Разработка и применение пакета расширения SPEKTR_SM пакета SIMULINK CKM MATLAB, страница 2

Этот метод удобен для реализации его в системе автоматизации математических расчетов МапаЪ (Мапх $.аЪога1огу — матричная лоборатория), так как системные характеристики и характеристики сигналов в спектральной области представляются матрицами и векторами, а алгоритмы анализа и синтеза используют три алгебраические операции: сложение, умножение и обращение матриц. Любая сложная система с помощью метода декомпозиции может быть представлена в виде набора элементарных и типовых звеньев, которые соединяются в систему при помощи трех типов соединений: последовательного, параллельного и с обратной связью.

В спектральной области всем элементарным операциям ставится в соответствие система элементарных алгоритмов. На базе этой системы строится система алгоритмов исследования конкретной системы управления. 1,2.1, Основные характеристики спектральной 4ормы онисания ненрерыоно-дискретных систем Основным понятием спектрального метода является понятие нсстационарной спектральной характеристики (НСХ). Для одномерной функции НСХ (модифицированная НСХ вЂ” МНСХ) определяется как скалярное произведение вида 5(х1= Х(1) =(р~у(г), х) ~ЮМ~х~=ХМ(1) =(зр(/), х), (1,1) Ч ч го которое раскрывается для непрерывной функции времени как 5 [х(т)] = Х((,г) = ~р(п е)Ш" ((,г, г) х(т) вй ш ш 0 с 5М [х(т)) = ХМ(~',г) = ~ у" (1, йт) х(т)И ш о (1.2) и для дискретной функции времени как д — ! 5[х(!)1= Х(1 Ь) = Х р(и)Ч/ (е Е г) х(1) ш 1 О * с Е-1 5М [ (1)] = лМ(1, и = Х Ш'(1, 2.,1) х(1) .

(!.3) Аналогично определяется понятие НСХ функции двух переменных (ДНСХ): 5 [х) = Х (Л, ~') = р р Л(О) р*(1), х, ял' шл" 1 д р (1 4) Например, выражение (1.4) для непрерывно-дискретной функции времени х(в,тл) раскрывается как 5 [х(О,т)~= Х(Ь,(,ОМ) = шл ЧР м-~ = [р(АО)о*(Ь,1,6) ~~~ р(М,гл)р(1,М,т)х(О,т)г)О. о в=в (1.5) ы Подобными формулами определяются многомерные НСХ функций многих переменных. Заметим, что иногда, по некоторым аргументам, НСХ описываются как МНСХ. Обращение НСХ, т.е.

отыскание искомой функции многих аргументов, производится по формулам обращения. Например, для функций одного и двух аргументов (1.б) (1. 7) Случайные нестационарные сигналы в спектральной области описываются НСХ своих моментных функций: первой нестационарной спектральной плотностью (НСП) х(~) 'у(М р Р где е„— математическое ожидание случайного сигнала; второй НСП (или просто НСП) 'Я (Ь,()= 51Я ), рр' Рр где й — корреляционная функция случайного сигнала.

Аналогично определяются и остальные НСХ моментных функций случайного сигнала. Системными характеристиками нестационарных непрерывно- дискретных систем являю гся нестационарные передаточные функции (НПФ): нормальная (ННПФ), сопряженная (СНПФ), двумерная (ДНПФ). Для непрерывно-дискретной системы они классифицируются по типу входа и выхода как Н-Н, Д-Д, Н-Д, Д-Н непрерывно-дискретные системы. Например, ДНПФ определяется как т.е. для систем: — непрерывных и Н-Н непрерывно-дискретных ! Ц(й,йг„г)=) р(ЕВ)д (я,г,В)~)г(Вт)р((г,т)АЫ6; (),! !) яр од 0 — дискретных и Д-Д непрерывно-дискретных Е-! и-! ));(В,ЕЕ,М)= ~~ р(!.,!)(((Ь,Е,О ~х', Ус(Ев) р(ЕМ,т); (!.)2) — Д-Н непрерывно-дискретных ЪЪ~(В,ЕЕ.г)= ~~> р(Е,У)юу (Ь,Е,()~ЦЕт)!(Егт)дт; (! (3) ЮР '' у=от ' 0 — Н-Д непрерывно-дискретных ! М-! К' Я ЕЕМ) = ! р(й В)д*(й г В) '~> х(В, т) р(с', М, т)М.

