Èíà÷å, b × c 6= 0 è ìîæíî ðàçëîæèòüa = akb×c + a⊥b×c .Êîëëèíåàðíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âíîñèò íóëåâîé âêëàä âî âñå ñëàãàåìûåòðåáóåìîãî ðàâåíñòâà. Ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ b è c, ïîýòîìó íàéäóòñÿ òàêèå âåêòîðû a1 ⊥ b è a2 ⊥ c,÷òî a⊥b×c = a1 + a2 , è äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî?ai × (b × c) = b(ai · c) − c(ai · b),i = 1, 2.Ïî âûáîðó ai , âòîðîå ðàâåíñòâî îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîãî ëèøü ïåðåñòàíîâêîé b è c, òàê ÷òî íà ñàìîì äåëå íóæíî ïðîâåðèòü òîëüêî ïåðâîå.Ïîñêîëüêó âåêòîðû a1 , b è b × c ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû,a1 × (b × c) = βb.×òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò β , âîçüì¼ì ñíà÷àëà ìîäóëü:|a1 × (b × c)| = |a1 ||b × c| = |a1 ||b||c| sin ϕ = |b| |a1 · c| .Çíà÷èò, |β| = |a1 · c|, à ñîâïàäåíèå çíàêîâ ñëåäóåò èç ðèñóíêà.

Èòàê,a1 × (b × c) = b(a1 · c) = b(a1 · c) − c(a1 · b).Òåì ñàìûì, îáùåå ïðàâèëî ¾áàö ìèíóñ öàá¿ äîêàçàíî.16Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÃëàâà 2. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ2.1.Çàäàíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòèÂûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå òî÷êó O â êà÷åñòâå íà÷àëà îòñ÷¼òà. Òîãäà êàæäîé òî÷êå A ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâóåò å¼ ðàäèóñ-âåêòîð r(A):ýòî âåêòîð ñ íà÷àëîì O è êîíöîì A. Ïîëó÷àåì âçàèìíî-îäíîçíà÷íîåñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè è âåêòîðàìè. Ïîäðàçóìåâàÿ âûáðàííîåíà÷àëî îòñ÷¼òà, áûâàåò óäîáíî ãîâîðèòü î ðàäèóñ-âåêòîðå, èìåÿ â âèäó ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êó, ëèáî íàîáîðîò.Óðàâíåíèÿìè ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íàçûâàþò óñëîâèÿ (â âèäå ðàâåíñòâ) íà êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîéòî÷êè, êîòîðûå âûïîëíåíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà ïðèíàäëåæèò ôèãóðå.