Образец выполнения этапа №3 курсовой работы (Требование и образец выполнения курсовой работы)
Описание файла
Файл "Образец выполнения этапа №3 курсовой работы" внутри архива находится в папке "Требование и образец выполнения курсовой работы". PDF-файл из архива "Требование и образец выполнения курсовой работы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #3Курсовая работапо курсу «Дифференциальные уравнения».Выполнил студент группы 7o-201С Иванов И.И.Вариант №1Этап #3Задание:Вариант №1Этап #31. а) ( x 2 + 1) y′′ = 2 x ⋅ y′Задание.1. Понизить порядок ДУ до первого.Определить тип получившегося ДУ 1-гопорядка.б) x ⋅ y ⋅ y′′ − x ⋅ ( y′) 2 = y ⋅ y′2. ( y′) 2 + 2 y ⋅ y′′ = 02.
Решить ДУ 2-го порядка.3. y IV = y′′′y(0) = 1, y ′(0) = 2, y ′′(0) = 3, y ′′′(0) = 43. Решить задачу Коши для ДУ 4-го порядка.Часть1.Уравнение а)Дано: ( x 2 + 1) y′′ = 2 x ⋅ y′Понизить порядок ДУ до первого. Определить тип получившегося ДУ 1-го порядка.Решение:Данное ДУ является ДУ 2-го порядка, не содержащим y .Используем замены: y′ = z( x ) , тогда y′′ = z′ .Получим: ( x 2 + 1)z′ = 2 x ⋅ z - ДУ 1-го порядка.Полученное ДУ 1-го порядка является ДУ с разделяющимися переменными:2xz′ = 2⋅ zx +1 ψ ( z )ϕ( x )Уравнение б)Дано: x ⋅ y ⋅ y′′ − x ⋅ ( y′) 2 = y ⋅ y′Понизить порядок ДУ до первого.
Определить тип получившегося ДУ 1-го порядка.Стр. 1Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #3Решение:Данное ДУ является ДУ 2-го порядка содержит x и y .Проверяем на однородность: x ⋅ (ky) ⋅ (ky′′) − x ⋅ (ky′) 2 = ky ⋅ ky′ - каждое слагаемое в ДУсодержит k 2 , сократив на которое ( k ≠ 0 ), получим исходное ДУ.Используем замены: y′ = z( x ) ⋅ y , тогда y′′ = z′ ⋅ y + z 2 ⋅ yПолучим:x ⋅ y ⋅ (z′ ⋅ y + z 2 ⋅ y) − x ⋅ (z ⋅ y) 2 = y ⋅ z ⋅ yx ⋅ z′ ⋅ y 2 + x ⋅ z 2 ⋅ y 2 − x ⋅ z 2 ⋅ y 2 = y 2 ⋅ zx ⋅ z′ + x ⋅ z 2 − x ⋅ z 2 = zx ⋅ z′ = z - ДУ 1-го порядкаПолученное ДУ 1-го порядка является ДУ с разделяющимися переменными:1z′ =⋅ zx ψ(z)ϕ( x )Часть 2.Дано: ( y′) 2 + 2 y ⋅ y′′ = 0Решить ДУ 2-го порядка.Решение:1. Данное ДУ является ДУ 2-го порядка, не содержащим x .Используем замены: y′ = p( y) , тогда y′′ = p′ ⋅ p .Получим: p 2 + 2 y ⋅ p′ = 0 - ДУ 1-го порядка.2.
Решаем полученное ДУ 1-го порядка:−1p′ =⋅ p - это ДУ с разделяющимися переменными.2ydp − 1=⋅pdy 2 y∫dp1 dy=− ∫p2 yp=1⇒ ln p = − ln y + ln C12C1- решение ДУ 1-го порядкаyСтр. 2⇒ ln p = ln1+ ln C1 ⇒yОбразецв ы п о л н е н и я э т а п а #3C1- ДУ 1-го порядкаyРассмотрим решение полученного ДУ при разных значениях C1 :3. Сделаем обратную замену: y′ =C1 = 0y′ = 0y=CC1 ≠ 0C1ydy C1=dxyy′ =⇒∫ydy = ∫ C1dx32 2y = C1 x + C 2334. В результате получены два решения ДУ:2 2y = C1 x + C 2 и y = C и ни одно из них не3является частным случаем другого.5. Проверим потеряные решения:в ДУp = 0 ⇒ y′ = 0 ⇒ y = С → 0 ≡ 0 , но такое решение найдено ранее.в ДУy = 0 → 0 ≡ 0 , но это решение частный случай решения y = C при C = 0 .32Ответ: y 2 = C1 x + C 2 ,3y=CЧасть 3.Дано: y IV = y′′′y(0) = 1, y ′(0) = 2, y ′′(0) = 3, y ′′′(0) = 4Решить задачу Коши для ДУ 4-го порядка.Решение:Сначала найдём общее решение ДУ.Данное ДУ является ДУ 4-го порядка, не содержащим y .Используем замены: y ′′′ = z( x ) , тогда y IV = z ′ .Получим: z ′ = z - ДУ 1-го порядка.Полученное ДУ 1-го порядка является ДУ с разделяющимися переменными:dz=zdxСтр.
3Образецв ы п о л н е н и я э т а п а #3dz= dxz ∫ln z = x + ln C1∫z = C1 ⋅ e x - решение ДУ 1-го порядкаДелаем обратную замену: y ′′′ = C1 ⋅ e x - получено ДУ 3-го порядка.y ′′′ = C1 ⋅ e x это ДУ вида y ( n ) = f ( x ) , решаем ДУ с помощью 3-х кратного интегрированиялевой и правой частей ДУ:xx∫ y′′′dx = ∫ C1e dx → y′′ = C1e + C 2∫ y′′dx = ∫ (C ex1+ C 2 )dx→y ′ = C 1e x + C 2 x + C 3xx∫ y′dx = ∫ (C1e + C 2 x + C 3 )dx → y = C1e + C 2Получено общее решение ДУ: y = C1e x + C 2x2+ C3 x + C 42x2+ C3x + C42Дифференцируем общее решение три раза:y ′ = C1e x + C 2 x + C 3y′′ = C1e x + C 2y ′′′ = C1 ⋅ e xПодставляем заданные начальные условия в общее решение и производные:02Условие y(0) = 1 означает, что при x = 0 функция y = 1 : 1 = C1 ⋅ e 0 + C 2+ C3 ⋅ 0 + C 42Условие y ′(0) = 2 означает, что при x = 0 функция y′ = 2 : 2 = C1 ⋅ e 0 + C 2 ⋅ 0 + C 3Условие y ′′(0) = 3 означает, что при x = 0 функция y ′′ = 3 : 3 = C1 ⋅ e 0 + C 2Условие y ′′′(0) = 4 означает, что при x = 0 функция y ′′′ = 4 : 4 = C1 ⋅ e 01 = C1 + C 42 = C + C13Получили: 3 = C1 + C 24 = C1C1 = 4C = −1Решаем систему: 2C 3 = −2C 4 = −3Подставим найденные значения в общее решение: y = 4e x −Коши.x2− 2x − 3Ответ: y = 4e −2xСтр.
4x2− 2 x − 3 - решение задачи2.