(! . ! 4) яя вя яо Заметим, что эти характеристики определены как модифицированные НСХ по второму аргументу т(т) импульсной переходной функции (ИПФ) А. НСХ, НСП и ДНПФ удобно представлять в матричной форме. В этой форме ДНПФ непрерывной системы, соответствующая дифференциальному уравнению выражается соотношением К'(б!)=Г(А (ьд)Р"(и!)+ "+ Ао(Е,!) х :~В (!А)Р (б!)+"-+В (б!) . (1.16) ДНПФ дискретной системы (1.12), соответствующая конечно-раз- ностному уравнению (1. 17) ~~~ а,(!)Р~х(!)= ~Ь;(!)Я8(!), г=в ю=с выражается соотношением, подобным (1.16): И(2„!)=[А„(!.,Е)Р"(!..Е)+" +А (!.,!)~ х х~В (!.,!)Р"Ч!.,!)+"-+ Во(!.,!)~.

(1.18) г в Р !Яьгл) =(р(1.,!)р Я|,Я) р(гг,т)ИЮ; с о (1.19) ДНПФ (1.16) и (1.18) выражаются через элементарные и типовые звенья непрерывных и дискретных систем. В качестве элементарных звеньев непрерывно-дискретных систем обычно рассматриваются интегрирующее, суммирующее, диффсренцируюшее первого и второго рода, разностное, непрерывные и дискретные звенья с переменными коэффициентами передачи, непрерывное и дискретное звено чистого сдвига (запаздывания и упреждения), понижения такта, слвига тактовых точек, а также собственно непрерывно-дискретные звенья — дискретный элемент и экстраполяторы. ДНПФ (! .10) этих звеньев имеют вил: — ДН ПФ интегрирующего звена — ДН ПФ суммирующего звена — ДНПФ дифференцнрующего звена лервого рода Р.(6,),г,!) = я Ядг,!)+ 5 (6,1„!,!), РР РР РР (1,21) гле т (Ь,),!,!) =т~(г,0)р"(Ь,|,0)р(!,!,О) — ДНПФ начальных значе- лл ний, в которой регуляризация т)(г,О) весовой функции р(Г,О) отве- чает условию р'(г,О)О(Х,О) =1, кнцего звена второго рода; — ДН ПФ разностного звена Р, Я,у,!.,Е) =р(!.,0)р (Б,Е„О) р (), Е,О)ь 1,-! +,'~„,р(!.,!) р (л,2.,!)Ч р((, Е,!); !=О (1,22) ДНПФ усилительных звеньев; непрерывного А,Я,!,г,!) = ~р(!,О)л(О)р'Я,1,О)р(!,г,О)с(О, в (1.23) дискретного А.Я, !, Й, !.) = ,'>„р(1„!) а(!) р (6, 2„!) ф ь У„!); РР г=о (1.24) а Э (Ь,!,г,!) =~р(г,О)р (Ь,Г,О) — рО'„с,О)г30 — ДНПФ дифференциру- (Π— ДНПФ звена чистого запаздывания; непрерывного (Оа > О) 1 т-аи(И,(,дг) = ~ р(ОО)р*(я,г,О)р(Ог,О-Од)40, л' О дискретного (М > 0) г-! т-аМ,Ог) = 'Е р(и)а(!) р"(И,ядр'О;2д; — ДНПФ звена чистого упреждения: непрерывного (Ое < О) на, т-а (ь,дг,г)= ~ р(да)р"(Ь!е)р(где-а,мв, РР дискретного (й < 0) А+А-1 т ефддг)= ~~~" р(й,()аЯр (Ь |Др (ОЕ,/); гл г=а ДНПФ звена понижения такта (Е < М) М-1 Т Я(Е,М)= ~> р(Ет )о (А2„т )р(~',М,гл); ЯР я=а — ДНПФ дискретного элемента с-~ 1) (6(,Е,г) = ~ р(А,Е),?*(Л, Х.,У))(ООе,); г=оа * — ДНПФ экстраполирующего звена нулевого порядка Зв (л,(,г,М)= ~ р ((,М,т) ] р(йй)д"(И,г,й)ЫО.

(1.3!) Получение ДНПФ нестационарной непрерывно-дискретной системы связано с определением ДНПФ линейных звеньев и их соединений (параллельного, последовательного и с обратной связью). ДНПФ таких соединений рассчитываются по ДНПФ звеньев их составляющих по Формулам: — для параллельного соединения 1 ~~2' (1.32) — для последовательного соединения И2 ' И1~1 (1. 33) — для соединения с обратной связью И' =1Е+ И'1И'т] И'1 — — И'1]Е+ И'зИ1~] (1. 34) для детерминированных сигналов (1.35) для случайных сигналов: по математическому ожиданию 'Ю =И.1З, х по корреляционной функции (1.3б) И' Я И'т.

5 = И'.з (1.37) Связи вход-выход по ДНПФ искомой системы и заданным входным НСХ и НСП при нулевых начальных условиях устанавливаются соотношениями: Обрашение НСХ (1.35) — (1.37) проводится по соотношениям (!.6) и (1.7), а НПФ вЂ” по формулам )г — (',).ЛГ=Н Л Р =О И' Л Р Ч Р РР чл лл' (1.38) где Л вЂ” двумерная нестацнонарная,характеристика связи (ДНХС) ля* между ДНПФ и ДНСХ искомой системы, которая для непрерывных базисных функций имеет вид л ()г,йг,е) = ~ р (лбт)р(),йт)ю(т, О (1. 39) а для дискретных А-1 Л ЯдЕ,Е)= Е,' р ()г,Е„()Я,Е,(), (1.40) г=о" Формулы связи ДНПФ линейной системы с ее одномерными НПФ имеют вид И' =(Д~,Н); И~ =(Ж,Р); ел* л е> ч (1.41) У=И" Л Р+; Е(=(',)И". ял" л' я ял' (1.42) В формулах (1.38), (1,41), (1.42) Ц и Р— матрицы-строки, составленные из систем базисных функций (д(1)) и (р(()). ДНПФ непрерывной и Н-Н непрерывно-дискретной системы представляется бесконечной матрицей, ДНПФ дискретной и Д-Д непрерывно-дискретной системы — конечной прямоугольной матрицсй порядка Е х М, а ДНПФ Д-Н и Н-Д непрерывно-дискретной системы полубесконечными матрицами.

1.2.2. Пакет прикладных программ спектрального метода МЕХУ ЯМ В настоящее время разработано несколько версий пакета прикладных програмл» анализа и параметрического синтеза систем управления спектральным методом. Одна из них включена в компьютерный курс «Спектральная теория нестационарных систем управления» [41. Другая версия создана на базе вычислительных сред Ма»1»са»1, Мар!е, Ма»йеп»а»(са, МабаЬ !14!. Эта версия включает в себя все элементарные операции спектрального метода (1.1)— (1.42) и предназначена для моделирования линейных систем управления спектральным методом (МЫ'т' КМ). Для спектральных алгоритмов разработана следующая структура имени программного модуля: <имя программного модуля>:= $ <идентификатор пропедуры (алгоритма), реализованной в данном программном модуле> <идентификатор базисной системы, относительно которой записан этот алгоритм> <идентификатор численной схемы, реализующей исходный алгоритм> <идентификатор пропедурм (алгоритма), реализованной в данном программном модуле>:= <латинская буква> <латинская буква>)<цифра> <идентификатор базис»юй системы, относительно которой записан этот алгоритм>:= <р!»)в)с!»)у!х)г)фЦЦе!»)!т!Ь> <р!»!п)с!йу)х)г!з!»))Ь)е!я!г)Ь> <идентификатор численной схемы, реализующем исходный алгоритм> := <инфра> В этом имени отражены все необходимые признаки, по которым различаются элементарные алгори гмы спектрального метода, представленные програл»мными модулями, Описание идентификаторов нмсн програл»мных модулей и способов обращения к ним приводится в приложении 1.

Состав программных молулей пакета определяет файловую организацию библиотеки программ. Она одинакова для всех вычислительных сред. Для вычислителыюй среды Маг)аЬ файловая организация библиотеки программ спектрального метода может быть представлена в виде М(.ЗУ ЯМ вЂ” библиотека элементарных алгоритмов спектрального метода; МВг — лля пепрсрывпь»х базисных функции; ВВР— лля дискретных базисных функций; 1(!1ЗВР— лля непрсрывцо-дискретных базисных функций.

Библиотека (х(ВР солержит семь разделов: ЬМ С; ЯМ Р; ЬМ Р; ЯМ Т; БМ 1); ЯМ Х; ЯМ Ъ', где последний символ в названии раздела соответствует илентификатору базисной функции из разд. ! приложения 1. Каждый раздел содержит программные модули элементарных алгоритмов спектрального метода, имена которых и способы обращения к ним описаны в разя. 3.1 приложения 1. Библиотека 13ВР содержит восемь разделов: ЯМ 0; БМ Е; БМ Н; ЯМ К; ЯМ ® ЯМ В1 ЯМ $; БМ У, где последний символ в названии раздела соответствует идентификатору базисной функции из разд. 1 приложения !.